Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Не путать со звездообразным многоугольником .
Два типа звездных пятиугольников
Alfkors.svg
{5/2}		Stjärna.svg
| 5/2 |
Правильный пятиугольник в форме звезды {5/2} имеет пять угловых вершин и пересекающихся ребер, а вогнутый десятиугольник | 5/2 | имеет десять ребер и два набора по пять вершин. Первые используются в определениях звездных многогранников и звездных однородных мозаик , а вторые иногда используются в плоских мозаиках.
Малый звездчатый додекаэдр.png
Малый звездчатый додекаэдр		Кеплер Десятиугольник Пентаграмма Пентаграмма tiling.png
Мозаика

В геометрии , А звезда многоугольник является типом не- выпуклого многоугольника . Подробно изучены только правильные звездчатые многоугольники ; Звездные многоугольники в целом не были определены формально, однако некоторые примечательные из них могут возникнуть в результате операций усечения на правильных простых и звездных многоугольниках.

Бранко Грюнбаум выделил два основных определения, использованных Иоганном Кеплером : одно - это правильные звездчатые многоугольники с пересекающимися ребрами, которые не образуют новых вершин, а второе - простые изотоксальные вогнутые многоугольники . [1]

Первое использование относится к полиграммам, которые включают многоугольники, такие как пентаграмма, но также и составные фигуры, такие как гексаграмма .

Этимология [ править ]

Имена звездообразных многоугольников сочетают в себе числовой префикс , такой как пента- , с греческим суффиксом -грамма (в данном случае генерируя слово пентаграмма ). Префикс обычно является греческим кардиналом , но существуют синонимы, использующие другие префиксы. Например, девятиконечный многоугольник или эннеаграмма также известна как нонаграмма , используя порядковый номер нона из латыни . [ Править ] В -gram суффикс происходит от γραμμή ( Грамм ) означает линию. [2]

Правильный многоугольник со звездой [ править ]

Дополнительная информация: Правильный многоугольник § Правильные звездчатые многоугольники

{5/2}
{7/2}
{7/3} ...
Правильные выпуклые и звездчатые многоугольники с 3–12 вершинами, помеченные символами Шлефли.

«Правильный звездообразный многоугольник» - это самопересекающийся равносторонний равносторонний многоугольник .

Правильный звездный многоугольник обозначается символом Шлефли { p / q }, где p (количество вершин) и q ( плотность ) взаимно просты (у них нет делителей) и q ≥ 2.

Группа симметрии { n / k } - это группа диэдра D n порядка 2 n , не зависящая от k .

Правильные звездные многоугольники впервые систематически изучал Томас Брэдвардин , а затем Иоганн Кеплер . [3]

Построение через вершинное соединение [ править ]

Правильные звездчатые многоугольники можно создать, соединив одну вершину простого правильного p- стороннего многоугольника с другой несмежной вершиной и продолжив процесс до тех пор, пока снова не будет достигнута исходная вершина. [4] В качестве альтернативы для целых чисел p и q его можно рассматривать как построенное путем соединения каждой q- й точки из p точек, равномерно распределенных по кругу. [5]Например, в правильном пятиугольнике пятиконечную звезду можно получить, проведя линию от первой к третьей вершине, от третьей вершины к пятой вершине, от пятой вершины ко второй вершине, от второй вершины. к четвертой вершине и от четвертой вершины к первой вершине.

Если q больше половины p , то построение приведет к тому же многоугольнику, что и p - q ; соединение каждой третьей вершины пятиугольника даст тот же результат, что и соединение каждой второй вершины. Однако вершины будут достигнуты в противоположном направлении, что имеет значение, когда ретроградные многоугольники включаются в многогранники более высокой размерности. Например, антипризма, образованная из прямой пентаграммы {5/2}, дает пентаграммическую антипризму ; аналогичная конструкция из ретроградной «скрещенной пентаграммы» {5/3} дает пентаграммическую скрещенную антипризму . Другой пример - тетрагемигексаэдр, который можно рассматривать как «скрещенный треугольник» {3/2} куплоида .

