Золотое сечение

Отрезки в золотом сечении

Золотой прямоугольник с длинной стороной а и на короткую сторону б примыкает к квадрату со сторонами длиной производит подобный золотой прямоугольник с длинной стороной A + B и на короткую сторону а . Это иллюстрирует отношения .${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}\equiv \varphi }$

В математике две величины находятся в золотом сечении, если их соотношение совпадает с отношением их суммы к большей из двух величин. Выражаясь алгебраически, для величин a и b с a  >  b  > 0

${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \varphi ,}$

где греческая буква фи ( или ) представляет собой золотое сечение. ^{[1] [a]} Это иррациональное число, которое является решением квадратного уравнения со значением:${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle x^{2}-x-1=0}$

${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1.6180339887\ldots .}$^{[2] [3]}

Золотое сечение также называют золотой серединой или золотым сечением ( лат . Sectio aurea ). ^{[4] [5]} Другие названия включают крайнем и среднем отношении , ^[6] медиальный участок , божественной пропорцией (лат: proportio Дивина ), ^[7] Божественный раздел (лат: Sectio Дивина ), золотая пропорция , золотое сечение , ^[8] и золотой номер . ^{[9] [10] [11]}

Математики со времен Евклида изучали свойства золотого сечения, включая его появление в размерах правильного пятиугольника и золотого прямоугольника , который можно разрезать на квадрат и меньший прямоугольник с тем же соотношением сторон . Золотое сечение также использовалось для анализа пропорций природных объектов, а также созданных руками человека систем, таких как финансовые рынки , в некоторых случаях на основе сомнительного соответствия данным. ^[12] Золотое сечение проявляется в некоторых образцах природы , в том числе в спиралевидном расположении листьев и других частей растений.

Некоторые художники и архитекторы двадцатого века , в том числе Ле Корбюзье и Сальвадор Дали , составили пропорции своих работ, приближенных к золотому сечению, полагая, что это эстетично . Они часто появляются в форме золотого прямоугольника , в котором отношение длинной стороны к короткой является золотым сечением.

Расчет

Список номеров Иррациональные числа ζ (3) √ 2 √ 3 √ 5 φ е π
Двоичный	1.1001111000110111011 ...
Десятичный	1.6180339887498948482 ... [3]
Шестнадцатеричный	1.9E3779B97F4A7C15F39 ...
Непрерывная дробь	${\displaystyle 1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}$
Алгебраическая форма	${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$

Греческая буква фи символизирует золотое сечение. Обычно используется строчная форма (φ или φ ). Иногда форма прописных букв ( ) используется для обозначения обратной величины золотого сечения, 1 / φ . ^[13]${\displaystyle \Phi }$

Говорят, что две величины a и b находятся в золотом сечении φ, если

${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}=\varphi .}$^[1]

Один из способов найти значение φ - начать с левой дроби. Упростив дробь и подставив в b / a = 1 / φ ,

${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{a}}+{\frac {b}{a}}=1+{\frac {b}{a}}=1+{\frac {1}{\varphi }}.}$

Следовательно,

${\displaystyle 1+{\frac {1}{\varphi }}=\varphi .}$

Умножение на φ дает

${\displaystyle \varphi +1=\varphi ^{2}}$

который может быть преобразован в

${\displaystyle {\varphi }^{2}-\varphi -1=0.}$

Используя формулу корней квадратного уравнения, получаем два решения:

${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1.618\,033\,988\,7\dots }$ и ${\displaystyle {\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}=-0.618\,033\,988\,7\dots }$

Поскольку φ - это отношение положительных величин, φ обязательно положительно:

${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=1.61803\,39887\dots }$^[2]

История

По словам Марио Ливио ,

Некоторые из величайших математических умов всех времен, от Пифагора и Евклида в Древней Греции , до средневекового итальянского математика Леонардо Пизанского и астронома эпохи Возрождения Иоганна Кеплера , до современных ученых, таких как оксфордский физик Роджер Пенроуз , провели бесконечные часы. над этим простым соотношением и его свойствами. ... Биологи, художники, музыканты, историки, архитекторы, психологи и даже мистики размышляли и обсуждали причины его повсеместности и привлекательности. Фактически, будет справедливо сказать, что золотое сечение вдохновляло мыслителей всех дисциплин, как никакое другое число в истории математики. ^[14]

-  Золотое сечение: история Фи, самого удивительного числа в мире

Древнегреческие математики первыми изучали то, что мы теперь называем золотым сечением из-за его частого появления в геометрии ; ^[15] разделение линии на «крайнее и среднее отношение» (золотое сечение) важно в геометрии правильных пентаграмм и пятиугольников . ^[16] Согласно одной истории, математик 5-го века до нашей эры Гиппас обнаружил, что золотое сечение не является ни целым числом, ни дробью ( иррациональным числом ), что удивило пифагорейцев . ^[17] Евклида «S Элементы ( с. 300 до н.э. ) предоставляет несколько предложенийи их доказательства используют золотое сечение, ^{[18] [b]} и содержат его первое известное определение, которое выглядит следующим образом: ^[19]

Говорят, что прямая линия разрезана в крайнем и среднем соотношении, когда, как вся линия относится к большему сегменту, так и больше к меньшему. ^{[20] [c]}

В течение следующего тысячелетия золотое сечение изучалось периферийно. Абу Камиль (ок. 850–930) использовал его в своих геометрических вычислениях пятиугольников и декагонов; его труды повлияли на работы Фибоначчи (Леонардо Пизанский) (ок. 1170–1250), который использовал соотношение в связанных задачах геометрии, хотя никогда не связывал его с серией чисел, названной в его честь . ^[22]

Лука Пачоли назвал свою книгу Divina пропорционально ( 1509 ) в честь соотношения и исследовал его свойства, включая его появление в некоторых Платоновых телах . ^{[11] [23]} Леонардо да Винчи , иллюстрировавший вышеупомянутую книгу, назвал это соотношение sectio aurea («золотое сечение»). ^[24] Математики 16-го века, такие как Рафаэль Бомбелли, решали геометрические задачи, используя соотношение. ^[25]

