Равномерная черепица

В геометрии , A равномерное разбиение является тесселяция плоскости с помощью правильного многоугольника граней с ограничением является вершиной-симметрический .

Равномерные мозаики могут существовать как в евклидовой плоскости, так и в гиперболической плоскости . Равномерные мозаики связаны с конечными однородными многогранниками, которые можно рассматривать как однородные мозаики сферы .

Большинство однородных мозаик можно сделать из конструкции Уайтхоффа, начиная с группы симметрии и особой точки образующей внутри фундаментальной области . Плоская группа симметрии имеет многоугольную фундаментальную область и может быть представлена ​​именем группы, представленным порядком зеркал в последовательных вершинах.

Треугольник фундаментальной области - это ( p q r ), а прямоугольный треугольник ( p q 2), где p , q , r - целые числа, большие 1. Треугольник может существовать в виде сферического треугольника , плоского евклидова треугольника или треугольника. гиперболический плоский треугольник в зависимости от значений p , q и r .

Существует ряд символических схем для наименования этих фигур, основанных на модифицированном символе Шлефли для областей прямоугольного треугольника: ( p q 2) → { p , q }. Диаграмма Кокстера-Дынкина является треугольным графом с р , д , г меченного по краям. Если r = 2, граф является линейным, поскольку узлы области порядка 2 не генерируют отражений. Символ Wythoff берет 3 целых числа и разделяет их вертикальной чертой (|). Если точка генератора находится вне зеркала напротив узла домена, она указывается перед полосой.

Наконец, мозаики можно описать конфигурацией их вершин , последовательностью многоугольников вокруг каждой вершины.

Все равномерные мозаики можно построить с помощью различных операций, применяемых к правильным мозаикам . Эти операции, названные Норманом Джонсоном , называются усечением (вырезание вершин), исправлением (вырезание вершин до тех пор, пока не исчезнут ребра) и кантелляцией (отрезание ребер). Омнитурканция - это операция, сочетающая усечение и наклонение. Стабилизация - это операция альтернативного усечения полностью усеченной формы. (Подробнее см. В разделе Операторы построения однородного многогранника # Wythoff .)

Группы Кокстера [ править ]

Группы Кокстера для плоскости определяют конструкцию Wythoff и могут быть представлены диаграммами Кокстера-Дынкина :

Для групп с целыми номерами заказов, в том числе:

Евклидова плоскость

Орбифолд симметрия	Группа Коксетера			Диаграмма Кокстера	заметки
Компактный
* 333	(3 3 3)	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {2}}$	[3 [3] ]		3 светоотражающие формы, 1 курносый
* 442	(4 4 2)	${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {2}}$	[4,4]		5 светоотражающих форм, 1 курносый
* 632	(6 3 2)	${\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {2}}$	[6,3]		7 светоотражающих форм, 1 курносый
* 2222	(∞ 2 ∞ 2)	${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$ × ${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$	[∞, 2, ∞]		3 светоотражающие формы, 1 курносый
Некомпактный ( фриз )
* ∞∞	(∞)	${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$	[∞]
* 22∞	(2 2 ∞)	${\ displaystyle {\ tilde {I}} _ {1}}$ × ${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {2}}$	[∞, 2]		2 светоотражающие формы, 1 курносый

Гиперболическая плоскость

Орбифолд симметрия	Группа Коксетера		Диаграмма Кокстера	заметки
Компактный
* pq2	(pq 2)	[p, q]		2 (p + q) <pq
* pqr	(pqr)	[(p, q, r)]		pq + pr + qr <pqr
Паракомпакт
* ∞p2	(p ∞ 2)	[p, ∞]		р> = 3
* ∞pq	(pq ∞)	[(p, q, ∞)]		р, д> = 3, р + д> 6
* ∞∞p	(р ∞ ∞)	[(p, ∞, ∞)]		р> = 3
* ∞∞∞	(∞ ∞ ∞)	[(∞, ∞, ∞)]

Равномерные мозаики евклидовой плоскости [ править ]

На евклидовой плоскости есть группы симметрии, построенные из фундаментальных треугольников: (4 4 2), (6 3 2) и (3 3 3). Каждый представлен набором линий отражения, которые делят плоскость на фундаментальные треугольники.

