Деление пополам

Линия DE делит прямую AB пополам в точке D, линия EF - серединный перпендикуляр к отрезку AD в точке C, а линия EF - внутренняя биссектриса прямого угла AED.

В геометрии , бисекция является деление чего - то на две равные или конгруэнтных частей, как правило , с помощью линии , которая затем называется биссектрисой . Наиболее часто рассматриваемые типы биссектрис - это биссектриса сегмента (линия, проходящая через середину данного сегмента ) и биссектриса угла (линия, проходящая через вершину угла , которая делит его на два равных угла).

В трехмерном пространстве деление пополам обычно выполняется плоскостью, также называемой биссектрисой или плоскостью биссектрисы .

Биссектриса отрезка [ править ]

Биссектриса перпендикулярная

Отрезок биссектриса проходит через среднюю точку отрезка. Особенно важна середина перпендикуляра отрезка, который, согласно своему названию, пересекает отрезок под прямым углом . Серединный перпендикуляр сегмента также обладает тем свойством, что каждая из его точек равноудалена от конечных точек сегмента. Следовательно, границы диаграммы Вороного состоят из отрезков таких линий или плоскостей.

В классической геометрии деление пополам представляет собой простую конструкцию циркуля и линейки , возможность которой зависит от способности рисовать круги.равных радиусов и разных центров. Сегмент делится пополам путем рисования пересекающихся окружностей равного радиуса, центры которых являются конечными точками сегмента и таким образом, что каждый круг проходит через одну конечную точку. Линия, определяемая точками пересечения двух окружностей, является серединным перпендикуляром отрезка, поскольку пересекает отрезок в его центре. Эта конструкция фактически используется при построении линии, перпендикулярной данной прямой в данной точке: рисуя произвольный круг, центр которого является этой точкой, он пересекает линию еще в двух точках, а перпендикуляр, который нужно построить, - это тот, который делит пополам отрезок, определяемый этими двумя точками.

Теорема Брахмагупты гласит , что если циклический четырехугольник есть orthodiagonal (то есть, имеет перпендикулярные диагонали ), то перпендикулярно к стороне от точки пересечения диагоналей всегда делит пополам сторону , противоположную.

Алгебраически, перпендикулярная биссектриса отрезка прямой с концами , и задается уравнением${\displaystyle P_{1}(x_{1},y_{1})}$${\displaystyle P_{2}(x_{2},y_{2})}$

${\displaystyle y=m(x-x_{3})+y_{3}}$, Где , , и .${\displaystyle m=-{\frac {x_{2}-x_{1}}{y_{2}-y_{1}}}}$${\displaystyle x_{3}={\tfrac {1}{2}}(x_{1}+x_{2})}$${\displaystyle y_{3}={\tfrac {1}{2}}(y_{1}+y_{2})}$

Биссектриса угла [ править ]

Угол биссектриса делит угол на два угла с равными мерами. У угла только одна биссектриса. Каждая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон угла.

Внутренний или внутренняя биссектриса угла является линия, полуось , или отрезок линии , которая делит угол менее 180 ° , на две равные углы. Внешняя или внешняя биссектриса является линией , которая делит дополнительный угол (180 ° минус первоначального угла), образованный одной стороны , образующей исходный угол и расширение с другой стороны, на две равные углы. ^[1]

Чтобы разделить угол пополам линейкой и циркулем , нужно нарисовать круг, центр которого является вершиной. Круг пересекает угол в двух точках: по одной на каждой ноге. Используя каждую из этих точек как центр, нарисуйте два круга одинакового размера. Пересечение окружностей (две точки) определяет прямую, являющуюся биссектрисой угла.

Доказательство правильности этой конструкции довольно интуитивно понятно, опираясь на симметрию задачи. Трисекция под углом (разделив ее на три равные части) не может быть достигнута с помощью компаса и только линеек (это впервые было доказано Ванцелем ).

Внутренняя и внешняя биссектрисы угла перпендикулярны . Если угол образован двумя линиями, заданными алгебраически как и, то внутренняя и внешняя биссектрисы задаются двумя уравнениями ^{[2] : стр.15}${\displaystyle l_{1}x+m_{1}y+n_{1}=0}$${\displaystyle l_{2}x+m_{2}y+n_{2}=0,}$

${\displaystyle {\frac {l_{1}x+m_{1}y+n_{1}}{\sqrt {l_{1}^{2}+m_{1}^{2}}}}=\pm {\frac {l_{2}x+m_{2}y+n_{2}}{\sqrt {l_{2}^{2}+m_{2}^{2}}}}.}$

Треугольник [ править ]

Совпадения и коллинеарности [ править ]

Внутренний угол биссектрисы в треугольнике являются одновременно в точке , называемой вписанной треугольника, как показано на рисунке справа.