Вырожденные правильные звездообразные многоугольники [ править ]

Если p и q не взаимно просты, получится вырожденный многоугольник с совпадающими вершинами и ребрами. Например, {6/2} будет отображаться как треугольник, но его можно пометить двумя наборами вершин 1–6. Это следует рассматривать не как два перекрывающихся треугольника, а как двойную намотку одного уникурсального шестиугольника. [6] [7]

Строительство через звёздчатую форму [ править ]

В качестве альтернативы, правильный звездообразный многоугольник также может быть получен как последовательность звездчатых элементов выпуклого правильного многоугольника ядра . Конструкции, основанные на звездчатости, также позволяют получать правильные многоугольные соединения в тех случаях, когда плотность и количество вершин не являются взаимно простыми. Однако при построении звездчатых многоугольников из звездообразной формы, если q больше, чем p / 2, линии вместо этого будут бесконечно расходиться, а если q равно p / 2, линии будут параллельны, и оба результата не приведут к дальнейшему пересечению в евклидовом Космос. Тем не менее, это может быть возможным построить несколько таких многоугольников в сферическом пространстве, подобно monogon и Digon; такие многоугольники еще не изучены подробно.

Простые изотоксические звездчатые многоугольники [ править ]

Когда пересекающиеся линии удалены, звездные многоугольники перестают быть правильными, но их можно рассматривать как простые вогнутые изотоксальные 2 n -угольники, чередующиеся вершины на двух разных радиусах, которые не обязательно должны совпадать с углами правильного звездного многоугольника. Бранко Грюнбаум в « Плитках и узорах» представляет эти звезды как | н / д | которые соответствуют геометрии полиграммы {n / d} с обозначением {n α } в более общем виде, представляя n-стороннюю звезду с каждым внутренним углом α <180 ° (1-2 / n ) градусов. [1] Для | н / д|, внутренние вершины имеют внешний угол β, равный 360 ° ( d -1) / n .

Примеры простых изотоксальных звезд
| н / д |
{n α }		 
{3 30 ° }		 
{6 30 ° }		| 5/2 |
{5 36 ° }		 
{4 45 ° }		| 8/3 |
{8 45 ° }		| 6/2 |
{6 60 ° }		 
{5 72 ° }
α30 °36 °45 °60 °72 °
β150 °90 °72 °135 °90 °120 °144 °
Изотоксальная
звезда
Связанная
полиграмма
 
{n / d}
 
{12/5}
{5/2}
{8/3}
2 {3}
фигура звезды
{10/3}

Примеры в мозаиках [ править ]

Дополнительная информация: Uniform_tiling § Uniform_tilings_using_star_polygons

Эти многоугольники часто встречаются в мозаичных узорах. Параметрический угол α (градусы или радианы) можно выбрать для соответствия внутренним углам соседних многоугольников в шаблоне тесселяции. Иоганн Кеплер в своей работе 1619 года Harmonices Mundi , включающей, среди прочего, мозаики периодов, непериодические мозаики, подобные тем, что три правильных пятиугольника и правильный пятиугольник звезды (5.5.5.5/2) могут уместиться вокруг вершины и связаны с современными мозаиками Пенроуза . [8]

Примеры мозаик с изотоксальными звездчатыми многоугольниками [9]
Звездные треугольникиЗвездные квадратыЗвездные шестиугольникиЗвездные восьмиугольники

(3.3*
α.3.3**
α)
(8,4*
π / 4.8.4*
π / 4)
(6,6*
π / 3.6.6*
π / 3)
(3,6*
π / 3.6**
π / 3)
(3.6.6*
π / 3.6)
Не от края до края

Интерьеры [ править ]

Внутреннее пространство звездного многоугольника можно рассматривать по-разному. Для пентаграммы показаны три таких лечения. Бранко Грунбаум и Джеффри Шепард рассматривают два из них, как правильные звездчатые многоугольники и вогнутые изогональные 2 n -угольники. [8]

К ним относятся:

  • При наличии стороны одна сторона рассматривается как внешняя, а другая как внутренняя. Это показано на левой иллюстрации и обычно происходит при рендеринге компьютерной векторной графики .
  • Количество раз, когда многоугольная кривая навивается вокруг данной области, определяет ее плотность . Внешний вид имеет плотность 0, и любая область с плотностью> 0 считается внутренней. Это показано на центральной иллюстрации и обычно встречается при математической обработке многогранников . (Однако для неориентируемых многогранников плотность можно рассматривать только по модулю 2, и поэтому в этих случаях для согласованности иногда используется первая обработка.)
  • Если линия может быть проведена между двумя сторонами, область, в которой она находится, рассматривается как внутри фигуры. Это показано на рисунке справа и обычно происходит при создании физической модели.

