Пентагон

Пентагон
Равносторонний пятиугольник, то есть пятиугольник, все пять сторон которого имеют одинаковую длину.
Ребра и вершины	5
Внутренний угол ( градусы )	108 ° (при равноугловом, в том числе обычном)

В геометрии , A пятиугольник (от греческого πέντε Пента и γωνία Гониа , что означает пять и угол ^[1] ) является любым пятисторонним многоугольник или 5-угольник. Сумма внутренних углов в простом пятиугольнике составляет 540 °.

Пятиугольник может быть простым или самопересекающимся . Самопересекающийся правильный пятиугольник (или звездный пятиугольник ) называется пентаграммой .

Правильные пятиугольники [ править ]

Правильный пятиугольник
Правильный пятиугольник
Тип	Правильный многоугольник
Ребра и вершины	5
Символ Шлефли	{5}
Диаграмма Кокстера
Группа симметрии	Двугранный (D 5 ), порядок 2 × 5
Внутренний угол ( градусы )	108 °
Двойной многоугольник	Себя
Характеристики	Выпуклый , циклический , равносторонний , изогональный , изотоксальный

Сторона ( ), радиус описанной окружности ( ), радиус вписанной окружности ( ), высота ( ) , ширина / диагональ ( )${\ displaystyle t}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle R + r}$${\ displaystyle \ varphi t}$

Регулярный пятиугольник имеет Шлефли символ {5} и внутренние углы 108 °.

Регулярный пятиугольник имеет пять линий reflectional симметрии , и поворотную симметрию порядка 5 (через 72 °, 144 °, 216 ° и 288 °). В диагоналях из более выпуклого правильного пятиугольника находятся в золотая пропорция к его сторонам. Его высота (расстояние от одной стороны до противоположной вершины) и ширина (расстояние между двумя наиболее удаленными друг от друга точками, равное длине диагонали) задаются выражением

${\displaystyle {\text{Height}}={\frac {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}{2}}\cdot {\text{Side}}\approx 1.539\cdot {\text{Side}},}$

${\displaystyle {\text{Width}}={\text{Diagonal}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\cdot {\text{Side}}\approx 1.618\cdot {\text{Side}},}$

${\displaystyle {\text{Width}}={\sqrt {2-{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}\cdot {\text{Height}}\approx 1.051\cdot {\text{Height}},}$

${\displaystyle {\text{Diagonal}}=R\ {\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}=2R\cos 18^{\circ }=2R\cos {\frac {\pi }{10}}\approx 1.902R,}$

где R - радиус описанной окружности .

Площадь выпуклого правильного пятиугольника с длиной стороны t определяется выражением

${\displaystyle A={\frac {t^{2}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}{4}}={\frac {5t^{2}\tan(54^{\circ })}{4}}={\frac {{\sqrt {5(5+2{\sqrt {5}})}}t^{2}}{4}}\approx 1.720t^{2}.}$

Пентаграмма или Pentangle является регулярной звездой пятиугольника. Его символ Шлефли - {5/2}. Его стороны образуют диагонали правильного выпуклого пятиугольника - в этом расположении стороны двух пятиугольников находятся в золотом сечении .

Когда правильный пятиугольник описан окружностью радиуса R , длина его ребра t определяется выражением

${\displaystyle t=R\ {\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}=2R\sin 36^{\circ }=2R\sin {\frac {\pi }{5}}\approx 1.176R,}$

и его площадь

${\displaystyle A={\frac {5R^{2}}{4}}{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}};}$

поскольку площадь описанной окружности равна площади правильного пятиугольника, он заполняет приблизительно 0,7568 всей описанной окружности.${\displaystyle \pi R^{2},}$

Вывод формулы площади [ править ]

Площадь любого правильного многоугольника равна:

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}Pr}$

где P - периметр многоугольника, а r - внутренний радиус (эквивалентно апофема ). Подстановка значений правильного пятиугольника вместо P и r дает формулу

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\cdot 5t\cdot {\frac {t\tan({\frac {3\pi }{10}})}{2}}={\frac {5t^{2}\tan({\frac {3\pi }{10}})}{4}}}$

с длиной стороны t .