Биссектриса двух внешних углов и биссектриса другого внутреннего угла совпадают. ^{[3] : с.149}

Три точки пересечения, каждая из которых представляет собой биссектрису внешнего угла с противоположной вытянутой стороной , коллинеарны ( лежат на одной линии друг с другом). ^{[3] : с. 149}

Три точки пересечения, две из которых между биссектрисой внутреннего угла и противоположной стороной, а третья между биссектрисой другого внешнего угла и протяженной противоположной стороной, коллинеарны. ^{[3] : с. 149}

Теорема о биссектрисе угла [ править ]

Теорема о биссектрисе угла касается относительной длины двух отрезков, на которые сторона треугольника делится линией, делящей пополам противоположный угол. Он приравнивает их относительную длину к относительной длине двух других сторон треугольника.

Длина [ править ]

Если длины сторон треугольника равны , полупериметр и A - противоположная сторона угла , то длина внутренней биссектрисы угла A равна ^{[3] : p. 70}${\displaystyle a,b,c}$${\displaystyle s=(a+b+c)/2,}$${\displaystyle a}$

${\displaystyle {\frac {2{\sqrt {bcs(s-a)}}}{b+c}},}$

или в тригонометрических терминах, ^[4]

${\displaystyle {\frac {2bc}{b+c}}\cos {\frac {A}{2}}.}$

Если внутренняя биссектриса угла A в треугольнике ABC имеет длину и эта биссектриса делит сторону, противоположную A, на отрезки длиной m и n , то ^{[3] : с.70}${\displaystyle t_{a}}$

${\displaystyle t_{a}^{2}+mn=bc}$

где b и c - длины сторон, противоположных вершинам B и C; а сторона, противоположная A, делится в пропорции b : c .

Если внутренние биссектрисы углов A, B и C имеют длины и , то ^[5]${\displaystyle t_{a},t_{b},}$${\displaystyle t_{c}}$

${\displaystyle {\frac {(b+c)^{2}}{bc}}t_{a}^{2}+{\frac {(c+a)^{2}}{ca}}t_{b}^{2}+{\frac {(a+b)^{2}}{ab}}t_{c}^{2}=(a+b+c)^{2}.}$

Никакие два несовпадающих треугольника не имеют одинаковый набор из трех биссектрис внутренних углов. ^{[6] [7]}

Целочисленные треугольники [ править ]

Существуют целочисленные треугольники с биссектрисой рационального угла .

Четырехугольник [ править ]

Биссектрисы внутреннего угла выпуклого четырехугольника либо образуют вписанный четырехугольник (то есть четыре точки пересечения биссектрис смежных углов являются параллельными ), ^[8] или совпадают . В последнем случае четырехугольник является касательным четырехугольником .

Ромб [ править ]

Каждая диагональ ромба делит пополам противоположные углы.

Экс-тангенциальный четырехугольник [ править ]

Вершина экс-тангенциального четырехугольника лежит на пересечении шести биссектрис угла. Это биссектрисы внутреннего угла при двух противоположных углах при вершине, биссектрисы внешнего угла (биссектрисы дополнительных углов) при двух других углах при вершине и биссектрисы внешнего угла в углах, образованных в местах пересечения продолжений противоположных сторон .

Парабола [ править ]

Касательной к параболе в любой точке делит пополам угол между линией , соединяющей точку в фокусе и линию от точки и перпендикулярной к директрисе.

Биссектрисы сторон многоугольника [ править ]

Треугольник [ править ]

Медианы [ править ]

Каждая из трех медиан треугольника - это отрезок прямой, проходящий через одну вершину и середину противоположной стороны, поэтому он делит эту сторону пополам (хотя в целом не перпендикулярно). Три медианы пересекаются друг с другом в точке, которая называется центроидом треугольника, который является его центром масс, если он имеет однородную плотность; таким образом, любая прямая, проходящая через центр тяжести треугольника и одну из его вершин, делит противоположную сторону пополам. Центроид находится в два раза ближе к середине одной стороны, чем к противоположной вершине.

Перпендикулярные биссектрисы [ править ]

Внутренний серединный перпендикуляр стороны треугольника - это отрезок, полностью падающий на треугольник и внутрь него, линии, которая перпендикулярно делит эту сторону пополам. Три серединных перпендикуляра трех сторон треугольника пересекаются в центре описанной окружности (центр окружности, проходящей через три вершины). Таким образом, любая прямая, проходящая через центр описанной окружности треугольника и перпендикулярная стороне, делит эту сторону пополам.

В остром треугольнике центр описанной окружности делит внутренние срединные перпендикуляры двух кратчайших сторон в равных пропорциях. В тупоугольном треугольнике серединные перпендикуляры двух кратчайших сторон (выходящие за пределы их противоположных сторон треугольника до центра описанной окружности) делятся на соответствующие пересекающиеся стороны треугольника в равных пропорциях. ^{[9] : Следствия 5 и 6}

Для любого треугольника внутренних перпендикулярные биссектрисы задаются и где стороны и область ^{[9] : Thm 2}${\displaystyle p_{a}={\tfrac {2aT}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}},}$ ${\displaystyle p_{b}={\tfrac {2bT}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}},}$${\displaystyle p_{c}={\tfrac {2cT}{a^{2}-b^{2}+c^{2}}},}$${\displaystyle a\geq b\geq c}$${\displaystyle T.}$

Четырехугольник [ править ]

Два bimedians из выпуклый четырехугольник являются отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, следовательно , каждый Рассекайте две стороны. Два бимедиана и отрезок прямой, соединяющий середины диагоналей, совпадают в точке, называемой «центроид вершины», и все они делятся пополам. ^{[10] : с.125}

Четыре «солодости» выпуклого четырехугольника - это перпендикуляры к стороне, проходящей через середину противоположной стороны, следовательно, делят последнюю пополам. Если четырехугольник является циклическим (вписан в круг), эти солодости совпадают в (все встречаются в) общей точке, называемой «антицентром».