Немецкий математик Саймон Якоб (ум. 1564) заметил, что последовательные числа Фибоначчи сходятся к золотому сечению ; ^[26] это была вновь открыта Иоганном Кеплером в 1608. ^[27] Первое известное десятичное приближение (обратной) золотое сечение было указано , как «о 0,6180340» в 1597 году по Мёстлин из Университета Тюбингена в письме к Кеплеру, его бывшая ученица. ^[28] В том же году Кеплер написал Маэстлину о треугольнике Кеплера , который сочетает в себе золотое сечение с теоремой Пифагора . Кеплер сказал об этом:

У геометрии есть два великих сокровища: одно - это теорема Пифагора, другое - деление прямой на крайнее и среднее отношение. Первое мы можем сравнить с массой золота, второе - с драгоценным камнем. ^[7]

Математики XVIII века Абрахам де Муавр , Даниэль Бернулли и Леонард Эйлер использовали формулу, основанную на золотом сечении, которая находит значение числа Фибоначчи на основе его расположения в последовательности; в 1843 году она была заново открыта Жаком Филиппом Мари Бине , в честь которого она была названа «формулой Бине». ^[29] Мартин Ом впервые использовал немецкий термин goldener Schnitt («золотое сечение») для описания соотношения в 1835 году. ^[30] Джеймс Салли использовал эквивалентный английский термин в 1875 году. ^[31]

К 1910 году математик Марк Барр начал использовать греческую букву Фи ( φ ) в качестве символа золотого сечения. ^{[32] [d]} Он также был представлен тау ( τ ), первой буквой древнегреческого τομή («разрез» или «разрез»). ^{[35] [36]}

Между 1973 и 1974 годами Роджер Пенроуз разработал мозаику Пенроуза , шаблон, связанный с золотым сечением как в соотношении площадей двух ромбических плиток, так и в их относительной частоте в шаблоне. ^[37] Это привело к открытию Дэном Шехтманом в начале 1980-х квазикристаллов , ^{[38] [39]} некоторые из которых обладают икосаэдрической симметрией . ^{[40] [41]}

Приложения и наблюдения

Архитектура

Геометрический анализ более ранних исследований Великой мечети Кайруана в 2004 г. (670 г.) показывает применение золотого сечения в большей части ее дизайна. ^[42] Они нашли соотношения, близкие к золотому сечению, в общей планировке и в размерах молитвенного пространства, двора и минарета . Однако области с соотношением, близким к золотому сечению, не входили в первоначальный план и, вероятно, были добавлены при реконструкции. ^[42]

Было высказано предположение, что золотое сечение использовалось проектировщиками площади Накш-э-Джахан (1629 г.) и прилегающей мечети Лотфолла . ^[43]

Швейцарский архитектор Ле Корбюзье , известный своим вкладом в современный международный стиль , сосредоточил свою философию дизайна на системах гармонии и пропорций. Вера Ле Корбюзье в математический порядок Вселенной была тесно связана с золотым сечением и рядами Фибоначчи, которые он описал как «ритмы, очевидные для глаза и ясные в их отношениях друг с другом. И эти ритмы лежат в основе человеческая деятельность. Они звучат в человеке органической неизбежностью, той же прекрасной неизбежностью, которая заставляет детей, стариков, дикарей и ученых вычеркивать Золотое сечение ». ^{[44] [45]}

Ле Корбюзье явно использовал золотое сечение в его модулера системе для масштаба в архитектурной пропорции . Он видел эту систему как продолжение давних традиций Витрувия , « Витрувианского человека » Леонардо да Винчи , работы Леона Баттисты Альберти и других, которые использовали пропорции человеческого тела для улучшения внешнего вида и функциональности архитектуры .

Помимо золотого сечения, Ле Корбюзье основал систему на человеческих измерениях , числах Фибоначчи и двойной единице. Он довел предположение о золотом сечении в человеческих пропорциях до крайности: он разделил высоту своей модели человеческого тела на уровне пупка на две части в золотом сечении, затем разделил эти части в золотом сечении на коленях и горле; он использовал эти пропорции золотого сечения в системе Modulor . Вилла Штейн в Гарше, построенная Ле Корбюзье в 1927 году, стала примером применения системы Modulor. Прямоугольный план, фасад и внутренняя структура виллы очень похожи на золотые прямоугольники. ^[46]

Другой швейцарский архитектор, Марио Ботта , основывает многие свои проекты на геометрических фигурах. Несколько частных домов, которые он спроектировал в Швейцарии, состоят из квадратов и кругов, кубов и цилиндров. В доме, который он спроектировал в Ориглио , золотое сечение - это пропорция между центральной и боковыми частями дома. ^[47]

Изобразительное искусство

Divina Proportione ( Божественная пропорция ), трехтомный работают по Лука Пачоли , был опубликован в 1509 Пачоли, в францисканский монах , был известеносновном как математик, но он также был обучен и остро заинтересованы в искусстве. Divina пропорционально исследовала математику золотого сечения. Хотя часто говорят, что Пачоли защищал применение золотого сечения для получения приятных, гармоничных пропорций, Ливио указывает, что интерпретация была прослежена до ошибки в 1799 году, и что Пачоли на самом деле защищал Витрувианскую систему рациональных пропорций. ^[48] Пачоли также видел католическое религиозное значение в соотношении, что привело к названию его работы.

Леонардо да Винчи иллюстрации «х многогранники в Divina Proportione ^[49] привели некоторые полагают , что он включил золотое сечение в своих картинах. Но предположение, что его Мона Лиза , например, использует пропорции золотого сечения, не подтверждается собственными трудами Леонардо. ^[50] Точно так же, хотя Витрувианский Человек часто изображается в связи с золотым сечением, пропорции фигуры на самом деле не соответствуют ему, и в тексте упоминаются только отношения целых чисел. ^{[51] [52]}

Сальвадор Дали , под влиянием произведений Матила Гика , ^[53] явно использовал золотое сечение в его шедевре, таинстве Тайной вечери . Размеры полотна - золотой прямоугольник. Огромный додекаэдр в перспективе, края которого кажутся друг другу в золотом сечении, подвешен над Иисусом и позади него и доминирует в композиции. ^{[50] [54]}

