В геометрии , А Джонсон твердое вещество является строго выпуклый многогранник каждая грань которого представляет собой правильный многоугольник . Не требуется, чтобы каждая грань была одним и тем же многоугольником или чтобы одни и те же многоугольники соединялись вокруг каждой вершины. Примером твердого тела Джонсона является квадратная пирамида с равносторонними сторонами ( J 1 ); у него 1 квадратная грань и 4 треугольных грани. Некоторые авторы требуют, чтобы твердое тело было неоднородным (т.е. не Платоновым , Архимедовым , однородной призмой или однородной антипризмой).), прежде чем они назовут его «твердым телом Джонсона».
Как и в любом строго выпуклом твердом теле, по крайней мере, три грани пересекаются в каждой вершине, а сумма их углов меньше 360 градусов. Поскольку правильный многоугольник имеет углы не менее 60 градусов, отсюда следует, что не более пяти граней пересекаются в любой вершине. Пятиугольная пирамида ( J 2 ) представляет собой пример , который имеет степень 5-вершину.
Хотя нет очевидного ограничения на то, что любой данный правильный многоугольник не может быть гранью тела Джонсона, оказывается, что грани тел Джонсона, которые не являются однородными (т. Е. Не платоново , архимедово твердое тело , однородная призма или однородная антипризма ) всегда имеет 3, 4, 5, 6, 8 или 10 сторон.
В 1966 году Норман Джонсон опубликовал список, в который вошли все 92 тела Джонсона (за исключением 5 Платоновых тел, 13 тел Архимеда, бесконечного множества однородных призм и бесконечного множества однородных антипризм), и дал им их имена и номера. Он не доказал, что их было только 92, но предположил, что других не было. Виктор Залгаллер в 1969 году доказал, что список Джонсона был полным.
Среди тел Джонсона удлиненная квадратная гиробикупола ( J 37 ), также называемая псевдоромбокубооктаэдром [1] , уникальна тем, что является локально однородной по вершинам: в каждой вершине есть 4 грани, и их расположение всегда одинаково: 3 квадрата и 1 треугольник. Однако он не является вершинно-транзитивным, поскольку имеет разную изометрию в разных вершинах, что делает его твердым телом Джонсона, а не архимедовым телом .
Имена [ править ]
Именование твердых тел Джонсона следует гибкой и точной описательной формуле, так что многие твердые тела могут быть названы по-разному без ущерба для их точности описания. Большинство тел Джонсона можно построить из нескольких первых тел ( пирамид , куполов и ротонды ) вместе с платоновыми и архимедовыми телами, призмами и антипризмами ; центр названия конкретного твердого вещества будет отражать эти ингредиенты. Оттуда к слову добавляется ряд префиксов, обозначающих добавления, вращения и преобразования:
- Bi- указывает на то, что две копии рассматриваемого твердого тела соединены основанием к основанию. Для куполов и ротондов твердые тела могут быть соединены таким образом, что встречаются одинаковые грани ( орто- ) или разные грани ( гиро- ). Используя эту номенклатуру, октаэдр можно описать как квадратную бипирамиду , кубооктаэдр - как треугольную гиробикуполу , а икосододекаэдр - как пятиугольную гиробиротонду .
- Удлиненный указывает на то, что призма присоединена к основанию рассматриваемого твердого тела или между основаниями в случае твердого би-твердого вещества. Ромбокубооктаэдр таким образом , может быть описан как удлиненный квадратным orthobicupola .
- Гиро-удлинение указывает на то, что антипризма присоединена к основанию рассматриваемого твердого тела или между основаниями в случае би-твердых тел. Таким образом, икосаэдр можно описать как гировидную пятиугольную бипирамиду .
- Расширенный указывает, что другой многогранник, а именно пирамида или купол , присоединен к одной или нескольким граням рассматриваемого твердого тела.
- Уменьшение указывает на то, что пирамида или купол удалены с одной или нескольких граней рассматриваемого твердого тела.
- Гират указывает на то, что купол, установленный на рассматриваемом твердом теле или представленный в нем, вращается так, что разные края совпадают, как в разнице между орто- и гиробикуполами.
Последние три операции - увеличение , уменьшение и вращение - могут выполняться несколько раз для некоторых крупных твердых тел. Bi- и Tri- обозначают двойную и тройную операцию соответственно. Например, твердое тело бигирата имеет два повернутых купола, а твердое тело, уменьшенное в три раза, имеет три удаленных пирамиды или купола.