Теорема Брахмагупты утверждает, что если вписанный четырехугольник ортодиагонален (то есть имеет перпендикулярные диагонали ), то перпендикуляр к стороне от точки пересечения диагоналей всегда делит противоположную сторону пополам.

Построение серединного перпендикуляра образует четырехугольник из серединных перпендикуляров сторон другого четырехугольника.

Биссектрисы площади и биссектрисы периметра [ править ]

Треугольник [ править ]

Есть лишь бесконечность линий , которые рассекают площадь в виде треугольника . Три из них являются медианами треугольника (которые соединяют середины сторон с противоположными вершинами), и они совпадают в центроиде треугольника ; действительно, это единственные биссектрисы площади, которые проходят через центроид. Три другие биссектрисы параллельны сторонам треугольника; каждая из них пересекает две другие стороны, чтобы разделить их на сегменты с соблюдением пропорций . ^[11] Эти шесть линий являются одновременными, по три одновременно: помимо того, что три медианы совпадают, любая одна медиана параллельна двум биссектрисам площади, параллельной сторонам.${\displaystyle {\sqrt {2}}+1:1}$

Конверт из бесконечности области биссектрис является дельтовидным ( в широком смысле как фигура с тремя вершинами , соединенных кривыми , которые являются вогнутыми к внешней части дельтовидного, что делает внутренние точки не-выпуклое множество). ^[11] Вершины дельтовидной мышцы находятся посередине медиан; все точки внутри дельтовидной мышцы находятся на трех биссектрисах разных площадей, а все точки за ее пределами - только на одной. [1] Стороны дельтоида - это дуги гипербол , которые асимптотичны удлиненным сторонам треугольника. ^[11] Отношение площади огибающей биссектрис площади к площади треугольника инвариантно для всех треугольников и равно${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}\log _{e}(2)-{\tfrac {1}{2}},}$ т.е. 0,019860 ... или менее 2%.

Тесак треугольника является отрезком , который делит пополам периметр треугольника и имеет одну конечную точку в середине одной из трех сторон. Три подмаренника сходится в точке (все проходят через них ) центр окружности Spieker , которая является вписанной в медиальном треугольнике . Скалыватели параллельны биссектрисам угла.

Разветвитель треугольника представляет собой отрезок линии , имеющей одну конечную точку в одном из трех вершин треугольника и рассекает периметр. Три разделителя совпадают в точке Нагеля треугольника.

Любая линия, проходящая через треугольник, которая разделяет площадь и периметр треугольника пополам, проходит через центр треугольника (центр вписанной окружности ). Для любого треугольника их может быть один, два или три. Линия, проходящая через центр, делит пополам одну из площади или периметра тогда и только тогда, когда она также делит пополам другую. ^[12]

Параллелограмм [ править ]

Любая линия, проходящая через середину параллелограмма, делит пополам площадь ^[13] и периметр.

Круг и эллипс [ править ]

Все биссектрисы площади и биссектрисы периметра круга или другого эллипса проходят через центр , а любые хорды, проходящие через центр, делят пополам площадь и периметр. В случае круга это диаметры круга.

Биссектрисы диагоналей [ править ]

Параллелограмм [ править ]

В диагоналях параллелограмма делят пополам друг с другом.

Четырехугольник [ править ]

Если отрезок прямой, соединяющий диагонали четырехугольника, делит обе диагонали пополам, то этот отрезок ( линия Ньютона ) сам делится пополам центром тяжести вершины.

Биссектрисы объема [ править ]

Плоскость, разделяющая два противоположных края тетраэдра в заданном соотношении, также делит объем тетраэдра в таком же соотношении. Таким образом, любая плоскость, содержащая бимедиан (соединитель середин противоположных ребер) тетраэдра, делит объем тетраэдра пополам ^{[14] [15] : с.89–90}

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Биссектриса угла в разрезе
• Определение биссектрисы угла. Математика Открыть справочник с интерактивным апплетом
• Определение биссектрисы линии. Математика Открыть справочник с интерактивным апплетом
• Биссектриса перпендикулярной линии. С интерактивным апплетом
• Анимированные инструкции по делению угла пополам и делению линии пополам с помощью циркуля и линейки
• Вайсштейн, Эрик В. «Биссектриса линии» . MathWorld .

Эта статья включает материал из биссектрисы угла с сайта PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .