Равномерный многогранник

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Октябрь 2011 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Платоново твердое тело : тетраэдр

Равномерный звездный многогранник : плоскостный додекадодекаэдр

Равномерное многогранник имеет правильные многоугольники как грани и является вершина-симметрический (т.е. существует изометрическое отображение любой вершины на любом другой). Отсюда следует, что все вершины конгруэнтны .

Равномерные многогранники могут быть правильными (если также грань и ребро транзитивны), квазирегулярными (если также ребро транзитивно, но не грань транзитивно) или полурегулярными (если ни ребро, ни грань не транзитивны). Грани и вершины не обязательно должны быть выпуклыми , поэтому многие однородные многогранники также являются звездчатыми .

Есть два бесконечных класса однородных многогранников вместе с 75 другими многогранниками:

• Бесконечные классы:
  • призм ,
  • антипризмы .
• Выпуклые исключительные:
  • 5 Платоновы тела : правильные выпуклые многогранники,
  • 13 архимедовых тел : 2 квазирегулярных и 11 полуправильных выпуклых многогранников.
• Звездочка (невыпуклая) исключительная:
  • 4 Многогранники Кеплера – Пуансо : правильные невыпуклые многогранники,
  • 53 однородных звездных многогранника : 5 квазирегулярных и 48 полуправильных.

Следовательно, 5 + 13 + 4 + 53 = 75.

Есть также много вырожденных однородных многогранников с совпадающими парами ребер, в том числе найденный Джоном Скиллингом большой диргомбидодекаэдр disnub (фигура Скиллинга).

Двойные многогранники к однородным многогранникам являются гранно-транзитивными (изоэдральными) и имеют правильные фигуры вершин и обычно классифицируются параллельно со своими двойственными (однородными) многогранниками. Двойственный к правильному многограннику является правильным, а двойственный к архимедовому телу - каталонским телом .

Концепция однородного многогранника является частным случаем концепции однородного многогранника , которая также применяется к формам в многомерном (или низкоразмерном) пространстве.

Определение [ править ]

Кокстер, Лонге-Хиггинс и Миллер (1954) определяют однородные многогранники как вершинно-транзитивные многогранники с правильными гранями. Они определяют многогранник как конечный набор многоугольников, так что каждая сторона многоугольника является стороной только одного другого многоугольника, так что ни одно непустое собственное подмножество многоугольников не обладает таким же свойством. Под многоугольником они неявно подразумевают многоугольник в трехмерном евклидовом пространстве; они могут быть невыпуклыми и пересекать друг друга.

Есть некоторые обобщения понятия однородного многогранника. Если отказаться от предположения о связности, то мы получим однородные соединения, которые можно разбить как объединение многогранников, например, соединение 5 кубов. Если отказаться от условия невырожденности реализации многогранника, мы получим так называемые вырожденные однородные многогранники. Это требует более общего определения многогранников. Грюнбаум (1994) дал довольно сложное определение многогранника, в то время как МакМаллен и Шульте (2002) дали более простое и более общее определение многогранника: в их терминологии многогранник - это двумерный абстрактный многогранник.с невырожденной трехмерной реализацией. Здесь абстрактный многогранник - это совокупность его «граней», удовлетворяющих различным условиям, реализация - это функция от ее вершин до некоторого пространства, и реализация называется невырожденной, если любые две различные грани абстрактного многогранника имеют различные реализации. Вот некоторые из способов, которыми они могут быть вырождены:

• Скрытые лица. Некоторые многогранники имеют скрытые грани в том смысле, что их внутренние части не видны снаружи. Обычно они не считаются однородными многогранниками.
• Вырожденные соединения. Некоторые многогранники имеют несколько ребер, и их грани являются гранями двух или более многогранников, хотя они не являются соединениями в предыдущем смысле, поскольку многогранники имеют общие ребра.
• Двойные крышки. Существуют неориентируемые многогранники, у которых есть двойные накрытия, удовлетворяющие определению равномерного многогранника. У двойных крышек двойные грани, ребра и вершины. Обычно они не считаются однородными многогранниками.
• Двойные лица. Есть несколько многогранников с удвоенными гранями, произведенных конструкцией Витхоффа. Большинство авторов не допускают сдвоения граней и убирают их как часть конструкции.
• Двойные края. Фигура Скиллинга имеет двойные ребра (как в вырожденных однородных многогранниках), но ее грани нельзя записать как объединение двух однородных многогранников.

