Плоская квадратная антипризма

Плоская квадратная антипризма
Тип	Джонсон Дж 84 - Дж 85 - Дж 86
Лица	8 + 16 треугольников 2 квадрата
Края	40
Вершины	16
Конфигурация вершины	8 (3 5 ) 8 (3 4, 4)
Группа симметрии	D 4d
Двойной многогранник	-
Характеристики	выпуклый
Сеть

3D модель курносой квадратной антипризмы

В геометрии , то вздернутый квадрат антипризма является одним из твердых веществ Johnson ( J ₈₅ ). Тело Джонсона - это одно из 92 строго выпуклых многогранников, которые составлены из правильных граней многоугольника, но не являются однородными многогранниками (то есть они не являются платоновыми телами , архимедовыми телами , призмами или антипризмами ). Их назвал Норман Джонсон , который впервые перечислил эти многогранники в 1966 году ^[1].

Это одно из элементарных тел Джонсона, которые не возникают в результате манипуляций с платоновыми и архимедовыми телами «вырезать и вставить» , хотя это родственник икосаэдра , имеющий четырехкратную симметрию вместо трехчастной.

Строительство [ править ]

Вздернутый квадрат антипризма построена как предполагает его название, на квадратные антипризмах который пренебрежителен и представлена в виде сс {2,8}, {с й 2,8} как квадратными антипризмами . ^[2] Его можно построить в обозначении многогранника Конвея как sY4 (плоская квадратная пирамида ). ^[3]

Он также может быть построен в виде квадратных гиробиантикупол , соединяющих две антикуполы с вращающейся ориентацией.

Декартовы координаты [ править ]

Пусть k ≈ 0,82354 - положительный корень кубического многочлена

${\ displaystyle 9x ^ {3} +3 {\ sqrt {3}} (5 - {\ sqrt {2}}) x ^ {2} -3 (5-2 {\ sqrt {2}}) x-17 {\ sqrt {3}} + 7 {\ sqrt {6}}.}$

Кроме того, пусть h ≈ 1,35374 определяется как

${\ displaystyle h = {\ frac {{\ sqrt {2}} + 8 + 2 {\ sqrt {3}} k-3 (2 + {\ sqrt {2}}) k ^ {2}} {4 { \ sqrt {3-3k ^ {2}}}}}.}$

Тогда декартовы координаты плоской квадратной антипризмы с длиной ребра 2 задаются объединением орбит точек

${\ displaystyle (1,1, h), \, (1 + {\ sqrt {3}} k, 0, h - {\ sqrt {3-3k ^ {2}}})}$

под действием группы, создаваемой вращением вокруг оси z на 90 ° и вращением на 180 ° вокруг прямой линии, перпендикулярной оси z и составляющей угол 22,5 ° с осью x. ^[4]

Затем мы можем вычислить площадь плоского квадрата с длиной ребра а как

${\ displaystyle A = (2 + 6 {\ sqrt {3}}) a ^ {2} \ приблизительно 12.39230a ^ {2},}$^[5]

и его объем как

${\ Displaystyle V = \ xi а ^ {3},}$

где ξ ≈ 3,60122 - наибольший действительный корень многочлена

${\displaystyle 531441x^{12}-85726026x^{8}-48347280x^{6}+11588832x^{4}+4759488x^{2}-892448.}$^[6]

Курносые антипризмы [ править ]

Аналогичным образом построенная ss {2,6} представляет собой курносую треугольную антипризму ( октаэдр более низкой симметрии ), и в результате получается правильный икосаэдр . Вздернутый пятиугольной антипризма , сс {2,10}, или выше п -antiprisms могут быть похожи построены, но не как выпуклый многогранник с равносторонних треугольников. Предыдущее твердое тело Джонсона, курносый дисфеноид, также конструктивно подходит как ss {2,4}, но необходимо сохранить две вырожденные двуугольные грани (нарисованные красным) в двуугольной антипризме .

Курносые антипризмы

Симметрия	Д 2д , [2 + , 4], (2 * 2)	D 3d , [2 + , 6], (2 * 3)	Д 4д , [2 + , 8], (2 * 4)	Д 5д , [2 + , 10], (2 * 5)
Антипризмы	s {2,4} A2 (v: 4; e: 8; f: 6)	s {2,6} A3 (v: 6; e: 12; f: 8)	s {2,8} A4 (v: 8; e: 16; f: 10)	s {2,10} A5 (v: 10; e: 20; f: 12)
Усеченные антипризмы	ts {2,4} tA2 (v: 16; e: 24; f: 10)	ts {2,6} tA3 (v: 24; e: 36; f: 14)	ts {2,8} tA4 (v: 32; e: 48; f: 18)	ts {2,10} tA5 (v: 40; e: 60; f: 22)
Симметрия	D 2 , [2,2] + , (222)	D 3 , [3,2] + , (322)	D 4 , [4,2] + , (422)	D 5 , [5,2] + , (522)
Курносые антипризмы	J84	Икосаэдр	J85	Вогнутый
		sY3 = HtA3	sY4 = HtA4	sY5 = HtA5
	сс {2,4} (v: 8; e: 20; f: 14)	сс {2,6} (v: 12; e: 30; f: 20)	сс {2,8} (v: 16; e: 40; f: 26)	сс {2,10} (v: 20; e: 50; f: 32)

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Эрик В. Вайстейн , квадратная антипризма Snub ( твердое тело Джонсона ) в MathWorld .