Статистическое исследование 565 произведений искусства разных великих художников, проведенное в 1999 году, показало, что эти художники не использовали золотое сечение в размере своих полотен. Исследование пришло к выводу, что среднее соотношение двух сторон изученных картин составляет 1,34, при этом средние значения для отдельных художников варьируются от 1,04 (Гойя) до 1,46 (Беллини). ^[55] С другой стороны, Пабло Тосто перечислил более 350 работ известных художников, в том числе более 100 работ с холстами с золотым прямоугольником и пропорциями корень-5, а также другие с пропорциями, такими как корень-2, 3, 4 и 6. ^[56]

Книги и дизайн

По словам Яна Чихольда ,

Было время, когда отклонения от действительно красивых пропорций страницы 2: 3, 1: √3 и золотого сечения были редкостью. Многие книги, выпущенные между 1550 и 1770 годами, демонстрируют эти пропорции с точностью до полмиллиметра. ^[58]

Согласно некоторым источникам, золотое сечение используется в повседневном дизайне, например, в пропорциях игральных карт, открыток, плакатов, пластин переключателя света и широкоэкранных телевизоров. ^{[59] [60] [61] [62]}

Музыка

Ernő Lendvai анализирует Бела Барток работы «s как основанные на двух противоположных систем, что золотой пропорции и акустической шкалы , ^[63] , хотя другие музыкальные ученые отвергают этот анализ. ^[64] Французский композитор Эрик Сати использовал золотое сечение в нескольких своих произведениях, в том числе « Sonneries de la Rose + Croix» . Золотое сечение также очевидно в организации разделов в музыке « Reflets dans l'eau» Дебюсси («Отражения в воде») из Images(1-я серия, 1905 г.), в которой «последовательность клавиш обозначена интервалами 34, 21, 13 и 8, а основная кульминация находится в позиции фи». ^[65]

Музыковед Рой Ховат заметил, что формальные границы Ла Мер Дебюсси точно соответствуют золотому сечению. ^[66] Трезизе считает внутреннее свидетельство «замечательным», но предупреждает, что никакие письменные или зарегистрированные свидетельства не предполагают, что Дебюсси сознательно стремился к таким масштабам. ^[67]

Pearl Drums позиционирует вентиляционные отверстия на своих моделях Masters Premium на основе золотого сечения. Компания утверждает, что такое устройство улучшает басы, и подала заявку на патент на это нововведение. ^[68]

Хотя Хайнц Болен предложил шкалу 833 цента без повторения октавы, основанную на комбинационных тонах , в настройке есть отношения, основанные на золотом сечении. В качестве музыкального интервала соотношение 1,618 ... составляет 833,090 ... центов ( Воспроизведение ( помощь · информация ) ). ^[69] 

Природа

Иоганн Кеплер писал, что «образ мужчины и женщины проистекает из божественной пропорции. На мой взгляд, размножение растений и потомство животных находятся в одном соотношении». ^[70]

Психолог Адольф Цейзинг отметил, что золотое сечение появилось в филлотаксисе, и на основании этих закономерностей в природе утверждал, что золотое сечение является универсальным законом. ^{[71] [72]} Цейзинг написал в 1854 году универсальный ортогенетический закон «стремления к красоте и полноте в царствах как природы, так и искусства». ^[73]

В 2010 году журнал Science сообщил, что золотое сечение присутствует на атомном уровне в магнитном резонансе спинов в кристаллах ниобата кобальта. ^[74]

Однако некоторые утверждали, что многие очевидные проявления золотого сечения в природе, особенно в отношении размеров животных, являются вымышленными. ^[75]

Оптимизация

Золотое сечение - ключ к поиску золотого сечения .

Математика

Иррациональность

Золотое сечение - это иррациональное число . Ниже приведены два коротких доказательства иррациональности:

Противоречие из низшего выражения

Напомним, что:

целое - это более длинная часть плюс более короткая часть;

целое относится к более длинной части, а более длинная - к более короткой.

Если мы назовем все n и большую часть m , то второе утверждение выше станет

n относится к m так же, как m к n  -  m ,

или, алгебраически

${\displaystyle {\frac {n}{m}}={\frac {m}{n-m}}.\qquad (*)}$

Сказать, что золотое сечение φ рационально, означает, что φ - дробь n / m, где n и m - целые числа. Мы можем принять n / m как наименьшие значения, а n и m положительные. Но если n / m находится в младших членах, то тождество, отмеченное (*) выше, говорит, что m / ( n  -  m ) находится в еще более низких терминах. Это противоречие следует из предположения о рациональности φ .

По иррациональности √ 5

Еще одно краткое доказательство - возможно, более широко известное - иррациональности золотого сечения использует замыкание рациональных чисел при сложении и умножении. Если рационально, то также рационально, что является противоречием, если уже известно, что квадратный корень из неквадратного натурального числа иррационален.${\displaystyle \textstyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$${\displaystyle \textstyle 2\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)-1={\sqrt {5}}}$

Минимальный многочлен

Золотое сечение - это также алгебраическое число и даже целое алгебраическое число . Он имеет минимальный многочлен

${\displaystyle x^{2}-x-1.}$

Имея степень 2, этот многочлен на самом деле имеет два корня, второй из которых является сопряженным золотым сечением.

Конъюгат золотого сечения

Сопряженный корень минимального многочлена x ² - x - 1 равен

${\displaystyle -{\frac {1}{\varphi }}=1-\varphi ={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}=-0.61803\,39887\dots .}$

Абсолютное значение этой величины (≈ 0,618) соответствует соотношению длин, взятому в обратном порядке (меньшая длина сегмента по сравнению с большей длиной сегмента, b / a ), и иногда его называют конъюгатом золотого сечения ^[13] или серебряным сечением . ^{[e] [76]} Здесь он обозначается заглавной буквой Phi ( ):${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle \Phi ={1 \over \varphi }=\varphi ^{-1}=0.61803\,39887\ldots .}$

В качестве альтернативы может быть выражено как${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle \Phi =\varphi -1=1.61803\,39887\ldots -1=0.61803\,39887\ldots .}$

Это иллюстрирует уникальное свойство золотого сечения среди положительных чисел, которое

${\displaystyle {1 \over \varphi }=\varphi -1,}$

или его обратное:

${\displaystyle {1 \over \Phi }=\Phi +1.}$

Это означает 0,61803 ...: 1 = 1: 1,61803 ....