Инрадиус [ править ]

Как и в любой правильный выпуклый многоугольник, в правильный выпуклый пятиугольник вписан круг . Апофема , что радиус г вписанной окружности, правильный пятиугольник связана с длиной стороны т путем

${\displaystyle r={\frac {t}{2\tan(\pi /5)}}={\frac {t}{2{\sqrt {5-{\sqrt {20}}}}}}\approx 0.6882\cdot t.}$

Хорды ​​от описанной окружности до вершин [ править ]

Как и любой правильный выпуклый многоугольник, правильный выпуклый пятиугольник имеет описанную окружность . Для правильного пятиугольника с последовательными вершинами A, B, C, D, E, если P - любая точка на описанной окружности между точками B и C, то PA + PD = PB + PC + PE.

Точка в плоскости [ править ]

Для произвольной точки на плоскости правильного пятиугольника с описанным радиусом , расстояние до центра тяжести правильного пятиугольника и его пяти вершин и его пяти вершин равны и соответственно, имеем ^[2]${\displaystyle R}$${\displaystyle L}$${\displaystyle d_{i}}$

${\displaystyle \textstyle \sum _{i=1}^{5}d_{i}^{2}=5(R^{2}+L^{2}),}$

${\displaystyle \textstyle \sum _{i=1}^{5}d_{i}^{4}=5((R^{2}+L^{2})^{2}+2R^{2}L^{2}),}$

${\displaystyle \textstyle \sum _{i=1}^{5}d_{i}^{6}=5((R^{2}+L^{2})^{3}+6R^{2}L^{2}(R^{2}+L^{2})),}$

${\displaystyle \textstyle \sum _{i=1}^{5}d_{i}^{8}=5((R^{2}+L^{2})^{4}+12R^{2}L^{2}(R^{2}+L^{2})^{2}+6R^{4}L^{4}).}$

Если - расстояния от вершин правильного пятиугольника до любой точки описанной окружности, то ^[2]${\displaystyle d_{i}}$

${\displaystyle 3(\textstyle \sum _{i=1}^{5}d_{i}^{2})^{2}=10\textstyle \sum _{i=1}^{5}d_{i}^{4}.}$

Построение правильного пятиугольника [ править ]

Правильный пятиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки , так как 5 - простое число Ферма . Известно множество методов построения правильного пятиугольника. Некоторые обсуждаются ниже.

Метод Ричмонда [ править ]

Один из методов построения правильного пятиугольника в данном круге описан Ричмондом ^[3] и далее обсуждается в Многогранниках Кромвеля . ^[4]

На верхней панели показана конструкция, использованная в методе Ричмонда для создания стороны вписанного пятиугольника. Круг, определяющий пятиугольник, имеет единичный радиус. Его центр расположен в точке C, а середина M отмечена на полпути по его радиусу. Эта точка соединена с периферией вертикально над центром в точке D . Угол ЦМД пополам, а биссектриса пересекает вертикальную ось в точке Q . Горизонтальная линия, проходящая через Q, пересекает окружность в точке P , а хорда PD - это искомая сторона вписанного пятиугольника.

Чтобы определить длину этой стороны, под кружком изображены два прямоугольных треугольника DCM и QCM . Используя теорему Пифагора и две стороны, гипотенуза большего треугольника находится как . Тогда сторона h меньшего треугольника находится по формуле полуугла :${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {5}}/2}$

${\displaystyle \tan(\phi /2)={\frac {1-\cos(\phi )}{\sin(\phi )}}\ ,}$

где косинус и синус ϕ известны из большего треугольника. Результат:

${\displaystyle h={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}\ .}$

Когда эта сторона известна, внимание обращается на нижнюю диаграмму, чтобы найти сторону s правильного пятиугольника. Во-первых, сторона a правого треугольника снова находится с помощью теоремы Пифагора:

${\displaystyle a^{2}=1-h^{2}\ ;\ a={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}\ .}$

Тогда s находится с помощью теоремы Пифагора и левого треугольника как:

${\displaystyle s^{2}=(1-h)^{2}+a^{2}=(1-h)^{2}+1-h^{2}=1-2h+h^{2}+1-h^{2}=2-2h=2-2\left({\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}\right)\ }$

${\displaystyle ={\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}\ .}$

Таким образом, сторона s :

${\displaystyle s={\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}\ ,}$

хорошо зарекомендовавший себя результат. ^[5] Следовательно, эта конструкция пятиугольника верна.