История [ править ]

Правильные выпуклые многогранники [ править ]

• Платоническая твердые частицы восходит к классическим грекам и были изучены с помощью пифагорейцев , Платона (с 424 -. 348 до н.э.), Theaetetus (с 417 г. до н.э. -. 369 до н.э.), Тимей из Locri (около 420-380 г. до н.э.) и Евклида (эт. 300 г. до н. э.). Этруски открыл регулярный додекаэдр до 500 года до нашей эры. ^[1]

Неправильные равномерные выпуклые многогранники [ править ]

• Кубооктаэдр был известен Платоном .
• Архимед (287 г. до н.э. - 212 г. до н.э.) открыл все 13 архимедовых тел . Его оригинальная книга по этому вопросу была утеряна, но Папп Александрийский (ок. 290 - ок. 350 н. Э.) Упомянул, что Архимед перечислил 13 многогранников.
• Пьеро делла Франческа (1415 - 1492) заново открыл пять усечений Платоновых тел: усеченный тетраэдр, усеченный октаэдр, усеченный куб, усеченный додекаэдр и усеченный икосаэдр, а также включил иллюстрации и расчеты их метрических свойств в свою книгу De quinque corporibus regularibus . Он также обсуждал кубооктаэдр в другой книге. ^[2]
• Лука Пачоли сплагиатировал работу Франчески в De divina ratio в 1509 году, добавив ромбокубооктаэдр , назвав его икосигексаэдром из- за его 26 граней, который был нарисован Леонардо да Винчи .
• Иоганн Кеплер (1571–1630) был первым, кто опубликовал полный список архимедовых тел в 1619 году, а также определил бесконечные семейства однородных призм и антипризм .

Правильные звездные многогранники [ править ]

• Кеплер (1619) открыл два правильных многогранника Кеплера – Пуансо, а Луи Пуансо (1809) открыл два других. Набор из четырех был доказан Огюстином Коши (1789–1857) и назван Артуром Кэли (1821–1895).

Другие 53 необычных звездных многогранника [ править ]

• Из оставшихся 53 Эдмунд Гесс (1878) открыл два, Альберт Бадуро (1881) открыл еще 36, а Питч (1881) независимо открыл 18, из которых 3 не были открыты ранее. Вместе они дали 41 многогранник.
• Геометр HSM Coxeter обнаружил оставшиеся двенадцать в сотрудничестве с JCP Miller (1930–1932), но не опубликовал их. М. С. Лонге-Хиггинс и Х. К. Лонге-Хиггинс независимо обнаружили одиннадцать из них. Лесавр и Мерсье заново открыли пять из них в 1947 году.
• Кокстер, Лонге-Хиггинс и Миллер (1954) опубликовали список однородных многогранников.
• Сопов (1970) доказал свою гипотезу о полноте списка.
• В 1974 году Магнус Веннингер опубликовал свою книгу « Модели многогранников» , в которой перечислены все 75 непризматических однородных многогранников со многими ранее неопубликованными именами, данными им Норманом Джонсоном .
• Скиллинг (1975) независимо доказал полноту и показал, что если определение равномерного многогранника ослабить так, чтобы рёбра совпадали, то остаётся только одна дополнительная возможность.
• В 1987 году Эдмонд Бонан нарисовал все однородные многогранники и их двойники в 3D с помощью программы Turbo Pascal под названием Polyca : почти из них были показаны во время Конгресса Международного стереоскопического союза, проходившего в Театре Конгресса в Истборне, Великобритания. ^{[ необходима цитата ]} . ^[3]
• В 1993 году Цви Хар'Эль произвел полное калейдоскопическое построение однородных многогранников и двойников с помощью компьютерной программы под названием Kaleido и резюмировал в статье « Единое решение для однородных многогранников» , считая цифры 1-80. ^[4]
• Также в 1993 году Р. Мэдер перенес это решение Kaleido в систему Mathematica с немного другой системой индексации. ^[5]
• В 2002 году Питер В. Мессер открыл минимальный набор выражений в замкнутой форме для определения основных комбинаторных и метрических величин любого однородного многогранника (и двойственного к нему) с учетом только его символа Уайтхоффа . ^[6]

Однородные звездные многогранники [ править ]

57 непризматических невыпуклых форм, за исключением большого диромбикосододекаэдра , составлены конструкциями Витхоффа внутри треугольников Шварца .

Выпуклые формы по конструкции Wythoff [ править ]

Выпуклые равномерные многогранники можно назвать операциями построения Уайтхоффа регулярной формы.

Более подробно выпуклые однородные многогранники приведены ниже по их конструкции Уайтхоффа в каждой группе симметрии.