В некоторых крупных твердых телах различают твердые тела, у которых измененные грани параллельны, и твердые тела, у которых измененные грани являются наклонными. Para- указывает на первое, что рассматриваемое твердое тело изменило параллельные грани, а Meta второе - на косые грани. Например, у парабиаугментированного твердого тела были увеличены две параллельные грани, а у метабигиратного твердого тела - две наклонные грани, повернутые по спирали.
Последние несколько тел Джонсона имеют названия, основанные на определенных комплексах многоугольников, из которых они собраны. Эти имена определены Джонсоном [2] со следующей номенклатурой:
- Луночка представляет собой комплекс из двух треугольников , прикрепленных к противоположным сторонам квадрата.
- Spheno - указывает на клиновидный комплекс, образованный двумя соседними лунками. Дисфено- указывает на два таких комплекса.
- Hebespheno - указывает на тупой комплекс двух луночек, разделенных третьей луной.
- Корона представляет собой короноподобный комплекс из восьми треугольников.
- Мегакорона - это более крупный короноподобный комплекс из 12 треугольников.
- Суффикс - cingulum обозначает пояс из 12 треугольников.
Перечисление [ править ]
Пирамиды, купола и ротонды [ править ]
Первые 6 тел Джонсона представляют собой пирамиды, купола или ротонды с не более чем 5 боковыми гранями. Пирамиды и купола с 6 или более боковыми гранями компланарны и, следовательно, не являются телами Джонсона.
Пирамиды [ править ]
Первые два тела Джонсона, J1 и J2, являются пирамидами . Треугольная пирамида является регулярным тетраэдр , так что не Джонсон твердого вещества. Они представляют собой сечения правильных многогранников.
| Обычный | J1 | J2 |
|---|---|---|
| Треугольная пирамида ( Тетраэдр ) | Квадратная пирамида | Пятиугольная пирамида |
| Связанные правильные многогранники | ||
| Тетраэдр | Октаэдр | Икосаэдр |
Купола и ротонда [ править ]
Следующие четыре тела Джонсона - это три купола и одна ротонда . Они представляют собой сечения однородных многогранников.
| Купол | Ротонда | |||
|---|---|---|---|---|
| Униформа | J3 | J4 | J5 | J6 |
| Вершина темени (дигональные купола) ( треугольная призма ) | Треугольный купол | Квадратный купол | Пятиугольный купол | Пятиугольная ротонда |
| Связанные однородные многогранники | ||||
| Кубооктаэдр | Ромбокубооктаэдр | Ромбикосододекаэдр | Икосидодекаэдр | |
Модифицированные пирамиды [ править ]
Твердые тела Джонсона с 7 по 17 являются производными пирамид.
Удлиненные и гировидные пирамиды [ править ]
В гиродлинной треугольной пирамиде три пары соседних треугольников компланарны и образуют неквадратные ромбы, поэтому это не твердое тело Джонсона.
| Удлиненные пирамиды | Гиро-удлиненные пирамиды | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| J7 | J8 | J9 | Копланарный | J10 | J11 |
| Удлиненная треугольная пирамида | Удлиненная квадратная пирамида | Удлиненная пятиугольная пирамида | Гироудлиненная треугольная пирамида ( уменьшенный треугольный трапецоэдр ) | Гиро-удлиненная квадратная пирамида | Гиро-удлиненная пятиугольная пирамида |
| Дополнен из многогранников | |||||
| тетраэдр треугольная призма | квадратная пирамида куб | пятиугольная пирамида пятиугольная призма | тетраэдр октаэдр | квадратная пирамида квадратная антипризма | пятиугольная пирамида пятиугольная антипризма |
Бипирамиды [ править ]
Площадь бипирамида является регулярным октаэдр , в то время как gyroelongated пятиугольной бипирамида является регулярным икосаэдр , поэтому они не являются Джонсон твердых веществ. В гиродлинной треугольной бипирамиде шесть пар соседних треугольников компланарны и образуют неквадратные ромбы, так что это также не твердое тело Джонсона.