Альтернативные формы

Формула φ = 1 + 1 / φ может быть расширена рекурсивно, чтобы получить непрерывную дробь для золотого сечения: ^[77]

${\displaystyle \varphi =[1;1,1,1,\dots ]=1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}$

и его обратное:

${\displaystyle \varphi ^{-1}=[0;1,1,1,\dots ]=0+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}$

В дроби этих непрерывных дробей (1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, ..., или 1/1, 1/2, 2/3, 3 / 5, 5/8, 8/13, ...) - это отношения последовательных чисел Фибоначчи .

Уравнение φ ² = 1 + φ также дает непрерывный квадратный корень :

${\displaystyle \varphi ={\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+\cdots }}}}}}}}.}$

Для выражения φ можно вывести бесконечный ряд : ^[78]

${\displaystyle \varphi ={\frac {13}{8}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}(2n+1)!}{4^{2n+3}n!(n+2)!}}.}$

Также:

${\displaystyle \varphi =1+2\sin(\pi /10)=1+2\sin 18^{\circ }}$

${\displaystyle \varphi ={1 \over 2}\csc(\pi /10)={1 \over 2}\csc 18^{\circ }}$

${\displaystyle \varphi =2\cos(\pi /5)=2\cos 36^{\circ }}$

${\displaystyle \varphi =2\sin(3\pi /10)=2\sin 54^{\circ }.}$

Это соответствует тому факту, что длина диагонали правильного пятиугольника в φ раз больше длины его стороны, и аналогичным соотношениям в пентаграмме .

Геометрия

Число φ часто встречается в геометрии , особенно в фигурах с пятиугольной симметрией . Длина регулярного пятиугольника «s диагонали в ф раз его сторона. Вершины правильного икосаэдра - это вершины трех взаимно ортогональных золотых прямоугольников.

Не существует известного общего алгоритма для равномерного распределения заданного числа узлов на сфере для любого из нескольких определений четного распределения (см., Например, задачу Томсона ). Однако полезное приближение получается из разделения сферы на параллельные полосы с равной площадью поверхности и размещения по одному узлу в каждой полосе на долготах, разделенных золотым сечением круга, т.е. 360 ° / φ 222,5 °. Этим методом были расставлены 1500 зеркал студенческого спутника Starshine-3 . ^[79]

Разделение отрезка на внутреннее деление

1. Имея отрезок AB, постройте перпендикуляр BC в точке B так, чтобы BC составлял половину длины AB. Нарисуйте гипотенузу AC.
2. Нарисуйте дугу с центром C и радиусом BC. Эта дуга пересекает гипотенузу AC в точке D.
3. Нарисуйте дугу с центром A и радиусом AD. Эта дуга пересекает исходный отрезок AB в точке S. Точка S делит исходный отрезок AB на отрезки AS и SB с длинами в золотом сечении.

Разделение линейного сегмента внешним делением

1. Проведите отрезок AS и постройте от точки S отрезок SC, перпендикулярный AS, такой же длины, как AS.
2. Разделите пополам отрезок AS с M.
3. Дуга окружности вокруг M с радиусом MC пересекает в точке B прямую, проходящую через точки A и S (также известную как продолжение AS). Отношение AS к построенному сегменту SB - это золотое сечение.

Примеры применения вы можете увидеть в статьях Пентагон с заданной длиной стороны , Десятиугольник с заданной описанной окружностью и Десятиугольник с заданной длиной стороны .

Оба представленных выше различных алгоритма создают геометрические конструкции, которые определяют два выровненных отрезка линии, где соотношение более длинного и более короткого является золотым сечением.

Золотой треугольник, пятиугольник и пентаграмма

Золотой треугольник . Угол с двойной красной аркой равен 36 градусам или радианам.${\displaystyle {\frac {\pi }{5}}}$

Золотой треугольник

Золотой треугольник можно охарактеризовать как равнобедренный треугольник АВС с тем свойством , что биссектриса угла C производит новый треугольник CXB который является похож треугольником с оригиналом.

Если угол BCX = α, то XCA = α из-за деления пополам и CAB = α из-за аналогичных треугольников; ABC = 2α из исходной равнобедренной симметрии и BXC = 2α по подобию. Сумма углов в треугольнике составляет 180 °, поэтому 5α = 180, что дает α = 36 °. Таким образом, углы золотого треугольника составляют 36 ° -72 ° -72 °. Углы оставшегося тупого равнобедренного треугольника AXC (иногда называемого золотым гномоном) составляют 36 ° -36 ° -108 °.

Предположим, что XB имеет длину 1, и мы называем BC длиной φ . Из-за равнобедренных треугольников XC = XA и BC = XC, это также длина φ. Длина AC = AB, следовательно, равна φ  + 1. Но треугольник ABC подобен треугольнику CXB, поэтому AC / BC = BC / BX, AC / φ  = φ / 1, и поэтому AC также равно φ ² . Таким образом, φ ² = φ + 1, подтверждая, что φ действительно является золотым сечением.

Точно так же отношение площади большего треугольника AXC к меньшему CXB равно φ , в то время как обратное отношение равно φ - 1.

Пентагон

В правильном пятиугольнике отношение диагонали к стороне является золотым сечением, а пересекающиеся диагонали разделяют друг друга в золотом сечении. ^[11]

Строительство Одома

Пусть A и B - середины сторон EF и ED равностороннего треугольника DEF. Продлите AB, чтобы встретить описанную окружность DEF в C.
${\displaystyle {\tfrac {|AB|}{|BC|}}={\tfrac {|AC|}{|AB|}}=\phi }$

Джордж Одом дал удивительно простую конструкцию для φ, включающую равносторонний треугольник: если равносторонний треугольник вписан в круг и отрезок, соединяющий средние точки двух сторон, образуется так, чтобы пересекать круг в любой из двух точек, тогда эти три точки находятся в золотой пропорции. Этот результат является прямым следствием теоремы о пересечении хорд и может быть использован для построения правильного пятиугольника, конструкции, которая привлекла внимание известного канадского геометра HSM Coxeter, который опубликовал ее от имени Одома в виде диаграммы в American Mathematical Monthly, сопровождаемой единственное слово "вот!" ^[80]

Пентаграмма

Золотое сечение играет важную роль в геометрии пентаграммы . Каждое пересечение ребер разделяет другие ребра в золотой пропорции. Кроме того, отношение длины более короткого сегмента к отрезку, ограниченному двумя пересекающимися краями (стороной пятиугольника в центре пентаграммы), равно φ , как показано на четырехцветной иллюстрации.