Карлайл круги [ править ]

Круг Карлайла был изобретен как геометрический метод поиска корней квадратного уравнения . ^[6] Эта методология приводит к процедуре построения правильного пятиугольника. Шаги следующие: ^[7]

1. Нарисуйте круг , в котором , чтобы вписать пятиугольник и пометить центральную точку O .
2. Проведите горизонтальную линию через центр круга. Отметить левое пересечение с кругом в качестве точки B .
3. Проведите вертикальную линию через центр. Отметьте одно пересечение с кругом в качестве точки А .
4. Построить точку М как средняя точка O и B .
5. Нарисуйте круг с центром в точке М через точку А . Отметьте ее пересечения с горизонтальной линией (внутри исходной окружности) в точке W и ее пересечение вне окружности в качестве точки V .
6. Нарисуйте окружность радиуса ОА и центра W . Он пересекает исходный круг в двух вершинах пятиугольника.
7. Нарисуйте окружность радиуса ОА и центр V . Он пересекает исходный круг в двух вершинах пятиугольника.
8. Пятая вершина - это крайнее правое пересечение горизонтальной линии с исходной окружностью.

Шаги 6–8 эквивалентны следующей версии, показанной на анимации:

6а. Постройте точку F как середину точек O и W.

7а. Постройте вертикальную линию через F. Она пересекает исходную окружность в двух вершинах пятиугольника. Третья вершина - это крайнее правое пересечение горизонтальной линии с исходной окружностью.

8а. Постройте две другие вершины, используя циркуль и длину вершины, найденную на шаге 7a.

Использование тригонометрии и теоремы Пифагора [ править ]

Строительство [ править ]

1. Сначала отметим, что правильный пятиугольник можно разделить на 10 равных треугольников, как показано в наблюдении . Кроме того, cos 36 ° = . †${\displaystyle {\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{4}}}$
2. На шаге 1 мы используем четыре единицы (показаны синим) и прямой угол, чтобы построить отрезок длиной 1+ √ 5 , в частности, создав прямоугольный треугольник 1-2- √ 5 и затем расширив гипотенузу √ 5 на длина 1. Затем мы делим этот сегмент пополам, а затем снова делим пополам, чтобы создать отрезок длины (показан красным).${\displaystyle {\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{4}}}$
3. На шаге 2 мы строим две концентрические окружности с центром в точке O радиусом 1 и длиной . Затем мы произвольно помещаем P на меньший круг, как показано. Строя прямую, перпендикулярную OP, проходящую через P , мы строим первую сторону пятиугольника, используя точки, созданные на пересечении касательной и единичной окружности. Копирование этой длины четыре раза по внешнему краю единичных кругов дает нам правильный пятиугольник.${\displaystyle {\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{4}}}$

† Доказательство того, что cos 36 ° = ${\displaystyle {\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{4}}}$[ править ]

${\displaystyle 0=\cos 90^{\circ }}$

${\displaystyle =\cos(72^{\circ }+18^{\circ })}$

${\displaystyle =\cos 72^{\circ }\cos 18^{\circ }-\sin 72^{\circ }\sin 18^{\circ }}$(с использованием формулы сложения углов для косинуса )

${\displaystyle =(2\cos ^{2}36^{\circ }-1){\sqrt {\tfrac {1+\cos 36^{\circ }}{2}}}-2\sin 36^{\circ }\cos 36^{\circ }{\sqrt {\tfrac {1-\cos 36^{\circ }}{2}}}}$(с использованием формул двойного и половинного угла )