Когда вычисляется площадь многоугольника, каждый из этих подходов дает различный ответ.

В искусстве и культуре [ править ]

Основная статья: Звездные многоугольники в искусстве и культуре

Звездные многоугольники занимают важное место в искусстве и культуре. Такие многоугольники могут быть или не быть правильными, но они всегда очень симметричны . Примеры включают:

  • Звездный пятиугольник ( пентаграмма ) {5/2} также известен как пентальфа или пятиугольник, и исторически многие магические и религиозные культы считали его оккультным .
  • Звездные многоугольники {7/2} и {7/3} ( гептаграммы ) также имеют оккультное значение, особенно в Каббале и Викке .
  • Многоугольник со звездами {8/3} ( октаграмма ) - частый геометрический мотив в исламском искусстве и архитектуре Великих Моголов ; первая - на гербе Азербайджана .
  • Одиннадцатиконечная звезда, называемая хендекаграммой, была использована на могиле Шаха Немат Оллаха Вали.

{8/3} октаграмма построен в регулярном восьмиугольника
Печать Соломона с кругом и точками (фигура звезды)

См. Также [ править ]

  • Список правильных многогранников и соединений # Звезды
  • Волшебная звезда
  • Моравская звезда
  • Pentagramma mirificum
  • Правильный звездный 4-многогранник
  • Руб эль-Хизб
  • Звезда (глиф)
  • Звездный многогранник , многогранник Кеплера – Пуансо и однородный звездный многогранник.

Ссылки [ править ]

  1. ^ a b Grünbaum & Shephard 1987 , раздел 2.5
  2. ^ γραμμή , Генри Джордж Лидделл, Роберт Скотт, Греко-английский лексикон , о Персее
  3. ^ Кокстер, Введение в геометрию, второе издание, 2.8 Звездные полигоны, стр. 36-38
  4. ^ Кокстер, Гарольд Скотт Макдональд (1973). Правильные многогранники . Courier Dover Publications. п. 93 . ISBN 978-0-486-61480-9.
  5. ^ Вайсштейн, Эрик В. "Звездный многоугольник" . MathWorld .
  6. ^ Ваши многогранники такие же, как мои многогранники? Бранко Грюнбаум
  7. ^ Кокстер, Плотности правильных многогранников I, стр. 43: Если d нечетно, усечение многоугольника {p / q} естественным образом равно {2n / d}. Но если нет, то он состоит из двух совпадающих {n / (d / 2)}; два, потому что каждая сторона возникает из исходной стороны и один раз из исходной вершины. Таким образом, плотность многоугольника не изменяется при усечении.
  8. ^ a b Бранко Грунбаум и Джеффри К. Шепард , Замощения правильными многоугольниками , Mathematics Magazine 50 (1977), 227–247 и 51 (1978), 205–206]
  9. ^ Тайлинг с правильными звездными многоугольниками , Джозеф Майерс
  • Cromwell, P .; Многогранники , CUP, Hbk. 1997, ISBN 0-521-66432-2 . Pbk. (1999), ISBN 0-521-66405-5 . п. 175  
  • Грюнбаум Б. и Г. К. Шепард; Плитки и узоры , Нью-Йорк: WH Freeman & Co., (1987), ISBN 0-7167-1193-1 . 
  • Грюнбаум, Б .; Многогранники с полыми гранями, Материалы конференции НАТО-ASI по многогранникам ... и т. Д. (Торонто, 1993) , изд. Т. Бистрички и др., Kluwer Academic (1994), стр. 43–70.
  • Джон Х. Конвей , Хайди Берджел, Хаим Гудман-Страсс, Симметрии вещей 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 26. стр. 404: Правильные звездно-многогранники, размерность 2) 
  • Бранко Грюнбаум , Метаморфозы многоугольников , опубликовано в The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugène Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and its History , (1994)

Внешние ссылки [ править ]

  • Звездный символ