В конструкции Wythoff есть повторы, созданные формами более низкой симметрии. Куб - это правильный многогранник и квадратная призма. Октаэдр является правильным многогранником, и треугольной антипризма. Октаэдр также выпрямленное тетраэдр . Многие многогранники повторяются из разных источников построения и окрашиваются по-разному.

Конструкция Wythoff в равной степени применима к однородным многогранникам и однородным мозаикам на поверхности сферы , поэтому даны изображения обоих. Сферические тайлинги включая набор hosohedrons и dihedrons , которые являются вырожденными многогранниками.

Эти группы симметрии образуются из групп точек отражения в трех измерениях , каждая из которых представлена ​​фундаментальным треугольником ( p  q  r ), где p  > 1, q  > 1, r  > 1 и 1 / p + 1 / q + 1 / r. <1 .

• Тетраэдрическая симметрия (3 3 2) - порядок 24
• Октаэдрическая симметрия (4 3 2) - порядок 48
• Икосаэдрическая симметрия (5 3 2) - порядок 120
• Диэдральная симметрия ( n 2 2), для n = 3,4,5, ... - порядок 4 n

Остальные неотражающие формы строятся операциями чередования, применяемыми к многогранникам с четным числом сторон.

Наряду с призмами и их двугранной симметрией , процесс построения сферической формы Витхофф добавляет два регулярных класса, которые становятся вырожденными как многогранники: диэдры и осоэдры , первый из которых имеет только две грани, а второй - только две вершины. Усечение правильных хозоэдров создает призмы.

Ниже выпуклые однородные многогранники пронумерованы от 1 до 18 для непризматических форм, как они представлены в таблицах по форме симметрии.

Для бесконечного набора призматических форм они разделены на четыре семейства:

1. Хосоэдры H _{2 ...} (только как сферические мозаики)
2. Дигедры D _{2 ...} (только как сферические мозаики)
3. Призмы P _{3 ...} (усеченные осоэдры)
4. Антипризмы A _{3 ...} (плоскостные призмы)

Сводные таблицы [ править ]

Имя Джонсон	Родитель	Усеченный	Исправленный	Обрезанный (tr. Dual)	Двунаправленный (двойной)	Собранный	Omnitruncated ( cantitruncated )	Курносый
Диаграмма Кокстера
Расширенный символ Шлефли	${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} p, q \ end {Bmatrix}}}$	${\ displaystyle t {\ begin {Bmatrix} p, q \ end {Bmatrix}}}$	${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} p \\ q \ end {Bmatrix}}}$	${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}q,p\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}q,p\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle r{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}}$
	{p, q}	т {р, д}	г {р, д}	2t {p, q}	2r {p, q}	рр {р, q}	tr {p, q}	sr {p, q}
	т 0 {p, q}	т 0,1 {p, q}	t 1 {p, q}	т 1,2 {р, q}	t 2 {p, q}	т 0,2 {р, q}	т 0,1,2 {p, q}	ht 0,1,2 {p, q}
Символ Wythoff (pq 2)	q | п 2	2 q | п	2 | pq	2 п | q	p | q 2	pq | 2	pq 2 |	| pq 2
Фигура вершины	p q	q.2p.2p	(pq) 2	p.2q.2q	q p	стр.4.q.4	4.2p.2q	3.3.p.3.q
Тетраэдр (3 3 2)	3.3.3	3.6.6	3.3.3.3	3.6.6	3.3.3	3.4.3.4	4.6.6	3.3.3.3.3
Октаэдрический (4 3 2)	4.4.4	3.8.8	3.4.3.4	4.6.6	3.3.3.3	3.4.4.4	4.6.8	3.3.3.3.4
Икосаэдр (5 3 2)	5.5.5	3.10.10	3.5.3.5	5.6.6	3.3.3.3.3	3.4.5.4	4.6.10	3.3.3.3.5

И пример двугранной симметрии:

(Сфера не разрезается, разрезается только мозаика.) (На сфере ребро - это дуга большого круга, кратчайшего пути между двумя его вершинами. Следовательно, двуугольник, вершины которого не полярно-противоположны, называется плоский: похоже на край.)