Пусть u = cos 36 °. Во-первых, обратите внимание, что 0 < u <1 (что поможет нам упростить работу). Сейчас же,

${\displaystyle {\begin{aligned}0&{}=(2u^{2}-1){\sqrt {\tfrac {1+u}{2}}}-2{\sqrt {1-u^{2}}}\cdot u{\sqrt {\tfrac {1-u}{2}}}\\2{\sqrt {1-u^{2}}}\cdot u{\sqrt {\tfrac {1-u}{2}}}&{}=(2u^{2}-1){\sqrt {\tfrac {1+u}{2}}}\\2{\sqrt {1+u}}{\sqrt {1-u}}\cdot u{\sqrt {1-u}}&{}=(2u^{2}-1){\sqrt {1+u}}\\2u(1-u)&{}=2u^{2}-1\\2u-2u^{2}&{}=2u^{2}-1\\0&{}=4u^{2}-2u-1\\u&{}={\frac {2+{\sqrt {(-2)^{2}-4(4)(-1)}}}{2(4)}}\\u&{}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}\end{aligned}}}$

Это быстро следует из знания, что удвоение синуса 18 градусов является обратным золотым сечением, которое мы знаем геометрически из треугольника с углами 72,72,36 градусов. Из тригонометрии мы знаем, что косинус дважды 18 градусов равен 1 минус два квадрата синуса 18 градусов, и это сводится к желаемому результату с помощью простой квадратичной арифметики.

Дана длина стороны [ править ]

Правильный пятиугольник согласно золотому сечению , разделяющий отрезок линии внешним делением

1. Нарисуйте отрезок AB , длина которого равна заданной стороне пятиугольника.
2. Вытяните отрезок BA от точки A примерно на три четверти отрезка BA .
3. Нарисуйте дугу окружности с центром B и радиусом AB .
4. Нарисуйте дугу окружности с центром A и радиусом AB ; возникает пересечение F .
5. Постройте перпендикуляр к отрезку AB через точку F ; возникает пересечение G .
6. Проведите линию, параллельную отрезку FG, от точки A до дуги окружности вокруг точки A ; возникает пересечение Н .
7. Нарисуйте дугу окружности, центральную точку G с радиусом GH до продолжения отрезка AB ; возникает пересечение J .
8. Нарисуйте дугу окружности, центральную точку B с радиусом BJ до перпендикуляра в точке G ; возникают пересечение D на перпендикуляре, и пересечение Е с дугой окружности , которая была создана вокруг точки А .
9. Нарисуйте дугу окружности, центральную точку D , с радиусом BA, пока эта дуга окружности не пересечет другую дугу окружности вокруг точки B ; возникает пересечение С .
10. Соедините точки BCDEA . Получается пятиугольник.

Золотое сечение [ править ]

${\displaystyle {\frac {\overline {BJ}}{\overline {AB}}}={\frac {\overline {AB}}{\overline {AJ}}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\varphi \approx 1.618}$

Метод Евклида [ править ]

Правильный пятиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки , вписав один в заданный круг или построив один на заданном крае. Этот процесс был описан Евклидом в его « Элементах» около 300 г. до н.э. ^{[8] [9]}

Просто используя транспортир (не классическая конструкция) [ править ]

Прямой метод с использованием степеней следующий:

1. Нарисуйте круг и выберите точку, которая будет пятиугольником (например, верхний центр).
2. Выберите точку A на окружности, которая будет одной из вершин пятиугольника. Нарисуйте линию через O и A .
3. Проведите через него направляющую линию и центр круга.
4. Нарисуйте линии под углом 54 ° (от направляющей), пересекающие точку пятиугольника.
5. Там, где они пересекают круг, нарисуйте линии под углом 18 ° (от параллели к направляющей).
6. Присоединяйтесь к тому месту, где они пересекают круг

После формирования правильного выпуклого пятиугольника, если соединить несмежные углы (нарисовать диагонали пятиугольника), получится пентаграмма с меньшим правильным пятиугольником в центре. Или, если расширить стороны до тех пор, пока несмежные стороны не встретятся, получится пентаграмма большего размера. Точность этого метода зависит от точности транспортира, используемого для измерения углов.