| Бипирамиды | Удлиненные бипирамиды | Гиро-удлиненные бипирамиды | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| J12 | Обычный | J13 | J14 | J15 | J16 | Копланарный | J17 | Обычный |
| Треугольная бипирамида | Квадратная бипирамида ( октаэдр ) | Пятиугольная бипирамида | Удлиненная треугольная бипирамида | Удлиненная квадратная бипирамида | Удлиненная пятиугольная бипирамида | Гироудлиненная треугольная бипирамида ( треугольный трапецииэдр ) | Гиро-удлиненная квадратная бипирамида | Гиро-удлиненная пятиугольная бипирамида ( икосаэдр ) |
| Дополнен из многогранников | ||||||||
| тетраэдр | квадратная пирамида | пятиугольная пирамида | тетраэдр треугольная призма | квадратная пирамида куб | пятиугольная пирамида пятиугольная призма | тетраэдр октаэдр | квадратная пирамида квадратная антипризма | пятиугольная пирамида пятиугольная антипризма |
Изменены купола и ротонды [ править ]
Твердые тела Джонсона с 18 по 48 происходят от куполов и ротондов.
Вытянутые и гировидные купола и ротонды [ править ]
| Вытянутый купол | Удлиненная ротонда | Гиро-удлиненный купол | Гиро-удлиненная ротонда | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Копланарный | J18 | J19 | J20 | J21 | Вогнутый | J22 | J23 | J24 | J25 |
| Удлиненный фастигиум | Вытянутый треугольный купол | Вытянутый квадратный купол | Вытянутый пятиугольный купол | Удлиненная пятиугольная ротонда | Гиро-удлиненный фастигиум | Гиро-удлиненный треугольный купол | Гиро-удлиненный квадратный купол | Гиро-удлиненный пятиугольный купол | Гиро-удлиненная пятиугольная ротонда |
| Дополнен из многогранников | |||||||||
| Квадратная призма Треугольная призма | Шестиугольная призма Треугольный купол | Восьмиугольная призма Квадратный купол | Десятиугольная призма Пятиугольный купол | Десятиугольная призма Пятиугольная ротонда | квадратная антипризма Треугольная призма | Шестиугольная антипризма Треугольный купол | Восьмиугольный антипризматический квадратный купол | Десятиугольная антипризма Пятиугольный купол | Десятиугольная антипризма Пятиугольная ротонда |
Bicupolae [ править ]
Треугольная гиробикупола - это архимедово твердое тело (в данном случае кубооктаэдр ), поэтому это не твердое тело Джонсона.
| Ортобикупола | Гиробикупола | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Копланарный | J27 | J28 | J30 | J26 | Полурегулярный | J29 | J31 |
| Ортобифастигиум | Ортобикупола треугольная | Квадрат ортобикупола | Пятиугольная ортобикупола | Gyrobifastigium | Гиробикупола треугольная ( кубооктаэдр ) | Гиробикупола квадратная | Пятиугольная гиробикупола |
| Дополнен многогранником | |||||||
| Треугольная призма | Треугольный купол | Квадратный купол | Пятиугольный купол | Треугольная призма | Треугольный купол | Квадратный купол | Пятиугольный купол |
Купола-ротонды и биротонды [ править ]
Пятиугольная гиробиротонда - это архимедово твердое тело (в данном случае икосододекаэдр ), поэтому это не твердое тело Джонсона.
| Купол-ротонда | Биротунда | ||
|---|---|---|---|
| J32 | J33 | J34 | Полурегулярный |
| Пятиугольная ортокуполаротонда | Пятиугольная гирокуполаротонда | Пятиугольная ортобиротонда | Пятиугольная гиробиротонда ( икосододекаэдр ) |
| Дополнен из многогранников | |||
| Пятиугольный купол Пятиугольная ротонда | Пятиугольная ротонда | ||
Удлиненные двуполые [ править ]
Вытянутая квадратная ортобикупола представляет собой архимедово твердое тело (в данном случае ромбокубооктаэдр ), поэтому это не твердое тело Джонсона.