(стр 2 2)	Родитель	Усеченный	Исправленный	Обрезанный (tr. Dual)	Двунаправленный (двойной)	Собранный	Omnitruncated ( cantitruncated )	Курносый
Диаграмма Кокстера
Расширенный символ Шлефли	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p,2\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}p,2\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}p\\2\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}2,p\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{Bmatrix}2,p\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle r{\begin{Bmatrix}p\\2\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle t{\begin{Bmatrix}p\\2\end{Bmatrix}}}$	${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}p\\2\end{Bmatrix}}}$
	{p, 2}	т {р, 2}	г {р, 2}	2t {p, 2}	2р {п, 2}	рр {р, 2}	tr {p, 2}	sr {p, 2}
	t 0 {p, 2}	т 0,1 {р, 2}	т 1 {р, 2}	т 1,2 {р, 2}	t 2 {p, 2}	т 0,2 {р, 2}	т 0,1,2 {р, 2}	ht 0,1,2 {p, 2}
Символ Wythoff	2 | п 2	2 2 | п	2 | п 2	2 п | 2	p | 2 2	п 2 | 2	п 2 2 |	| стр 2 2
Фигура вершины	п 2	2.2п. 2п	п.2.п.2	п.4.4	2 шт.	п.4.2.4	4.2p.4	3.3.3.p
Двугранный (2 2 2)	{2,2}	2.4.4	2.2.2.2	4.4.2	2.2	2.4.2.4	4.4.4	3.3.3.2
Двугранный (3 2 2)	3.3	2.6.6	2.3.2.3	4.4.3	2.2.2	2.4.3.4	4.4.6	3.3.3.3
Двугранный (4 2 2)	4.4	2.8.8	2.4.2.4	4.4.4	2.2.2.2	2.4.4.4	4.4.8	3.3.3.4
Двугранный (5 2 2)	5.5	2.10.10	2.5.2.5	4.4.5	2.2.2.2.2	2.4.5.4	4.4.10	3.3.3.5
Двугранный (6 2 2)	6,6	2.12.12	2.6.2.6	4.4.6	2.2.2.2.2.2	2.4.6.4	4.4.12	3.3.3.6

(3 3 2) T _d тетраэдрическая симметрия [ править ]

Тетраэдрическая симметрия сферы генерирует 5 равномерные многогранники, и 6 - форму с помощью операции курносой.

Тетраэдрическая симметрия представлена ​​фундаментальным треугольником с одной вершиной с двумя зеркалами и двумя вершинами с тремя зеркалами, представленными символом (3 3 2). Он также может быть представлен группой Кокстера A ₂ или [3,3], а также диаграммой Кокстера :.

Есть 24 треугольника, видимых на гранях шестигранника тетракис и в треугольниках с чередованием цвета на сфере:

#	Имя	График A 3	График А 2	Рисунок	Черепица	Фигура вершины	Символы Кокстера и Шлефли	Подсчет лиц по положению			Количество элементов
								Поз. 2 [3] (4)	Поз. 1 [2] (6)	Поз. 0 [3] (4)	Лица	Края	Вершины
1	Тетраэдр						{3,3}	{3}			4	6	4
[1]	Двунаправленный тетраэдр (такой же, как тетраэдр )						t 2 {3,3} = {3,3}			{3}	4	6	4
2	Выпрямленный тетраэдр Тетратетраэдр (то же, что и октаэдр )						t 1 {3,3} = r {3,3}	{3}		{3}	8	12	6
3	Усеченный тетраэдр						t 0,1 {3,3} = t {3,3}	{6}		{3}	8	18	12
[3]	Усеченный тетраэдр (такой же, как усеченный тетраэдр )						t 1,2 {3,3} = t {3,3}	{3}		{6}	8	18	12
4	Угловой тетраэдр Ромбитетратетраэдр (то же, что и кубооктаэдр )						t 0,2 {3,3} = rr {3,3}	{3}	{4}	{3}	14	24	12
5	Омнитоусеченный тетраэдр Усеченный тетраэдр (то же, что и усеченный октаэдр )						t 0,1,2 {3,3} = tr {3,3}	{6}	{4}	{6}	14	36	24
6	Курносый тетратраэдр (такой же, как икосаэдр )						ср {3,3}	{3}	2 {3}	{3}	20	30	12

(4 3 2) О _ч октаэдрической симметрии [ править ]

Октаэдрическая симметрия сферы генерирует 7 равномерных многогранники, и больше 7 чередованием. Шесть из этих форм повторяются из таблицы симметрии тетраэдра выше.

Октаэдрическая симметрия представлена ​​фундаментальным треугольником (4 3 2) с учетом зеркал в каждой вершине. Он также может быть представлен группой Кокстера B ₂ или [4,3], а также диаграммой Кокстера :.