Эти группы симметрии создают 3 правильных мозаики и 7 полурегулярных. Некоторые полуправильные мозаики повторяются из разных конструкторов симметрии.

Призматическая группа симметрии, представленная (2 2 2 2), представляет собой два набора параллельных зеркал, которые, как правило, могут иметь прямоугольную фундаментальную область. Он не генерирует новых мозаик.

Еще одна призматическая группа симметрии, представленная (∞ 2 2), которая имеет бесконечную фундаментальную область. Он строит две однородные мозаики: апейрогональную призму и апейрогональную антипризму .

Укладка конечных граней этих двух призматических мозаик формирует одно невитхоффовское равномерное разбиение плоскости. Это называется удлиненной треугольной плиткой , состоящей из чередующихся слоев квадратов и треугольников.

Прямые угловые фундаментальные треугольники: ( p q 2)

( p q 2)	Фонд. треугольники	Родитель	Усеченный	Исправленный	Bitruncated	Двунаправленный (двойной)	Собранный	Omnitruncated ( Cantitruncated )	Курносый
Символ Wythoff		q | п 2	2 q | п	2 | p q	2 п | q	p | q 2	p q | 2	p q 2 |	| p q 2
Символ Шлефли		{ p , q }	т { р , д }	г {р, д}	2t {p, q} = t {q, p}	2r {p, q} = {q, p}	рр {р, q}	tr {p, q}	sr {p, q}
Диаграмма Кокстера
Конфигурация вершины.		p q	q.2p.2p	(pq) 2	п. 2 кв. 2 кв.	q p	п. 4.q.4	4.2p.2q	3.3.стр. 3.q
Квадратная плитка (4 4 2)	0	{4,4}	4.8.8	4.4.4.4	4.8.8	{4,4}	4.4.4.4	4.8.8	3.3.4.3.4
Шестиугольная черепица (6 3 2)	0	{6,3}	3.12.12	3.6.3.6	6.6.6	{3,6}	3.4.6.4	4.6.12	3.3.3.3.6

Общие фундаментальные треугольники: (pqr)

Символ Wythoff (pqr)	Фонд. треугольники	q | пр	rq | п	г | pq	rp | q	p | qr	pq | р	pqr |	| pqr
Диаграмма Кокстера
Конфигурация вершины.		(pq) r	r.2p.q.2p	(пр) q	q.2r.p. 2r	(qr) p	q.2r.p. 2r	r.2q.p. 2кв.	3.r.3.q.3.p
Треугольный (3 3 3)	0	(3,3) 3	3.6.3.6	(3,3) 3	3.6.3.6	(3,3) 3	3.6.3.6	6.6.6	3.3.3.3.3.3

Непростые фундаментальные области

Единственная возможная фундаментальная область в евклидовом 2-пространстве, которая не является симплексом, - это прямоугольник (∞ 2 ∞ 2) с диаграммой Кокстера :. Все формы, созданные из него, становятся квадратной плиткой .

Равномерные мозаики гиперболической плоскости [ править ]

На гиперболической плоскости существует бесконечное множество однородных мозаик из выпуклых правильных многоугольников , каждое из которых основано на своей группе отражающей симметрии (pqr).

Здесь показан образец с проекцией диска Пуанкаре .

Диаграмма Кокстера-Дынкин приведена в линейной форме, хотя это на самом деле треугольник, с задним сегментом г , подключенным к первому узлу.

Другие группы симметрии существуют в гиперболической плоскости с четырехугольными фундаментальными областями, начинающимися с (2 2 2 3) и т. Д., Которые могут порождать новые формы. Также существуют фундаментальные области, в которых вершины размещаются на бесконечности, например (∞ 2 3) и т. Д.