Пентаграмма включает десять равнобедренных треугольников : пять острых и пять тупых равнобедренных треугольников. Во всех них отношение длинной стороны к короткой составляет φ . Острые треугольники - это золотые треугольники. Тупые равнобедренные треугольники - золотые гномоны.

Теорема Птолемея

Свойства золотого сечения правильного пятиугольника можно подтвердить, применив теорему Птолемея к четырехугольнику, образованному удалением одной из его вершин. Если длинное ребро и диагонали четырехугольника равны b , а короткие ребра - a , то теорема Птолемея дает b ²  =  a ²  +  ab, что дает

${\displaystyle {b \over a}={{1+{\sqrt {5}}} \over 2}.}$

Масштабность треугольников

Рассмотрим треугольник со сторонами длиной a , b и c в порядке убывания. Определите «масштабность» треугольника как меньшее из двух соотношений a / b и b / c . Масштабность всегда меньше φ и может быть максимально приближена к φ . ^[81]

Треугольник, стороны которого образуют геометрическую прогрессию

Если стороны треугольника образуют геометрическую прогрессию и находятся в соотношении 1: r  : r ² , где r - обычное отношение, тогда r должно лежать в диапазоне φ −1 < r < φ , что является следствием неравенство треугольника (сумма любых двух сторон треугольника должно быть строго больше , чем длина третьей стороны). Если r = φ, то две более короткие стороны равны 1 и φ, но их сумма равна φ ² , поэтому r < φ . Аналогичный расчет показывает, чтог > ф - 1. Треугольник, стороны которого находятся в отношении 1: √ φ  : φ, является прямоугольным (поскольку 1 + φ = φ ² ), известным как треугольник Кеплера . ^[82]

Золотой треугольник, ромб и ромбический триаконтаэдр

Золотой ромб является ромб , диагонали которого находятся в золотой пропорции. Ромбический триаконтаэдр является выпуклым многогранник , который имеет особое свойство: все его граней являются золотыми ромбами. В ромбическом триаконтаэдре двугранный угол между любыми двумя соседними ромбами составляет 144 °, что в два раз превышает угол равнобедренного золотого треугольника и в четыре раза его наиболее острый угла. ^[83]

Связь с последовательностью Фибоначчи

Математика золотого сечения и последовательности Фибоначчи тесно взаимосвязаны. Последовательность Фибоначчи:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, ...

Выражение в замкнутой форме для последовательности Фибоначчи включает золотое сечение:

${\displaystyle F\left(n\right)={{\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}} \over {\sqrt {5}}}={{\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}} \over {\sqrt {5}}}.}$

Золотое сечение - это предел отношений последовательных членов последовательности Фибоначчи (или любой последовательности, подобной Фибоначчи), как показано Кеплером : ^[84]

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}=\varphi .}$

Другими словами, если число Фибоначчи делится на его непосредственного предшественника в последовательности, частное приближается к φ ; например, 987/610  ≈  1,6180327868852. Эти приближения поочередно ниже и выше φ и сходятся к φ по мере увеличения числа Фибоначчи, и:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|F_{n}\varphi -F_{n+1}|=\varphi .}$

В более общем смысле:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+a}}{F_{n}}}=\varphi ^{a},}$

где выше отношения последовательных членов последовательности Фибоначчи, является случаем, когда ${\displaystyle a=1.}$

Кроме того, последовательные степени φ подчиняются повторению Фибоначчи :

${\displaystyle \varphi ^{n+1}=\varphi ^{n}+\varphi ^{n-1}.}$

Это тождество позволяет привести любой многочлен от φ к линейному выражению. Например:

${\displaystyle {\begin{aligned}3\varphi ^{3}-5\varphi ^{2}+4&=3(\varphi ^{2}+\varphi )-5\varphi ^{2}+4\\&=3[(\varphi +1)+\varphi ]-5(\varphi +1)+4\\&=\varphi +2\approx 3.618.\end{aligned}}}$

Приведение к линейному выражению может быть выполнено за один шаг с помощью отношения

${\displaystyle \varphi ^{k}=F_{k}\varphi +F_{k-1},}$

где - k- е число Фибоначчи.${\displaystyle F_{k}}$

Тем не менее, это не особое свойство ф , так как многочлены любого решения х до квадратного уравнения может быть уменьшена аналогичным образом, путем применения:

${\displaystyle x^{2}=ax+b}$

для данных коэффициентов a , b таких, что x удовлетворяет уравнению. В более общем смысле, любая рациональная функция (с рациональными коэффициентами) корня неприводимого многочлена n- й степени над рациональными числами может быть сведена к многочлену степени n - 1. В терминах теории поля , если α - корень неприводимого многочлена n- й степени, то имеет степень n выше , с базисом${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \{1,\alpha ,\dots ,\alpha ^{n-1}\}.}$

Симметрии

Золотое сечение и обратное золотое сечение обладают набором симметрий, которые их сохраняют и связывают. Оба они сохраняются дробно-линейными преобразованиями - этот факт соответствует тождеству и определению квадратного уравнения. Кроме того, они меняются местами тремя отображениями - они обратны, симметричны относительно и (проективно) симметричны относительно 2.${\displaystyle \varphi _{\pm }=(1\pm {\sqrt {5}})/2}$ ${\displaystyle x,1/(1-x),(x-1)/x,}$${\displaystyle 1/x,1-x,x/(x-1)}$${\displaystyle 1/2}$

Более глубоко, эти отображения образуют подгруппу модулярной группы, изоморфную симметрической группе из 3 букв, соответствующей стабилизатору набора из 3 стандартных точек на проективной прямой , а симметрии соответствуют фактор-отображению - подгруппе, состоящей из 3 цикла и идентичность фиксируют два числа, в то время как 2 цикла меняют их местами, таким образом реализуя карту.${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbf {Z} )}$${\displaystyle S_{3},}$${\displaystyle \{0,1,\infty \}}$${\displaystyle S_{3}\to S_{2}}$${\displaystyle C_{3}<S_{3}}$${\displaystyle ()(01\infty )(0\infty 1)}$

