Золотой треугольник (математика)

Золотой треугольник. Отношение a / b - это золотое сечение φ. Угол при вершине составляет . Углы основания 72 ° каждый.${\ Displaystyle \ theta = 36 ^ {\ circ}}$

Золотой гномон.

Золотой треугольник , называемые также возвышенный треугольником , ^[1] представляет собой равнобедренный треугольник , в котором дублированная сторона в золотой пропорции к базовой стороне:${\ displaystyle \ varphi}$

${\ displaystyle {a \ over b} = \ varphi = {1 + {\ sqrt {5}} \ over 2} \ приблизительно 1,618 ~ 034 ~.}$

Углы [ править ]

• Угол при вершине: ^[2]

${\ displaystyle \ theta = 2 \ arcsin {b \ over 2a} = 2 \ arcsin {1 \ over 2 \ varphi} = 2 \ arcsin {{{\ sqrt {5}} - 1} \ over 4} = {\ pi \ over 5} ~ {\ text {rad}} = 36 ^ {\ circ}.}$

Следовательно, золотой треугольник является острым (равнобедренным) треугольником.

• Поскольку сумма углов треугольника равна , каждый из основных углов (CBX и CXB) равен:${\ displaystyle \ pi ~ {\ text {rad}}}$

${\displaystyle \beta ={{\pi -{\pi \over 5}} \over 2}={2\pi \over 5}~{\text{rad}}=72^{\circ }.}$^[1]

Примечание:

${\displaystyle \beta =\arccos {{{\sqrt {5}}-1} \over 4}={2\pi \over 5}~{\text{rad}}=72^{\circ }.}$

• Золотой треугольник однозначно идентифицируется как единственный треугольник, у которого три угла в пропорции 1: 2: 2 (36 °, 72 °, 72 °). ^[3]

В других геометрических фигурах [ править ]

• Золотые треугольники можно найти в шипах правильных пентаграмм .
• Золотые треугольники также можно найти в правильном десятиугольнике , равностороннем и равностороннем десятиугольном многоугольнике, соединив любые две соседние вершины с центром. Это потому, что: 180 (10-2) / 10 = 144 ° - это внутренний угол, а деление его пополам через вершину к центру: 144/2 = 72 °. ^[1]
• Также золотые треугольники встречаются в сетях нескольких звёздчатых додекаэдров и икосаэдров .

Логарифмическая спираль [ править ]

Золотые треугольники вписаны в логарифмическую спираль

Золотой треугольник используется для образования некоторых точек логарифмической спирали . Разделив пополам один из основных углов, создается новая точка, которая, в свою очередь, образует еще один золотой треугольник. ^[4] Процесс деления пополам можно продолжать бесконечно, создавая бесконечное количество золотых треугольников. Через вершины можно провести логарифмическую спираль. Эта спираль также известна как равноугольная спираль, термин, придуманный Рене Декартом . «Если провести прямую линию от полюса к любой точке кривой, она пересекает кривую точно под таким же углом», следовательно, равносторонняя . ^[5]

Золотой гномон [ править ]

Золотой треугольник разделен пополам в треугольниках Робинсона: золотой треугольник и золотой гномон.

Обычная пентаграмма . Каждый угол представляет собой золотой треугольник. Фигура также содержит пять «больших» золотых гномонов, образованных соединением с «маленьким» центральным пятиугольником двух углов, которые не примыкают друг к другу. Если нарисовать пять сторон «большого» пятиугольника вокруг пентаграммы, получится пять «маленьких» золотых гномонов.

Тесно связан с золотым треугольником является золотым гномон , который является равнобедренным треугольником , в котором отношение длины равной боковой к базовой длине является обратным от золотого сечения .${\displaystyle {1 \over \varphi }}$ ${\displaystyle \varphi }$

«Золотой треугольник имеет отношение длины основания к длине стороны, равное золотому сечению φ, тогда как золотой гномон имеет отношение длины стороны к длине основания, равное золотому сечению φ». ^[6]

${\displaystyle {a' \over b'}={1 \over \varphi }={{{\sqrt {5}}-1} \over 2}\approx 0.618034.}$

Углы [ править ]

(Расстояния AX и CX равны a '= a = φ, а расстояние AC равно b' = φ², как показано на рисунке.)

• Угол при вершине AXC составляет:

${\displaystyle \theta '=2\arcsin {b' \over {2a'}}={\biggl (}2\arcsin {{\varphi ^{2}} \over {2\varphi }}{\biggr )}=2\arcsin {\varphi \over 2}=2\arcsin {{1+{\sqrt {5}}} \over 4}={3\pi \over 5}~rad=108^{\circ }.}$

Следовательно, золотой гномон представляет собой тупой (равнобедренный) треугольник.

${\displaystyle (}$Примечание: ${\displaystyle \theta '=\arccos {{1-{\sqrt {5}}} \over 4}={3\pi \over 5}~rad=108^{\circ }.)}$

• Поскольку сумма углов треугольника AXC равна , каждый из основных углов CAX и ACX равен:${\displaystyle \pi ~rad}$

${\displaystyle \beta '=\theta ={\pi -{3\pi \over 5} \over 2}={\pi \over 5}~rad=36^{\circ }.}$

Примечание:

${\displaystyle \beta '=\theta =\arccos {{1+{\sqrt {5}}} \over 4}={\pi \over 5}~rad=36^{\circ }.}$

• Золотой гномон однозначно идентифицируется как треугольник, имеющий три угла в пропорции 1: 1: 3 (36 °, 36 °, 108 °). Его базовые углы составляют 36 ° каждый, что совпадает с вершиной золотого треугольника.

Биссекции [ править ]

• Разрезав один из основных углов на 2 равных, золотой треугольник можно разделить пополам на золотой треугольник и золотой гномон.
• Разрезав угол при вершине на 2 угла, один из которых является двойным, золотой гномон можно разделить пополам на золотой треугольник и золотой гномон.
• Золотой гномон и золотой треугольник, равные стороны которых совпадают по длине, также называются тупым и острым треугольниками Робинсона. ^[3]

Тилингс [ править ]

• Золотой треугольник и два золотых гномона образуют правильный пятиугольник. ^[7]
• Эти равнобедренные треугольники можно использовать для построения мозаики Пенроуза . Плитки Пенроуза делают из воздушных змеев и дротиков. Воздушный змей сделан из двух золотых треугольников, а дротик - из двух гномонов.

См. Также [ править ]

• Золотой прямоугольник
• Золотой ромб
• Треугольник Кеплера
• Золотой треугольник Кимберлинга
• Лютня Пифагора
• Пентаграмма

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Золотой треугольник» . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Золотой гномон» . MathWorld .
• Треугольники Робинсона в энциклопедии Tilings
• Золотой треугольник по Евклиду
• Необычайная взаимность золотых треугольников в Тартапелаге - Джорджо Пьетрокола