| Ортобикупола удлиненная | Гиробикупола удлиненная | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Копланарный | J35 | Полурегулярный | J38 | Копланарный | J36 | J37 | J39 |
| Ортобифастигиум удлиненной формы | Ортобикупола удлиненной треугольной формы | Ортобикупола продолговатая квадратная ( ромбокубооктаэдр ) | Ортобикупола удлиненная пятиугольная | Гиробифастигий удлиненный | Гиробикупола удлиненной треугольной формы | Гиробикупола удлиненная квадратная | Гиробикупола удлиненная пятиугольная |
| Дополнен из многогранников | |||||||
| Квадратная призма Треугольная призма | Шестиугольная призма Треугольный купол | Восьмиугольная призма Квадратный купол | Десятиугольная призма Пятиугольный купол | Квадратная призма Треугольная призма | Шестиугольная призма Треугольный купол | Восьмиугольная призма Квадратный купол | Десятиугольная призма Пятиугольный купол |
Вытянутые купола-ротонды и биротонды [ править ]
| Вытянутый купол-ротонда | Удлиненная биротонда | ||
|---|---|---|---|
| J40 | J41 | J42 | J43 |
| Пятиугольная удлиненная ортокуполаротонда | Удлиненная пятиугольная гирокуполаротонда | Пятиугольная удлиненная ортобиротонда | Удлиненная пятиугольная гиробиротонда |
| Дополнен из многогранников | |||
| Десятиугольная призма Пятиугольный купол Пятиугольная ротонда | Десятиугольная призма Пятиугольная ротонда | ||
Гиро-удлиненные двупольные, купола-ротонда и биротонда [ править ]
Эти твердые вещества Джонсона имеют 2 хиральные формы.
| Гиро-удлиненная двуполость | Гировидный купол-ротонда | Гироудлиненная биротонда | |||
|---|---|---|---|---|---|
| Вогнутый | J44 | J45 | J46 | J47 | J48 |
| Гиро-удлиненный бифастигий | Гиро-продолговатая треугольная двуправая | Гиро-удлиненная квадратная двуправая | Гиро-удлиненная пятиугольная двуправая | Гиро-удлиненная пятиугольная куполаротонда | Гиро-удлиненная пятиугольная биротонда |
| Дополнен из многогранников | |||||
| Треугольная призма Квадратная антипризма | Треугольный купол Шестиугольная антипризма | Квадратный купол Восьмиугольная антипризма | Пятиугольный купол Десятиугольная антипризма | Пятиугольный купол Пятиугольная ротонда Десятиугольная антипризма | Пятиугольная ротонда Десятиугольная антипризма |
Увеличенные призмы [ править ]
Твердые тела Джонсона с 49 по 57 построены путем добавления сторон призм квадратных пирамид.
| Увеличенные треугольные призмы | Увеличенные пятиугольные призмы | Увеличенные шестиугольные призмы | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| J49 | J50 | J51 | J52 | J53 | J54 | J55 | J56 | J57 |
| Расширенная треугольная призма | Двусторонняя треугольная призма | Трехгранная треугольная призма | Расширенная пятиугольная призма | Двухугольная пятиугольная призма | Расширенная шестиугольная призма | Парабиаугментированная шестиугольная призма | Метабиауглеродная шестиугольная призма | Трехгранная шестиугольная призма |
| Дополнен из многогранников | ||||||||
| Треугольная призма Квадратная пирамида | Пятиугольная призма Квадратная пирамида | Шестиугольная призма Квадратная пирамида | ||||||
Модифицированные Платоновы тела [ править ]
Твердые тела Джонсона с 58 по 64 строятся путем увеличения или уменьшения количества Платоновых тел.
Дополненные додекаэдры [ править ]
| J58 | J59 | J60 | J61 |
|---|---|---|---|
| Дополненный додекаэдр | Парабиаугментированный додекаэдр | Метабиауглеродный додекаэдр | Триаугментированный додекаэдр |
| Дополнен из многогранников | |||
| Додекаэдр и пятиугольная пирамида | |||
Уменьшенные и увеличенные уменьшенные икосаэдры [ править ]
| Уменьшенный икосаэдр | Увеличенный трехуменьшенный икосаэдр | |||
|---|---|---|---|---|
| J11 (Повторяется) | Униформа | J62 | J63 | J64 |
| Уменьшенный икосаэдр ( гировидная пятиугольная пирамида ) | Парабидоуменьшенный икосаэдр ( пятиугольная антипризма ) | Метабидоуменьшенный икосаэдр | Треугольник икосаэдр | Увеличенный трехуменьшенный икосаэдр |
Модифицированные тела Архимеда [ править ]
Твердые тела Джонсона 65-83 построены путем увеличения, уменьшения или вращения архимедовых тел.