Другие свойства

Золотое сечение имеет простейшее выражение (и самую медленную сходимость) в виде непрерывной дроби любого иррационального числа (см. Альтернативные формы выше). Именно по этой причине, один из худших случаев из теоремы Лагранжа приближения и является экстремальным случаем неравенства Гурвицы для диофантовых приближений . Может быть, поэтому углы, близкие к золотому сечению, часто проявляются при филлотаксисе (росте растений). ^[85]

Определяющий квадратичный полином и сопряженное отношение приводят к десятичным значениям, дробная часть которых является общей с φ :

${\displaystyle \varphi ^{2}=\varphi +1=2.618\dots }$

${\displaystyle {1 \over \varphi }=\varphi -1=0.618\dots .}$

Последовательность степеней φ содержит эти значения 0,618 ..., 1,0, 1,618 ..., 2,618 ...; вообще, любая степень φ равна сумме двух непосредственно предшествующих степеней:

${\displaystyle \varphi ^{n}=\varphi ^{n-1}+\varphi ^{n-2}=\varphi \cdot \operatorname {F} _{n}+\operatorname {F} _{n-1}.}$

В результате можно легко разложить любую степень φ на кратное φ и константу. Кратное и константа всегда являются смежными числами Фибоначчи. Это приводит к другому свойству положительных степеней φ :

Если , то:${\displaystyle \lfloor n/2-1\rfloor =m}$

${\displaystyle \!\ \varphi ^{n}=\varphi ^{n-1}+\varphi ^{n-3}+\cdots +\varphi ^{n-1-2m}+\varphi ^{n-2-2m}}$

${\displaystyle \!\ \varphi ^{n}-\varphi ^{n-1}=\varphi ^{n-2}.}$

Когда золотое сечение используется в качестве основы системы счисления (см. Основание золотого сечения , иногда называемое финарным или φ -значным ), каждое целое число имеет завершающее представление, несмотря на то, что φ является иррациональным, но каждая дробь имеет непрерывное представление.

Золотое сечение - это фундаментальная единица поля алгебраических чисел и число Писо – Виджаярагхавана . ^[86] В поле мы имеем , где является -й числом Лукаса .${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {5}})}$${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {5}})}$${\displaystyle \varphi ^{n}={{L_{n}+F_{n}{\sqrt {5}}} \over 2}}$${\displaystyle L_{n}}$${\displaystyle n}$

Золотое сечение также появляется в гиперболической геометрии как максимальное расстояние от точки на одной стороне идеального треугольника до ближайшей из двух других сторон: это расстояние, длина стороны равностороннего треугольника, образованного точками касания окружность, вписанная в идеальный треугольник, есть . ^[87]${\displaystyle 4\log(\varphi )}$

Золотое сечение присутствует и в теории модульных функций . Позволять

${\displaystyle R(q)={\cfrac {q^{1/5}}{1+{\cfrac {q}{1+{\cfrac {q^{2}}{1+{\cfrac {q^{3}}{1+\ddots }}}}}}}}.}$

потом

${\displaystyle R(e^{-2\pi })={\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}-\varphi ,\quad R(e^{-2\pi {\sqrt {5}}})={\frac {\sqrt {5}}{1+\left(5^{\frac {3}{4}}(\varphi -1)^{\frac {5}{2}}-1\right)^{\frac {1}{5}}}}-\varphi .}$

Также если и , то ^[88]${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle ab=\pi ^{2}}$

${\displaystyle (R(e^{-2a})+\varphi )(R(e^{-2b})+\varphi )=\varphi {\sqrt {5}}.}$

Десятичное разложение

Десятичное разложение золотого сечения можно вычислить непосредственно из выражения

${\displaystyle \varphi ={1+{\sqrt {5}} \over 2}}$

с √ 5 ≈ 2,2360679774997896964 OEIS :  A002163 . Корень квадратный из 5 может быть вычислен с помощью вавилонского метода , начиная с начальной оценкой , такими как х ф = 2 и итерации

${\displaystyle x_{n+1}={\frac {(x_{n}+5/x_{n})}{2}}}$

для n = 1, 2, 3, ..., пока разница между x _n и x _{n −1 не} станет равной нулю, до желаемого количества цифр.

Вавилонский алгоритм для √ 5 эквивалентен методу Ньютона для решения уравнения x ²  - 5 = 0. В более общем виде метод Ньютона может быть применен непосредственно к любому алгебраическому уравнению , включая уравнение x ²  - x - 1 = 0 что определяет золотое сечение. Это дает итерацию, которая сходится к самому золотому сечению,

${\displaystyle x_{n+1}={\frac {x_{n}^{2}+1}{2x_{n}-1}},}$

для соответствующей начальной оценки x φ, такой как x φ = 1. Немного более быстрый способ - переписать уравнение как x  - 1 - 1 / x = 0, и в этом случае итерация Ньютона становится

${\displaystyle x_{n+1}={\frac {x_{n}^{2}+2x_{n}}{x_{n}^{2}+1}}.}$

Все эти итерации сходятся квадратично ; то есть каждый шаг примерно удваивает количество правильных цифр. Таким образом, золотое сечение относительно легко вычислить с произвольной точностью . Время, необходимое для вычисления n цифр золотого сечения, пропорционально времени, необходимому для деления двух n- значных чисел. Это значительно быстрее, чем известные алгоритмы для трансцендентных чисел π и e .

Легко программируемая альтернатива с использованием только целочисленной арифметики - вычислить два больших последовательных числа Фибоначчи и разделить их. Отношение чисел Фибоначчи F ₂₅₀₀₁ и F ₂₅₀₀₀ , каждое из которых превышает 5000 цифр, дает более 10 000 значащих цифр золотого сечения.

Десятичное разложение золотого сечения φ ^[3] было вычислено с точностью до двух триллионов (2 × 10 ¹² = 2 000 000 000 000) цифр. ^[89]

Пирамиды

Правильная квадратная пирамида определяется ее средним прямоугольным треугольником, края которого являются апофемой пирамиды (а), полуоснованием (b) и высотой (h); также отмечается угол наклона лица. Математические пропорции b: h: a of и and представляют особый интерес применительно к египетским пирамидам.${\displaystyle 1:{\sqrt {\varphi }}:\varphi }$${\displaystyle 3:4:5}$${\displaystyle 1:4/\pi :1.61899}$

Как египетские пирамиды, так и похожие на них правильные квадратные пирамиды можно анализировать на предмет золотого сечения и других соотношений.

