Термин полуправильный многогранник (или полуправильный многогранник ) используется разными авторами по-разному.
В исходном определении это многогранник с правильными многоугольными гранями и группой симметрии , транзитивной в своих вершинах ; сегодня его чаще называют однородным многогранником (это следует из определения Торольда Госсета 1900 г. более общего полуправильного многогранника ). [1] [2] Эти многогранники включают:
- Тринадцать архимедовых тел .
- Бесконечная серия выпуклых призм .
- Бесконечный ряд выпуклых антипризм (их полуправильный характер впервые заметил Кеплер ).
Эти полуправильные тела могут быть полностью определены конфигурацией вершины : список граней по количеству сторон в порядке их расположения вокруг вершины. Например: 3.5.3.5 представляет собой икосододекаэдр , в котором чередуются два треугольника и два пятиугольника вокруг каждой вершины. Напротив: 3.3.3.5 - пятиугольная антипризма . Эти многогранники иногда называют вершинно-транзитивными .
Начиная с Госсета , другие авторы по-разному использовали термин « полурегулярный» в отношении многогранников большей размерности. Э. Л. Элте [3] дал определение, которое Кокстер счел слишком искусственным. Сам Коксетер называл фигуры Госсета единообразными , с весьма ограниченным подмножеством, классифицированным как полуправильные. [4]
Третьи пошли по противоположному пути, отнесли больше многогранников к полурегулярным. Это включает:
- Три набора звездных многогранников, отвечающие определению Госсета, аналогичны трем выпуклым множествам, перечисленным выше.
- В двойственных вышеуказанном полурегулярных твердых, утверждая , что с двойной долей многогранников та же симметрия , как оригиналы, они тоже должны рассматриваться как полурегулярно. Эти двойники включают каталонские твердые тела , выпуклые дипирамиды и выпуклые антидипирамиды или трапецоэдры , а также их невыпуклые аналоги.
Еще один источник путаницы заключается в способе определения архимедовых тел , опять же с различными интерпретациями.
Определение полурегулярности Госсета включает фигуры более высокой симметрии: правильные и квазирегулярные многогранники. Некоторые более поздние авторы предпочитают говорить, что они не являются полурегулярными, потому что они более регулярны, чем это - тогда говорят, что однородные многогранники включают в себя регулярные, квазирегулярные и полуправильные. Эта система именования работает хорошо и устраняет многие (но далеко не все) недоразумения.
На практике даже самые выдающиеся авторитеты могут запутаться, определяя данный набор многогранников как полуправильные и / или архимедовы , а затем предполагая (или даже заявляя) другой набор в последующих обсуждениях. Предположение, что данное определение применимо только к выпуклым многогранникам, вероятно, является наиболее частой ошибкой. Кокстер, Кромвель [5] и Канди и Роллетт [6] виновны в таких промахах.
Основные пометки
Во многих работах полуправильный многогранник используется как синоним архимедова твердого тела . [7] Например, Cundy & Rollett (1961).
Мы можем различать лицево-правильные и вершинно-транзитивные фигуры на основе Госсета, и их вертикально-регулярные (или верси-регулярные) и лицево-транзитивные двойники.
Coxeter et al. (1954) использовали термин полуправильные многогранники для классификации однородных многогранников с символом Уайтхоффа вида pq | r , определение, охватывающее только шесть из архимедовых тел, а также регулярные призмы (но не обычные антипризмы) и многочисленные невыпуклые тела. Позже Кокстер (1973) цитирует определение Госсета без комментариев, таким образом косвенно принимая его.
Эрик Вайсштейн , Роберт Уильямс и другие используют этот термин для обозначения выпуклых однородных многогранников, исключая пять правильных многогранников, в том числе архимедовы тела, однородные призмы и однородные антипризмы (перекрывающиеся кубом как призмой и правильным октаэдром как антипризмой) . [8] [9]
Питер Кромвель (1997) пишет в примечании к странице 149, что «в современной терминологии« полуправильные многогранники »относятся к архимедовым и каталонским (двойственным архимедам) телам». На странице 80 он описывает тринадцать архимедов как полуправильные, а на странице 367 и далее. он обсуждает каталонцев и их отношение к «полуправильным» архимедам. Подразумевается, что это относится к каталонцам как к нерегулярным, что фактически противоречит (или, по крайней мере, сбивает с толку) определению, которое он дал в предыдущей сноске. Он игнорирует невыпуклые многогранники.
Смотрите также
- Полуправильный многогранник
- Правильный многогранник
Рекомендации
- ^ Торольд Госсет о регулярных и полурегулярных фигурах в пространстве n измерений , Вестник математики , Macmillan, 1900
- ^ Кокстер, HSM Правильные многогранники , 3-е изд., Довер (1973)
- ^ Elte, EL (1912), Полурегулярные многогранники гиперпространств , Гронинген: Университет Гронингена
- ^ Кокстер, HSM , Лонге-Хиггинс, М.С. и Миллер, JCP Uniform Polyhedra, Philosophical Transactions of the Royal Society of London 246 A (1954), стр. 401-450. ( Архив JSTOR , требуется подписка).
- ^ Кромвель, П. Многогранники , Cambridge University Press (1977)
- ^ Канди HM и Роллетт, AP Математические модели , 2-е изд. Издательство Оксфордского университета (1961)
- ^ «Архимед». (2006). В Британской энциклопедии . Получено 19 декабря 2006 г. из Encyclopædia Britannica Online (требуется подписка).
- ^ Вайсштейн, Эрик В. "Полуправильный многогранник" . MathWorld .Определение здесь не исключает случай, когда все грани конгруэнтны, но Платоновы тела не включены в перечень в статье.
- ^ Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: первоисточник дизайна . ISBN Dover Publications, Inc. 0-486-23729-X. (Глава 3: Многогранники)
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. "Полуправильный многогранник" . MathWorld .
- Джордж Харт: архимедовы полурегулярные многогранники
- Дэвид Дарлинг: полуправильный многогранник
- polyhedra.mathmos.net: Полуправильный многогранник
- Энциклопедия математики: полурегулярные многогранники, однородные многогранники, архимедовы тела