Дополненные архимедовы тела [ править ]
| Увеличенный усеченный тетраэдр | Дополненные усеченные кубики | Дополненные усеченные додекаэдры | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| J65 | J66 | J67 | J68 | J69 | J70 | J71 |
| Увеличенный усеченный тетраэдр | Дополненный усеченный куб | Усеченный двуугловой куб | Увеличенный усеченный додекаэдр | Парабиаугментированный усеченный додекаэдр | Усеченный додекаэдр с метабиауглеродом | Триаугментированный усеченный додекаэдр |
| Дополнен из многогранников | ||||||
| усеченный тетраэдр треугольный купол | усеченный куб квадратный купол | усеченный додекаэдр пятиугольный купол | ||||
Гират и уменьшенные ромбикосододекаэдры [ править ]
| Гиратные ромбикосододекаэдры | |||
|---|---|---|---|
| J72 | J73 | J74 | J75 |
| Гиратный ромбикосододекаэдр | Парабигиратный ромбоикосододекаэдр | Метабигиратный ромбикосододекаэдр | Тригиратный ромбоикосододекаэдр |
| Уменьшенные ромбикосододекаэдры | |||
| J76 | J80 | J81 | J83 |
| Уменьшенный ромбикосододекаэдр | Парабидоусиленный ромбоикосододекаэдр | Метабидоуменьшенный ромбикосододекаэдр | Трехкоординатный ромбоикосододекаэдр |
| Гиратные уменьшенные ромбикосододекаэдры | |||
| J77 | J78 | J79 | J82 |
| Парагиратный уменьшенный ромбикосододекаэдр | Метагират уменьшенный ромбикосододекаэдр | Бигират уменьшенный ромбикосододекаэдр | Гиратный двумерный ромбикосододекаэдр |
J37 также может появиться здесь как дубликат (это круговой ромбокубооктаэдр).
Другие вращающиеся и уменьшенные архимедовы тела [ править ]
Другие архимедовы твердые тела могут вращаться и уменьшаться, но все они приводят к ранее подсчитанным твердым телам.
| J27 | J3 | J34 | J6 | J37 | J19 | Униформа |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Гиратный кубооктаэдр ( треугольный ортобикупола ) | Уменьшенный кубооктаэдр ( треугольный купол ) | Гиратный икосододекаэдр ( пятиугольная ортобиротонда ) | Уменьшенный икосододекаэдр ( пятиугольная ротонда ) | Гират ромбикубооктаэдр ( гиробикупола продолговатая квадратная ) | Уменьшенный ромбокубооктаэдр ( вытянутый квадратный купол ) | Двунаправленный ромбокубооктаэдр ( восьмиугольная призма ) |
| Гирированные или уменьшенные из многогранников | ||||||
| Кубооктаэдр | Икосидодекаэдр | Ромбокубооктаэдр | ||||
Элементарные тела [ править ]
Твердые тела Джонсона с 84 по 92 не получены в результате манипуляций с однородными твердыми телами "разрезать и вставить" .
Курносые антипризмы [ править ]
В Snub антипризм может быть построена как чередование усеченного антипризмы. Гиробиантикуполы - еще одна конструкция курносых антипризм. Только курносые антипризмы с не более чем четырьмя сторонами могут быть построены из правильных многоугольников. Курносая треугольная антипризма - это правильный икосаэдр , поэтому это не твердое тело Джонсона.