Математические пирамиды

Пирамида, в которой апофема (наклонная высота по биссектрисе грани) равна φ, умноженному на полуоснование ( половину ширины основания), иногда называют золотой пирамидой . Равнобедренный треугольник, который является гранью такой пирамиды, может быть построен из двух половин разделенного по диагонали золотого прямоугольника (размером с полуоснование по апофемой), соединяющих края средней длины, чтобы образовать апофему. Высота этой пирамиды умножена на полуоснование (то есть наклон грани равен ); квадрат высоты равен площади поверхности, ф раз квадрата пола-основание.${\displaystyle {\sqrt {\varphi }}}$${\displaystyle {\sqrt {\varphi }}}$

Средний прямоугольный треугольник этой «золотой» пирамиды (см. Диаграмму) со сторонами интересен сам по себе, демонстрируя с помощью теоремы Пифагора связь или . Этот треугольник Кеплер ^[90] является единственным прямоугольным треугольник пропорции с длинами ребер в геометрической прогрессии , ^{[91] [82]} так же , как 3-4-5 треугольника является единственно правильный треугольник пропорции с длинами ребер в арифметической прогрессии . Угол с касательной соответствует углу, который сторона пирамиды образует по отношению к земле, 51,827 ... градуса (51 ° 49 '38 "). ^[92]${\displaystyle 1:{\sqrt {\varphi }}:\varphi }$${\displaystyle {\sqrt {\varphi }}={\sqrt {\varphi ^{2}-1}}}$${\displaystyle \varphi ={\sqrt {1+\varphi }}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\varphi }}}$

Почти аналогичная форма пирамиды, но с рациональными пропорциями, описана в Математическом папирусе Райнда (источнике значительной части современных знаний о древнеегипетской математике ), основанном на треугольнике 3: 4: 5; ^[93] наклон лица, соответствующий углу с касательной 4/3, с двумя десятичными знаками составляет 53,13 градуса (53 градуса и 8 минут). Наклонная высота или апофема составляет 5/3 или 1,666 ... раз от полуоснования. У папируса Райнда есть еще одна проблема пирамиды, опять же с рациональным наклоном (выраженным как наезд через подъем). Египетская математика не использовала понятие иррациональных чисел ^[94].и рациональный обратный наклон (бег / подъем, умноженный на коэффициент 7, чтобы преобразовать их в условные единицы пальмы на локоть) использовался при строительстве пирамид. ^[93]

Другая математическая пирамида с пропорциями, почти идентичными «золотой», - это пирамида с периметром, равным 2 π умноженной на высоту, или h: b = 4: π . Этот треугольник имеет угол наклона 51,854 ° (51 ° 51 '), что очень близко к 51,827 ° треугольника Кеплера. Эта пирамида отношений соответствует случайным отношениям .${\displaystyle {\sqrt {\varphi }}\approx 4/\pi }$

Известны египетские пирамиды, очень близкие по пропорциям к этим математическим пирамидам. ^{[95] [82]}

Египетские пирамиды

Одна египетская пирамида, которая близка к «золотой пирамиде», - это Великая пирамида Гизы (также известная как пирамида Хеопса или Хуфу). Его наклон 51 ° 52 'близок к наклону "золотой" пирамиды 51 ° 50' - и даже ближе к наклону пирамиды на основе π 51 ° 51 '. Однако несколько других математических теорий формы великой пирамиды, основанные на рациональных наклонах, оказались как более точными, так и более правдоподобными объяснениями наклона 51 ° 52 '. ^[82]

В середине девятнадцатого века Фридрих Ребер изучал различные египетские пирамиды, в том числе пирамиды Хафра , Менкаура и некоторых групп Гизы , Саккары и Абусира . Он не применял золотое сечение к Великой пирамиде в Гизе, но вместо этого согласился с Джоном Шэ Перрингом, что ее отношение сторон к высоте составляет 8: 5. Для всех других пирамид он применил измерения, относящиеся к треугольнику Кеплера, и заявил, что их длина целиком или половина стороны связана с их высотой по золотому сечению. ^[96]

В 1859 году пирамидолог Джон Тейлор неверно истолковал Геродота ( около 440 г. до н.э. ) как указание на то, что квадрат высоты Великой пирамиды равен площади одного из ее треугольников. ^[f] Это заставило Тейлора утверждать, что в Великой пирамиде золотое сечение представлено отношением длины грани (высота склона, наклоненного под углом θ к земле) к половине длины стороны квадратного основания (эквивалентного секущей угла θ). ^[98] Две указанные выше длины составляют примерно 186,4 метра (612 футов) и 115,2 метра (378 футов), соответственно. ^[97]Отношение этих длин - золотое сечение, с точностью до большего числа цифр, чем любое из исходных измерений. Точно так же Ховард Виз сообщил о высоте великой пирамиды 148,2 метра (486 футов) и половинном основании 116,4 метра (382 фута), что дает 1,6189 для отношения наклонной высоты к половине основания, что опять же более точно, чем изменчивость данных. ^[91]

Эрик Темпл Белл , математик и историк, в 1950 году утверждал, что египетская математика не поддержала бы способность вычислять наклонную высоту пирамид или отношение к высоте, за исключением пирамиды 3: 4: 5, поскольку треугольник 3: 4: 5 был единственным прямоугольным треугольником, известным египтянам, и они не знали ни теорему Пифагора, ни какого-либо способа рассуждать об иррациональных числах, таких как π или φ . ^[99] Примеры геометрических задач пирамидального дизайна в папирусе Райнда соответствуют различным рациональным наклонам. ^[82]

Майкл Райс ^[100] утверждает, что основные авторитеты в истории египетской архитектуры утверждали, что египтяне были хорошо знакомы с золотым сечением и что оно является частью математики пирамид, цитируя Гедона (1957). ^[101] Историки науки давно спорят, обладали ли египтяне такими знаниями, утверждая, что его появление в Великой пирамиде - результат случайности. ^[102]