Есть 48 треугольников, видимых на гранях додекаэдра дисьякиса и в треугольниках с чередованием цветов на сфере:

#	Имя	График B 3	График B 2	Рисунок	Черепица	Фигура вершины	Символы Кокстера и Шлефли	Подсчет лиц по положению			Количество элементов
								Поз. 2 [4] (6)	Поз. 1 [2] (12)	Поз. 0 [3] (8)	Лица	Края	Вершины
7	Куб						{4,3}	{4}			6	12	8
[2]	Октаэдр						{3,4}			{3}	8	12	6
[4]	Выпрямленный куб Выпрямленный октаэдр ( Кубооктаэдр )						{4,3}	{4}		{3}	14	24	12
8	Усеченный куб						t 0,1 {4,3} = t {4,3}	{8}		{3}	14	36	24
[5]	Усеченный октаэдр						t 0,1 {3,4} = t {3,4}	{4}		{6}	14	36	24
9	Скошенный куб Скошенный октаэдр Ромбокубооктаэдр						t 0,2 {4,3} = rr {4,3}	{4}	{4}	{3}	26 год	48	24
10	Омноусеченный куб Омноусеченный октаэдр Усеченный кубооктаэдр						t 0,1,2 {4,3} = tr {4,3}	{8}	{4}	{6}	26 год	72	48
[6]	Курносый октаэдр (такой же, как икосаэдр )						знак равно s {3,4} = sr {3,3}		{3}	{3}	20	30	12
[1]	Полукуб (такой же, как Тетраэдр )						знак равно ч {4,3} = {3,3}	1 / 2 {3}			4	6	4
[2]	Кантик куб (то же, что и усеченный тетраэдр )						знак равно h 2 {4,3} = t {3,3}	1 / 2 {6}		1 / 2 {3}	8	18	12
[4]	(так же, как Кубооктаэдр )						знак равно рр {3,3}				14	24	12
[5]	(то же, что и усеченный октаэдр )						знак равно tr {3,3}				14	36	24
[9]	Кантик курносый октаэдр (такой же, как ромбокубооктаэдр )						s 2 {3,4} = rr {3,4}				26 год	48	24
11	Курносый кубооктаэдр						sr {4,3}	{4}	2 {3}	{3}	38	60	24

(5 3 2) Я _ч икосаэдрической симметрии [ править ]

Икосаэдрическая симметрия сферы генерирует 7 равномерных многогранники, и более 1 чередование. Только один повторяется из тетраэдрической и октаэдрической таблиц симметрии выше.

Симметрия икосаэдра представлена ​​фундаментальным треугольником (5 3 2), в каждой вершине которого есть зеркала. Он также может быть представлен группой Кокстера G ₂ или [5,3], а также диаграммой Кокстера :.

Есть 120 треугольников, видимых на гранях триаконтаэдра дисьякиса и в треугольниках с чередованием цветов на сфере:

#	Имя	График (A 2 ) [6]	График (H 3 ) [10]	Рисунок	Черепица	Фигура вершины	Символы Кокстера и Шлефли	Подсчет лиц по положению			Количество элементов
								Поз. 2 [5] (12)	Поз. 1 [2] (30)	Поз. 0 [3] (20)	Лица	Края	Вершины
12	Додекаэдр						{5,3}	{5}			12	30	20
[6]	Икосаэдр						{3,5}			{3}	20	30	12
13	Выпрямленный додекаэдр Выпрямленный икосаэдр Икосододекаэдр						t 1 {5,3} = r {5,3}	{5}		{3}	32	60	30
14	Усеченный додекаэдр						t 0,1 {5,3} = t {5,3}	{10}		{3}	32	90	60
15	Усеченный икосаэдр						t 0,1 {3,5} = t {3,5}	{5}		{6}	32	90	60
16	Скошенный додекаэдр Сквозной икосаэдр Ромбикосододекаэдр						t 0,2 {5,3} = rr {5,3}	{5}	{4}	{3}	62	120	60
17	Усеченный додекаэдр Омниусеченный икосаэдр Усеченный икосододекаэдр						t 0,1,2 {5,3} = tr {5,3}	{10}	{4}	{6}	62	180	120
18	Курносый икосододекаэдр						ср {5,3}	{5}	2 {3}	{3}	92	150	60

(p 2 2) Призматический [p, 2], семейство I ₂ (p) ( диэдральная симметрия D _{p h} ) [ править ]

Диэдр симметрия сферы генерирует два бесконечных множество однородных многогранников, призмы и антипризм, и два более бесконечного множества вырожденных многогранников hosohedra и dihedra , которые существуют как разбиения на сфере.