| J84 | Обычный | J85 |
|---|---|---|
| Курносый дисфеноид сс {2,4} | Икосаэдр ss {2,6} | Плоская квадратная антипризма из нержавеющей стали {2,8} |
| Дигональные гиробиантикуполы | Гиробиантикупола треугольная | Гиробиантикупола квадратная |
Другое [ править ]
| J86 | J87 | J88 | |
|---|---|---|---|
| Sphenocorona | Увеличенная сфенокорона | Sphenomegacorona | |
| J89 | J90 | J91 | J92 |
| Hebesphenomegacorona | Дисфеноцингулум | Bilunabirotunda | Гебешфеноротунда треугольная |
Классификация по типам лиц [ править ]
Треугольные тела Джонсона [ править ]
Пять тел Джонсона - это дельтаэдры , у которых все грани равностороннего треугольника:
|
|
Треугольники и прямоугольные тела Джонсона [ править ]
Двадцать четыре тела Джонсона имеют только треугольные или квадратные грани:
|
|
|
Треугольники и пятиугольные тела Джонсона [ править ]
Одиннадцать тел Джонсона имеют только треугольные и пятиугольные грани:
|
|
Треугольные, квадратные и пятиугольные тела Джонсона [ править ]
Двадцать тел Джонсона имеют только треугольные, квадратные и пятиугольные грани:
|
|
Треугольные, квадратные и шестиугольные тела Джонсона [ править ]
Восемь тел Джонсона имеют только треугольные, квадратные и шестиугольные грани:
|
|
Треугольные, квадратные и восьмиугольные тела Джонсона [ править ]
Пять тел Джонсона имеют только треугольные, квадратные и восьмиугольные грани:
|
|
Треугольники, пятиугольники и тела Джонсона с десятиугольными гранями [ править ]
Два тела Джонсона имеют только треугольные, пятиугольные и десятиугольные грани:
|
Треугольники, квадраты, пятиугольники и шестиугольные тела Джонсона [ править ]
Только одно тело Джонсона имеет треугольные, квадратные, пятиугольные и шестиугольные грани:
|
Треугольники, квадраты, пятиугольники и десятиугольные тела Джонсона [ править ]
Шестнадцать тел Джонсона имеют только треугольные, квадратные, пятиугольные и десятиугольные грани:
|
|
Объявляемые твердые тела Джонсона [ править ]
25 тел Джонсона имеют вершины на поверхности сферы : 1–6,11,19,27,34,37,62,63,72–83. Все они связаны с правильным или однородным многогранником путем вращения, уменьшения или рассечения. [3]
| Октаэдр | Кубооктаэдр | Ромбокубооктаэдр | |||
|---|---|---|---|---|---|
| J1 | J3 | J27 | J4 | J19 | J37 |
| Икосаэдр | Икосидодекаэдр | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| J2 | J11 | J62 | J63 | J6 | J34 |
| Ромбикосододекаэдр | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| J5 | J72 | J73 | J74 | J75 | J76 | J77 |
| J78 | J79 | J80 | J81 | J82 | J83 | |
См. Также [ править ]
- Почти мисс Джонсон солид
- Каталонский твердый
- Тороидальный многогранник
Ссылки [ править ]
- Джонсон, Норман У. (1966). «Выпуклые тела с правильными гранями». Канадский математический журнал . 18 : 169–200. DOI : 10.4153 / cjm-1966-021-8 . ISSN 0008-414X . Zbl 0132.14603 . Содержит исходное перечисление 92 тел и гипотезу о том, что других нет.
- Залгаллер, Виктор А. (1967). «Выпуклые многогранники с правильными гранями». Зап. Научн. Семин. Ленингр. Отд. Мат. Inst. Стеклова . 2 : 1–221. ISSN 0373-2703 . Zbl 0165.56302 .Первое доказательство того, что тел Джонсона всего 92. Английский перевод: Залгаллер, Виктор А. (1969). «Выпуклые многогранники с правильными гранями». Семинары по математике, В. А. Стеклов Матем. Ин-т, Ленинград . Бюро консультантов. 2 . ISSN 0080-8873 . Zbl 0177.24802 .
- Энтони Пью (1976). Многогранники: визуальный подход . Калифорния: Калифорнийский университет Press в Беркли. ISBN 0-520-03056-7. Глава 3 Дальнейшие выпуклые многогранники
- ^ GWH. «Псевдо ромбокубооктаэдры» . www.georgehart.com . Проверено 17 апреля 2018 года .
- ^ Джордж Харт (цитируя Джонсона) (1996). «Джонсон Солидс» . Виртуальные многогранники . Проверено 5 февраля 2014 .
- ^ Клитцинг, д - р Ричард. «Джонсон солидс и др.» . bendwavy.org . Проверено 17 апреля 2018 года .
Внешние ссылки [ править ]
- Ганьон, Сильвен (1982). « Выпуклые многогранники с правильными гранями » [Выпуклые многогранники с правильными гранями] (PDF) . Структурная топология (6): 83–95.
- Бумажные модели многогранников Многие ссылки
- Johnson Solids Джорджа У. Харта.
- Изображения всех 92 твердых тел, распределенные по категориям, на одной странице
- Вайсштейн, Эрик В. «Джонсон Солид» . MathWorld .
- VRML-модели Johnson Solids от Джима Макнила
- VRML модели тел Джонсона Владимира Булатова
- Проект открытия полихоры CRF пытается обнаружить полихору CRF , обобщение твердых тел Джонсона в 4-мерном пространстве.
- https://levskaya.github.io/polyhedronisme/ генератор многогранников и примененные к ним операции Конвея , включая твердые тела Джонсона.