Физические методы [ править ]

• Правильный пятиугольник можно создать просто из полоски бумаги, завязав на полоску узел сверху и аккуратно расплющивая узел, потянув за концы полоски бумаги. Если загнуть один из концов над пятиугольником, вы увидите пентаграмму при контровом свете.
• Постройте правильный шестиугольник на плотной бумаге или картоне. Сделайте складку по трем диаметрам между противоположными вершинами. Вырежьте от одной вершины к центру, чтобы получился равносторонний треугольный клапан. Закрепите этот клапан под его соседом, чтобы получилась пятиугольная пирамида . Основание пирамиды - правильный пятиугольник.

Симметрия [ править ]

Правильный пятиугольник имеет DIH 5 симметрии , порядка 10. Так как 5 является простым числом , есть одна подгруппы с двугранной симметрией: DIH ₁ , 2 и циклические группы симметрия: Z ₅ и Z ₁ .

Эти 4 симметрии можно увидеть в 4 различных симметриях на пятиугольнике. Джон Конвей помечает их буквой и групповым порядком. ^[10] Полная симметрия регулярной формы - r10, а симметрия не помечена как a1 . Двугранные симметрии разделяются в зависимости от того, проходят ли они через вершины ( d для диагонали) или ребра ( p для перпендикуляров), и i, когда линии отражения проходят через оба ребра и вершины. Циклические симметрии в среднем столбце обозначены буквой g для их центральных порядков вращения.

Симметрия каждой подгруппы допускает одну или несколько степеней свободы для неправильных форм. Только подгруппа g5 не имеет степеней свободы, но ее можно рассматривать как направленные ребра .

Равносторонние пятиугольники [ править ]

Равносторонний пятиугольник - это многоугольник с пятью сторонами равной длины. Однако его пять внутренних углов могут принимать ряд наборов значений, что позволяет ему образовывать семейство пятиугольников. Напротив, правильный пятиугольник уникален до подобия, потому что он равносторонний и равноугольный (его пять углов равны).

Циклические пятиугольники [ править ]

Циклический пятиугольник один , для которых окружность называется окружность проходит через все пять вершин. Правильный пятиугольник - это пример циклического пятиугольника. Площадь циклического пятиугольника, правильного или неправильного, может быть выражена как одна четвертая квадратного корня одного из корней септического уравнения , коэффициенты которого являются функциями сторон пятиугольника. ^{[11] [12] [13]}

Существуют циклические пятиугольники с рациональными сторонами и рациональной площадью; они называются пятиугольниками Роббинса . В пятиугольнике Роббинса либо все диагонали рациональны, либо все иррациональны, и предполагается, что все диагонали должны быть рациональными. ^[14]

Общие выпуклые пятиугольники [ править ]

Для всех выпуклых пятиугольников сумма квадратов диагоналей меньше трехкратной суммы квадратов сторон. ^{[15] : с.75, №1854.}

Графики [ править ]

Полный граф K ₅ часто рисуется в виде правильного пятиугольника со всеми 10 связными ребрами. Этот граф также представляет собой ортогональную проекцию 5 вершин и 10 ребер 5-ячейки . Выпрямляется 5-элементный , с вершинами в середине ребер 5-клетки проецируются внутри пятиугольника.

Примеры пятиугольников [ править ]

Растения [ править ]

• Пятиугольное сечение окра .

• Ипомея , как и многие другие цветы, имеет пятиугольную форму.

• Гинецей из яблока содержит пять плодолистиков, расположенных в пятиконечной звезды

• Старфрут - еще один фрукт с пятикратной симметрией.

Животные [ править ]

• Морская звезда . Многие иглокожие обладают пятикратной радиальной симметрией.

• Другой пример иглокожих - эндоскелет морского ежа .

