Чередование (геометрия)

Чередование куба создает тетраэдр .

Чередование усеченного кубооктаэдра создает неоднородный курносый куб .

В геометрии чередование или частичное усечение - это операция над многоугольником , многогранником , мозаичным слоем или многогранником с более высокой размерностью, которая удаляет альтернативные вершины. ^[1]

Коксетер обозначает чередование префиксом h , обозначающим полушарие или половину . Поскольку при чередовании все грани многоугольника уменьшаются вдвое, его можно применить только к многогранникам со всеми четными гранями. Перемежающаяся квадратная грань становится двуугольником , а будучи вырожденной, обычно сводится к единственному ребру.

В более общем смысле можно чередовать любой однородный по вершинам многогранник или мозаику с конфигурацией вершин, состоящей из всех элементов с четными номерами . Например, чередование вершинной фигуры с 2a.2b.2c равно a.3.b.3.c.3, где тройка - количество элементов в этой вершинной фигуре. Частный случай - квадратные грани, порядок которых делится пополам на вырожденные двуугольники . Так, например, куб 4.4.4 чередуется с 2.3.2.3.2.3, который сокращается до 3.3.3, являясь тетраэдром , и все 6 ребер тетраэдров также можно рассматривать как вырожденные грани исходного куба.

Курносый [ править ]

Вздернутый (в терминологии Кокстера ) можно рассматривать как чередование в виде усеченного регулярного или усеченного квазирегулярного многогранника. В общем случае многогранник можно пренебречь, если его усечение имеет только четные грани. Все усеченные выпрямленные многогранники могут быть пренебрежены, а не только правильные многогранники.

Вздернутый квадрат антипризма является примером общего курносого, и может быть представлена сс {2,4}, с квадратной антипризмой , с {2,4}.

Альтернативные многогранники [ править ]

Эта операция чередования применима также к многогранникам и сотам более высокой размерности, но в целом большинство результатов этой операции не будут однородными. Пустоты, созданные удаленными вершинами, обычно не создают однородных фасетов, и обычно не хватает степеней свободы, чтобы позволить соответствующее изменение масштаба новых ребер. Однако существуют исключения, такие как происхождение курносой 24-ячеек из усеченных 24-ячеек .

Примеры:

• Соты
  1. Чередующиеся кубические соты - это четырехгранно-октаэдрические соты .
  2. Чередующиеся шестиугольные призматические соты - это спиральные чередующиеся кубические соты .
• 4-многогранник
  1. Чередующиеся усеченные 24 ячейки являются курносыми 24 ячейками .
• 4-соты:
  1. Чередующиеся усеченные 24-ячеечные соты - это курносые 24-ячеечные соты .
• Гиперкуба всегда можно чередовать в единую demihypercube .
  1. Куб → Тетраэдр (правильный)
     • →
  2. Тессеракт ( 8 ячеек ) → 16 ячеек (обычный)
     • →
  3. Penteract → demipenteract (полурегулярный)
  4. Hexeract → demihexeract (форма)
  5. ...

Измененные многогранники [ править ]

Кокстер также использовал оператор a , который содержит обе половины, поэтому сохраняет исходную симметрию. Для четных правильных многогранников {2p, q} представляет собой составной многогранник с двумя противоположными копиями h {2p, q}. Для нечетных, больше трех правильных многогранников a {p, q} становится звездным многогранником .

Норман Джонсон расширил использование измененного оператора a {p, q}, b {p, q} для смешанного и c {p, q} для преобразованного , как, , и соответственно.

Составной многогранник, известный как звездчатый октаэдр, может быть представлен {4,3} (измененный куб ), и, .

Звездный многогранник, известный как малый дитригональный икосододекаэдр, может быть представлен {5,3} (измененный додекаэдр ), и, . Здесь все пятиугольники были преобразованы в пентаграммы, а треугольники были вставлены так, чтобы образовались свободные края.

Звездный многогранник, известный как большой дитригональный икосододекаэдр, может быть представлен {5 / 2,3} (измененный большой звездчатый додекаэдр ), и, . Здесь все пентаграммы были преобразованы обратно в пятиугольники, а треугольники были вставлены, чтобы занять свободные края.

Альтернативные усечения [ править ]

Подобная операция может обрезать альтернативные вершины, а не просто удалять их. Ниже представлен набор многогранников, которые могут быть созданы из каталонских тел . У них есть два типа вершин, которые можно поочередно обрезать. Усечение вершин «более высокого порядка» и обоих типов вершин дает следующие формы:

См. Также [ править ]

• Многогранные обозначения Конвея
• Строительство Wythoff

Ссылки [ править ]

• Coxeter, HSM Regular Polytopes , (3-е издание, 1973 г.), Dover edition, ISBN  0-486-61480-8
• Унифицированные многогранники Нормана Джонсона , рукопись (1991)
  • Н. В. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
• Вайсштейн, Эрик В. «Оскорбление» . MathWorld .
• Ричард Клитцинг, Снабс, чередующиеся фасетки и диаграммы Стотта-Кокстера-Дынкина , Симметрия: культура и наука, Vol. 21, № 4, 329-344, (2010) [1]

Внешние ссылки [ править ]

• Ольшевский, Георгий. «Чередование» . Глоссарий по гиперпространству . Архивировано из оригинала 4 февраля 2007 года.
• Имена многогранников, курносый

Операторы многогранников

• v
• т
• е

Семя	Усечение	Исправление	Bitruncation	Двойной	Расширение	Омнитуркация	Чередования
т 0 {p, q} {p, q}	t 01 {p, q} t {p, q}	t 1 {p, q} r {p, q}	t 12 {p, q} 2t {p, q}	t 2 {p, q} 2r {p, q}	t 02 {p, q} rr {p, q}	t 012 {p, q} tr {p, q}	ht 0 {p, q} h {q, p}	ht 12 {p, q} s {q, p}	ht 012 {p, q} sr {p, q}