Двугранная симметрия представлена ​​фундаментальным треугольником (p 2 2), в каждой вершине которого есть зеркала. Он также может быть представлен группой Кокстера I ₂ (p) или [n, 2], а также призматической диаграммой Кокстера :.

Ниже приведены первые пять двугранных симметрий: D ₂ ... D ₆ . Диэдральная симметрия D _p имеет порядок 4n , представляя грани бипирамиды , а на сфере - линию экватора по долготе и n равноотстоящих линий долготы.

(2 2 2) Двугранная симметрия [ править ]

На гранях квадратной бипирамиды (октаэдра) видны 8 основных треугольников, а на сфере - треугольники, окрашенные в разные цвета:

#	Имя	Рисунок	Черепица	Фигура вершины	Символы Кокстера и Шлефли	Подсчет лиц по положению			Количество элементов
						Поз. 2 [2] (2)	Поз. 1 [2] (2)	Поз. 0 [2] (2)	Лица	Края	Вершины
Д 2 Н 2	Дигональный диэдр , дигональный осоэдр				{2,2}	{2}			2	2	2
D 4	Усеченный двугранный диэдр (такой же, как квадратный диэдр )				т {2,2} = {4,2}	{4}			2	4	4
P 4 [7]	Омноусеченный двугранный диэдр (то же, что и куб )				t 0,1,2 {2,2} = tr {2,2}	{4}	{4}	{4}	6	12	8
A 2 [1]	Плоский двугранный диэдр (такой же, как тетраэдр )				ср {2,2}		2 {3}		4	6	4

(3 2 2) D _3h двугранная симметрия [ править ]

На гранях шестиугольной бипирамиды видны 12 основных треугольников, а на сфере - треугольники, окрашенные в разные цвета:

#	Имя	Рисунок	Черепица	Фигура вершины	Символы Кокстера и Шлефли	Подсчет лиц по положению			Количество элементов
						Поз. 2 [3] (2)	Поз. 1 [2] (3)	Поз. 0 [2] (3)	Лица	Края	Вершины
D 3	Тригональный диэдр				{3,2}	{3}			2	3	3
H 3	Тригональный осоэдр				{2,3}			{2}	3	3	2
D 6	Усеченный тригональный диэдр (такой же, как гексагональный диэдр )				т {3,2}	{6}			2	6	6
P 3	Усеченный треугольный осоэдр ( Треугольная призма )				т {2,3}	{3}	{4}		5	9	6
Стр. 6	Тригонально-усеченный диэдр ( гексагональная призма )				t 0,1,2 {2,3} = tr {2,3}	{6}	{4}	{4}	8	18	12
A 3 [2]	Плоский тригональный диэдр (такой же, как треугольная антипризма ) (такой же, как октаэдр )				ср {2,3}	{3}	2 {3}		8	12	6
P 3	Кантик курносый тригональный диэдр ( Треугольная призма )				s 2 {2,3} = t {2,3}				5	9	6

(4 2 2) D _4h двугранная симметрия [ править ]

На гранях восьмиугольной бипирамиды видны 16 основных треугольников, а на сфере - треугольники, окрашенные в разные цвета:

#	Имя	Рисунок	Черепица	Фигура вершины	Символы Кокстера и Шлефли	Подсчет лиц по положению			Количество элементов
						Поз. 2 [4] (2)	Поз. 1 [2] (4)	Поз. 0 [2] (4)	Лица	Края	Вершины
D 4	квадратный диэдр				{4,2}	{4}			2	4	4
H 4	квадратный осоэдр				{2,4}			{2}	4	4	2
D 8	Усеченный квадратный диэдр (такой же, как восьмиугольный диэдр )				т {4,2}	{8}			2	8	8
P 4 [7]	Усеченный квадратный осоэдр ( Куб )				т {2,4}	{4}	{4}		6	12	8
D 8	Омноусеченный квадратный диэдр ( восьмиугольная призма )				t 0,1,2 {2,4} = tr {2,4}	{8}	{4}	{4}	10	24	16
А 4	Плоский квадратный диэдр ( Квадратная антипризма )				sr {2,4}	{4}	2 {3}		10	16	8
P 4 [7]	Кантик курносый квадратный диэдр ( Куб )				s 2 {4,2} = t {2,4}				6	12	8
A 2 [1]	Курносый квадратный осоэдр ( Дигональная антипризма ) ( Тетраэдр )				s {2,4} = sr {2,2}				4	6	4