Прямые угловые фундаментальные треугольники: ( p q 2)

(pq 2)	Фонд. треугольники	Родитель	Усеченный	Исправленный	Bitruncated	Двунаправленный (двойной)	Собранный	Omnitruncated ( Cantitruncated )	Курносый
Символ Wythoff		q | п 2	2 q | п	2 | pq	2 п | q	p | q 2	pq | 2	pq 2 |	| pq 2
Символ Шлефли		т {р, д}	т {р, д}	г {р, д}	2t {p, q} = t {q, p}	2r {p, q} = {q, p}	рр {р, q}	tr {p, q}	sr {p, q}
Диаграмма Кокстера
Фигура вершины		p q	(q.2p.2p)	(pqpq)	(стр. 2q. 2q)	q p	(стр. 4.q.4)	(4.2p.2q)	(3.3.п. 3.q)
(5 4 2)	V4.8.10	{5,4}	4.10.10	4.5.4.5	5.8.8	{4,5}	4.4.5.4	4.8.10	3.3.4.3.5
(5 5 2)	V4.10.10	{5,5}	5.10.10	5.5.5.5	5.10.10	{5,5}	5.4.5.4	4.10.10	3.3.5.3.5
(7 3 2)	V4.6.14	{7,3}	3.14.14	3.7.3.7	7.6.6	{3,7}	3.4.7.4	4.6.14	3.3.3.3.7
(8 3 2)	V4.6.16	{8,3}	3.16.16	3.8.3.8	8.6.6	{3,8}	3.4.8.4	4.6.16	3.3.3.3.8

Общие фундаментальные треугольники (pqr)

Символ Wythoff (pqr)	Фонд. треугольники	q | пр	rq | п	г | pq	rp | q	p | qr	pq | р	pqr |	| pqr
Диаграмма Кокстера
Фигура вершины		(пр) q	(r.2p.q.2p)	(pq) r	(q.2r.p. 2r)	(qr) p	(r.2q.p. 2q)	(2р. 2кв. 2р)	(3.r.3.q.3.p)
(4 3 3)	V6.6.8	(3,4) 3	3.8.3.8	(3,4) 3	3.6.4.6	(3,3) 4	3.6.4.6	6.6.8	3.3.3.3.3.4
(4 4 3)	V6.8.8	(3,4) 4	3.8.4.8	(4,4) 3	3.6.4.6	(3,4) 4	4.6.4.6	6.8.8	3.3.3.4.3.4
(4 4 4)	V8.8.8	(4,4) 4	4.8.4.8	(4,4) 4	4.8.4.8	(4,4) 4	4.8.4.8	8.8.8	3.4.3.4.3.4

Расширенные списки однородных мозаик [ править ]

Список однородных мозаик можно расширить несколькими способами:

1. Фигуры вершин могут иметь ретроградные грани и более одного раза поворачиваться вокруг вершины.
2. Могут быть включены плитки многоугольника звезды .
3. Апейрогоны , {∞}, можно использовать как грани мозаики.
4. Ограничение, что плитки пересекаются от края до края, можно ослабить, допуская дополнительные мозаики, такие как мозаика Пифагора .

Треугольники группы симметрии с ретроградами включают:

(4/3 4/3 2) (6 3/2 2) (6/5 3 2) (6 6/5 3) (6 6 3/2)

Треугольники группы симметрии с бесконечностью включают:

(4 4/3 ∞) (3/2 3 ∞) (6 6/5 ∞) (3 3/2 ∞)

Бранко Грюнбаум в книге 1987 года « Плитки и узоры» в разделе 12.3 перечисляет список из 25 однородных мозаик, включая 11 выпуклых форм, и добавляет еще 14, которые он называет полыми мозаиками, которые включали в себя первые два вышеприведенных расширения, грани многоугольников в виде звезд и вершинные фигуры. .

HSM Coxeter et al., В статье 1954 года «Равномерные многогранники» в Таблице 8: Равномерная мозаика , использует первые три разложения и насчитывает в общей сложности 38 однородных мозаик. Если также учитывать мозаику из 2 апейрогонов, то в сумме можно считать 39 однородных мозаик.

Помимо 11 выпуклых решений, 28 однородных звездных мозаик, перечисленных Coxeter et al. , сгруппированные по графам общих ребер, показаны ниже. Для наглядности в первых семи мозаиках апейрогоны не окрашиваются, и после этого окрашиваются только многоугольники вокруг одной вершины.

Самодвойственные мозаики [ править ]

Тайлинги также могут быть самодуальными . Квадратная мозаика с символом Шлефли {4,4} самодуальна; здесь показаны две квадратные мозаики (красный и черный), двойственные друг другу.