• Иллюстрация хрупких звезд , а также иглокожих пятиугольной формы.

Минералы [ править ]

• Икосаэдрический квазикристалл Ho-Mg-Zn в виде пятиугольного додекаэдра . Лица - правильные правильные пятиугольники.

• Pyritohedral кристалл пирита . Пиритоэдр имеет 12 одинаковых пятиугольных граней, которые не обязательно должны быть правильными.

Искусственный [ править ]

• Пентагон , штаб-квартира Министерства обороны США .

• Главные пластины из бейсбольного поля

Пентагоны в мозаике [ править ]

Правильный пятиугольник не может появиться ни в одной мозаике из правильных многоугольников. Во- первых, чтобы доказать , пятиугольник не может сформировать регулярную черепицу (один , в котором все грани конгруэнтны, таким образом , требует , чтобы все многоугольники быть пятиугольников), заметим , что 360 ° / 108 ° = 3 ⁺¹ / ₃ (где 108 ° Принимают внутрь угол), который не является целым числом; следовательно, не существует целого числа пятиугольников, разделяющих одну вершину и не оставляющих промежутков между ними. Сложнее доказать, что пятиугольник не может входить ни в одну мозаику от края до края, образованную правильными многоугольниками:

Максимальная известная плотность упаковки правильного пятиугольника составляет приблизительно 0,921, что достигается показанной двойной решетчатой упаковкой. В препринте, выпущенном в 2016 году, Томас Хейлз и Воден Куснер объявили о доказательстве того, что двойная решетчатая упаковка обычного пятиугольника (которую они называют упаковкой «пятиугольного ледяного луча» и которая восходит к работе китайских мастеров в 1900 году) имеет оптимальную плотность среди всех упаковок правильных пятиугольников на плоскости. ^[16] По состоянию на 2020 год ^[update]их доказательства еще не рецензировались и не публиковались.

Не существует комбинаций правильных многоугольников с 4 или более пересекающимися в вершине, содержащими пятиугольник. Для комбинаций с 3, если 3 многоугольника пересекаются в вершине и один имеет нечетное количество сторон, другие 2 должны быть конгруэнтными. Причина этого в том, что многоугольники, соприкасающиеся с краями пятиугольника, должны чередоваться вокруг пятиугольника, что невозможно из-за нечетного количества сторон пятиугольника. Для пятиугольника получается многоугольник, все углы которого равны (360-108) / 2 = 126 ° . Для того, чтобы найти число сторон этого многоугольника, результат равен 360 / (180 - 126) = 6 ² / ₃ , которое не является целым числом. Следовательно, пятиугольник не может появиться ни в одной мозаике, состоящей из правильных многоугольников.

Есть 15 классов пятиугольников, которые могут моноэдрально замостить плоскость . Ни один из пятиугольников не обладает какой-либо симметрией в целом, хотя у некоторых есть особые случаи с зеркальной симметрией.

Пентагоны в многогранниках [ править ]

См. Также [ править ]

• Associahedron ; Пентагон - это ассоциаэдр четвертого порядка.
• Додекаэдр , многогранник, правильная форма которого состоит из 12 пятиугольных граней.
• Золотое сечение
• Список геометрических фигур
• Пятиугольные числа
• Пентаграмма
• Карта пентаграммы
• Pentastar , логотип Chrysler
• Теорема Пифагора # Подобные фигуры с трех сторон
• Тригонометрические константы пятиугольника

Встроенные примечания и ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Найдите пятиугольник в Викисловаре, бесплатном словаре.

• Вайсштейн, Эрик В. «Пентагон» . MathWorld .
• Анимированная демонстрация построения вписанного пятиугольника с помощью циркуля и линейки.
• Как построить правильный пятиугольник, используя только циркуль и линейку.
• Как сложить правильный пятиугольник, используя только полоску бумаги
• Определение и свойства пятиугольника с интерактивной анимацией
• Примерные построения правильных пятиугольников художниками эпохи Возрождения
• Пентагон. Как рассчитать различные размеры правильных пятиугольников.