(5 2 2) D _5h двугранная симметрия [ править ]

На гранях десятиугольной бипирамиды видны 20 основных треугольников, а на сфере - треугольники, окрашенные в разные цвета:

#	Имя	Рисунок	Черепица	Фигура вершины	Символы Кокстера и Шлефли	Подсчет лиц по положению			Количество элементов
						Поз. 2 [5] (2)	Поз. 1 [2] (5)	Поз. 0 [2] (5)	Лица	Края	Вершины
D 5	Пятиугольный диэдр				{5,2}	{5}			2	5	5
H 5	Пятиугольный осоэдр				{2,5}			{2}	5	5	2
D 10	Усеченный пятиугольный диэдр (такой же, как десятиугольный диэдр )				т {5,2}	{10}			2	10	10
Стр. 5	Усеченный пятиугольный осоэдр (такой же, как пятиугольная призма )				т {2,5}	{5}	{4}		7	15	10
Стр. 10	Омноусеченный пятиугольный диэдр ( десятиугольная призма )				t 0,1,2 {2,5} = tr {2,5}	{10}	{4}	{4}	12	30	20
А 5	Плоский пятиугольный диэдр ( пятиугольная антипризма )				ср {2,5}	{5}	2 {3}		12	20	10
Стр. 5	Кантик курносый пятиугольный диэдр ( пятиугольная призма )				s 2 {5,2} = t {2,5}				7	15	10

(6 2 2) D _6h двугранная симметрия [ править ]

На гранях двенадцатигранной бипирамиды видны 24 фундаментальных треугольника, а на сфере - треугольники с чередованием цветов.

#	Имя	Рисунок	Черепица	Фигура вершины	Символы Кокстера и Шлефли	Подсчет лиц по положению			Количество элементов
						Поз. 2 [6] (2)	Поз. 1 [2] (6)	Поз. 0 [2] (6)	Лица	Края	Вершины
D 6	Шестиугольный диэдр				{6,2}	{6}			2	6	6
H 6	Шестиугольный осоэдр				{2,6}			{2}	6	6	2
D 12	Усеченный шестиугольный диэдр (такой же, как додекагональный диэдр )				т {6,2}	{12}			2	12	12
H 6	Усеченный шестиугольный осоэдр (такой же, как шестиугольная призма )				т {2,6}	{6}	{4}		8	18	12
Стр. 12	Омноусеченный шестиугольный диэдр ( Додекагональная призма )				t 0,1,2 {2,6} = tr {2,6}	{12}	{4}	{4}	14	36	24
А 6	Плоский шестиугольный диэдр ( шестиугольная антипризма )				ср {2,6}	{6}	2 {3}		14	24	12
P 3	Кантический шестиугольный диэдр ( Треугольная призма )				знак равно h 2 {6,2} = t {2,3}				5	9	6
Стр. 6	Кантик курносый шестиугольный диэдр ( шестиугольная призма )				s 2 {6,2} = t {2,6}				8	18	12
A 3 [2]	Плоский шестиугольный осоэдр (такой же, как треугольная антипризма ) (такой же, как октаэдр )				s {2,6} = sr {2,3}				8	12	6

Строительные операторы Wythoff [ править ]

Операция	Символ	Диаграмма Кокстера	Описание
Родитель	{p, q} t 0 {p, q}		Любой правильный многогранник или мозаика
Ректифицированный (r)	г {р, д} т 1 {р, q}		Края полностью обрезаются на отдельные точки. Многогранник теперь имеет комбинированные грани родительского и двойственного. Многогранники названы по количеству сторон двух правильных форм: {p, q} и {q, p}, как кубооктаэдр для r {4,3} между кубом и октаэдром.
Birectified (2r) (также двойной )	2r {p, q} t 2 {p, q}		Двунаправленная (дуальная) - это дальнейшее усечение, при котором исходные грани сводятся к точкам. Под каждой родительской вершиной формируются новые грани. Количество ребер не изменилось и повернуто на 90 градусов. Биректификацию можно рассматривать как двойственную.
Усеченный (т)	t {p, q} t 0,1 {p, q}		Каждая исходная вершина обрезается, и пробел заполняется новой гранью. Усечение имеет степень свободы, которая имеет одно решение, которое создает однородный усеченный многогранник. Многогранник имеет свои исходные грани, удвоенные по сторонам, и содержит грани двойственного.
Bitruncated (2t) (также усеченный двойной)	2t {p, q} t 1,2 {p, q}		Bitruncation можно рассматривать как усечение двойного. Битоусеченный куб - это усеченный октаэдр.
Cantellated (rr) (также расширено )	рр {р, q}		В дополнение к усечению вершин, каждое исходное ребро скошено, и на их месте появляются новые прямоугольные грани. Единая песня находится на полпути между родительской и дуальной формами. Угловой многогранник называется ромб-r {p, q}, как ромбокубооктаэдр для rr {4,3}.
Cantitruncated (tr) (Также неуклонно )	tr {p, q} t 0,1,2 {p, q}		Операции усечения и канелляции применяются вместе, чтобы создать полностью усеченную форму, в которой грани родительского элемента удвоены по сторонам, грани двойника удвоены по сторонам и квадраты, где существовали исходные края.