Равномерные мозаики с использованием звездных многоугольников [ править ]

Если рассматривать звездообразный многоугольник как невыпуклый многоугольник с вдвое большим количеством сторон, можно использовать звездообразные многоугольники, а их учет как правильные многоугольники позволяет использовать их в однородной мозаике . Эти многоугольники обозначены как {N _α } для изотоксального невыпуклого 2N-угольника с внешним двугранным углом α. Его внешние вершины обозначены как N^*
_α, а внутренний N^**
_α. Это расширение определения требует, чтобы углы только с двумя полигонами не считались вершинами. Мозаика определяется конфигурацией вершин как циклическая последовательность выпуклых и невыпуклых многоугольников вокруг каждой вершины. Существует 4 таких однородных мозаики с регулируемыми углами α и 18 одинаковых мозаик, которые работают только с определенными углами. ^[3]

Все эти мозаики топологически связаны с обычными однородными мозаиками с выпуклыми правильными многоугольниками, при этом 2-валентные вершины игнорируются, а квадратные грани в виде двуугольников сводятся к одному ребру.

Равномерные мозаики с использованием чередующихся многоугольников [ править ]

Звездные многоугольники вида {p _α } могут также представлять собой выпуклые 2 p -угольники, чередующиеся два угла, простейший из которых - ромб {2 _α }. Если разрешить их как обычные многоугольники, мы получим более однородные мозаики, с некоторыми примерами ниже.

См. Также [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме однородных мозаик .

• Символ Wythoff
• Список однородных мозаик
• Равномерные мозаики в гиперболической плоскости
• Равномерный многогранник

Ссылки [ править ]

• Единообразные многогранники Нормана Джонсона , рукопись (1991)
  • Н. В. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
• Грюнбаум, Бранко ; Шепард, GC (1987). Плитки и узоры . WH Freeman and Company. ISBN 0-7167-1193-1. (Звездные плитки, раздел 12.3)
• HSM Coxeter , MS Longuet-Higgins , JCP Miller , Uniform polyhedra , Phil. Пер. 1954, 246 A, 401–50 JSTOR  91532 (таблица 8)

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Равномерная мозаика» . MathWorld .
• Равномерная мозаика на плоскости Евклида
• Тесселяции на плоскости
• Мир мозаики Дэвида Бейли
• k-однородные мозаики
• n-однородные мозаики
• Клитцинг, Ричард. «Четырехмерные евклидовы мозаики» .

v т е Фундаментальные выпуклые регулярные и однородные соты размером 2-9
Космос	Семья	${\ displaystyle {\ tilde {A}} _ {n-1}}$	${\ displaystyle {\ tilde {C}} _ ​​{n-1}}$	${\ displaystyle {\ tilde {B}} _ {n-1}}$	${\ displaystyle {\ tilde {D}} _ {n-1}}$	${\ displaystyle {\ tilde {G}} _ {2}}$/ /${\ displaystyle {\ tilde {F}} _ {4}}$${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {n-1}}$
E 2	Равномерная черепица	{3 [3] }	δ 3	hδ 3	qδ 3	Шестиугольный
E 3	Равномерно выпуклые соты	{3 [4] }	δ 4	hδ 4	qδ 4
E 4	Равномерные 4-соты	{3 [5] }	δ 5	hδ 5	qδ 5	24-ячеечные соты
E 5	Равномерные 5-соты	{3 [6] }	δ 6	hδ 6	qδ 6
E 6	Равномерные 6-соты	{3 [7] }	δ 7	hδ 7	qδ 7	2 22
E 7	Равномерные 7-соты	{3 [8] }	δ 8	hδ 8	qδ 8	1 33 • 3 31
E 8	Равномерные 8-соты	{3 [9] }	δ 9	hδ 9	qδ 9	1 52 • 2 51 • 5 21
E 9	Равномерные 9-соты	{3 [10] }	δ 10	hδ 10	qδ 10
E n -1	Uniform ( n -1) - соты	{3 [n] }	δ n	hδ n	qδ n	1 к2 • 2 к1 • к 21