Спорные наблюдения

Примеры спорных наблюдений за золотым сечением включают следующее:

• Некоторые особые пропорции тел многих животных (включая людей) ^{[103] [104]} и части раковин моллюсков ^[5] часто считаются находящимися в золотом сечении. Однако существует большой разброс в реальных показателях этих элементов у конкретных людей, и рассматриваемая пропорция часто значительно отличается от золотого сечения. ^[103] Отношение последовательных фаланговых костей пальцев и пястных костей приблизительно соответствует золотому сечению. ^[104] Nautilus оболочки, строительство которых продолжается в логарифмической спирали, часто цитируется, обычно с идеей, что любая логарифмическая спираль связана с золотым сечением, но иногда с утверждением, что каждая новая камера имеет золотую пропорцию по отношению к предыдущей. ^[105] Однако измерения раковин наутилуса не подтверждают это утверждение. ^[106]
• Историк Джон Ман утверждает, что и страницы, и текстовая часть Библии Гутенберга были «основаны на форме золотого сечения». Однако, по его собственным меркам, отношение высоты к ширине страниц составляет 1,45. ^[107]
• Исследования психологов, начиная с Густава Фехнера ок. 1876, ^[108] были разработаны, чтобы проверить идею о том, что золотое сечение играет роль в человеческом восприятии красоты . Хотя Фехнер предпочел прямоугольные отношения, основанные на золотом сечении, более поздние попытки тщательно проверить такую ​​гипотезу были, в лучшем случае, безрезультатными. ^{[109] [50]}
• При инвестировании некоторые специалисты по техническому анализу используют золотое сечение для обозначения поддержки уровня цен или сопротивления росту цен на акции или товары; после значительных изменений цены вверх или вниз новые уровни поддержки и сопротивления предположительно обнаруживаются на уровне или около цен, связанных с начальной ценой через золотое сечение. ^[110] Использование золотого сечения в инвестировании также связано с более сложными моделями, описываемыми числами Фибоначчи (например, принцип волны Эллиотта и восстановление Фибоначчи ). Однако другие аналитики рынка опубликовали анализы, предполагающие, что эти проценты и закономерности не подтверждаются данными. ^[111]

Парфенон

Parthenon «ы фасад (ок. 432 г. до н.э.), а также элементы его фасада и в других местах , как говорят некоторые , чтобы быть ограниченный золотыми прямоугольниками. ^[113] Другие ученые отрицают, что у греков была какая-либо эстетическая связь с золотым сечением. Например, Кейт Девлин говорит: «Конечно, часто повторяемое утверждение о том, что Парфенон в Афинах основан на золотом сечении, не подтверждается реальными измерениями. На самом деле вся история о греках и золотом сечении кажется безосновательной. " ^[114] Мидхат Дж. Газале утверждает, что «математические свойства золотого сечения были изучены только после Евклида ...». ^[115]

Из измерений 15 храмов, 18 монументальных гробниц, 8 саркофагов и 58 надгробных стел с пятого века до нашей эры до второго века нашей эры один исследователь пришел к выводу, что золотое сечение полностью отсутствует в греческой архитектуре классического пятого века до нашей эры, и почти отсутствует в течение следующих шести столетий. ^[116] Более поздние источники, такие как Витрувий (первый век до нашей эры), обсуждают исключительно пропорции, которые могут быть выражены целыми числами, то есть соразмерные, а не иррациональные пропорции.

Современное искусство

Раздел d'Or ( «Золотое сечение») был коллектив художников , скульпторов, поэтов и критиков , связанных с кубизмом и орфизме . ^[117] Работавшие с 1911 по 1914 год, они приняли это название, чтобы подчеркнуть, что кубизм представляет собой продолжение великой традиции, а не изолированное движение, и отдать дань уважения математической гармонии, связанной с Жоржем Сёра . ^[118] Кубисты наблюдали в его гармонии, геометрической структуре движения и формы, примат идеи над природой, абсолютную научную ясность концепции. ^[119]Однако, несмотря на этот общий интерес к математической гармонии, труднее определить , использовали ли картины, представленные на знаменитой выставке Salon de la Section d'Or 1912 года, золотое сечение в каких-либо композициях. Ливио, например, утверждает, что они этого не сделали ^[120], и Марсель Дюшан сказал об этом в интервью. ^[121] С другой стороны, анализ показывает, что Хуан Грис использовал золотое сечение при создании работ, которые, вероятно, но не окончательно, были показаны на выставке. ^{[121] [122] [123]} Историк искусства Дэниел Роббинсутверждал, что помимо ссылки на математический термин, название выставки также относится к более ранней группе Bandeaux d'Or , с которой были связаны Альбер Глез и другие бывшие члены Abbaye de Créteil . ^[124]

Говорят, что Пит Мондриан широко использовал золотое сечение в своих геометрических картинах ^[125], хотя другие эксперты (включая критика Ива-Алена Буа ) дискредитировали эти утверждения. ^{[50] [126]}

Смотрите также

Рекомендации

Пояснительные сноски

Цитаты

Процитированные работы

• Ливио, Марио (2003) [2002]. Золотое сечение: история Фи, самого удивительного числа в мире (первая торговая книга в мягкой обложке). Нью-Йорк: Бродвейские книги . ISBN 978-0-7679-0816-0.
• Стахов Алексей П .; Олсен, Скотт (2009). Математика гармонии: от Евклида до современной математики и информатики . Сингапур: World Scientific Publishing . ISBN 978-981-277-582-5.

дальнейшее чтение

внешняя ссылка

Викискладе есть медиафайлы по теме золотого сечения .

• "Золотое сечение" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• «Золотое сечение» Михаэля Шрайбера, Wolfram Demonstrations Project , 2007.
• Вайсштейн, Эрик В. «Золотое сечение» . MathWorld .
• Нотт, Рон. «Соотношение золотого сечения: Фи» . Информация и деятельность профессора математики.
• Пентаграмма и золотое сечение . Грин, Томас М. Обновлено в июне 2005 г. Архивировано в ноябре 2007 г. Инструкция по геометрии с задачами, которые необходимо решить.
• «Миф, который не исчезнет» , Кейт Девлин , в ответ на многочисленные утверждения об использовании золотого сечения в культуре.