Чередование операций

Операция	Символ	Диаграмма Кокстера	Описание
Курносый ректификованный (SR)	sr {p, q}		Альтернативное cantitruncated. Все исходные грани имеют вдвое меньше сторон, а квадраты превращаются в ребра. Поскольку полностью усеченные формы имеют 3 грани на вершину, формируются новые треугольники. Обычно эти чередующиеся формы огранки после этого немного деформируются, чтобы снова заканчиваться однородными многогранниками. Возможность последней вариации зависит от степени свободы.
Пренебрежение (ы)	s {p, 2q}		Альтернативное усечение
Кантик пренебрежение (ы 2 )	s 2 {p, 2q}
Чередование раскоса (hrr)	чрр {2p, 2q}		Возможно только в однородных мозаиках (бесконечных многогранниках), чередование Например,
Половина (ч)	h {2p, q}		Чередование из, такой же как
Кантик (ч 2 )	h 2 {2p, q}		Такой же как
Половинное выпрямление (час)	ч. {2p, 2q}		Возможно только в однородных мозаиках (бесконечных многогранниках), чередование , такой же как или же Например, знак равно или же
Квартал (q)	q {2p, 2q}		Возможно только в однородных мозаиках (бесконечных многогранниках), как и Например, знак равно или же

См. Также [ править ]

• Многогранник
  • Правильный многогранник
  • Квазирегулярный многогранник
  • Полуправильный многогранник
• Список равномерных многогранников
  • Список равномерных многогранников по фигуре вершины
  • Список однородных многогранников по символу Wythoff
  • Список равномерных многогранников треугольником Шварца
• Список твердых тел Джонсона
• Список моделей многогранников Веннингера
• Модель многогранника
• Равномерная черепица
• Равномерные мозаики в гиперболической плоскости
• Псевдо-однородный многогранник
• Список фигур

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Брюкнер, M. Vielecke und vielflache. Theorie und geschichte. . Лейпциг, Германия: Teubner, 1900. [2]
• Кокстер, Гарольд Скотт Макдональд ; Лонге-Хиггинс, MS ; Миллер, JCP (1954). "Равномерные многогранники" (PDF) . Философские труды Королевского общества А . 246 (916): 401–450. DOI : 10.1098 / RSTA.1954.0003 . ISSN  0080-4614 . JSTOR  91532 . Руководство по ремонту  0062446 .
• Грюнбаум Б. (1994), «Многогранники с полыми гранями», у Тибора Бистрицкого; Питер Макмаллен; Рольф Шнайдер; и другие. (ред.), Труды НАТО Института перспективных исследований по многогранников: Реферат, Выпуклые и Вычислительный , Springer, С. 43-70,. дои : 10.1007 / 978-94-011-0924-6_3 , ISBN 978-94-010-4398-4
• Макмаллен, Питер ; Шульте, Эгон (2002), Абстрактные правильные многогранники , издательство Cambride University Press
• Скиллинг, Дж. (1975). «Комплект однородных многогранников». Философские труды Лондонского королевского общества. Серия А. Математические и физические науки . 278 (1278): 111–135. DOI : 10,1098 / rsta.1975.0022 . ISSN  0080-4614 . JSTOR  74475 . Руководство по ремонту  0365333 .
• Сопов, СП (1970). «Доказательство полноты списка элементарных однородных многогранников». Украинский геометрический сборник (8): 139–156. Руководство по ремонту  0326550 .
• Веннингер, Магнус (1974). Модели многогранников . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-09859-5.

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. "Равномерный многогранник" . MathWorld .
• Равномерное решение для равномерных многогранников.
• Равномерные многогранники
• Виртуальные многогранники Однородные многогранники
• Галерея однородных многогранников
• Единый многогранник - от Wolfram MathWorld Имеет наглядную диаграмму всех 75