 Усеченный квадрат - это правильный восьмиугольник: t {4} = {8}   знак равно   |  Усеченный куб t {4,3} или  |  Усеченные кубические соты t {4,3,4} или |
В геометрии , усечение операция в любом измерении, порезы многогранника вершины, создавая новую грань в месте каждой вершины. Термин происходит от названий Кеплера для архимедовых тел .
Равномерное усечение [ править ]
В общем, любой многогранник (или многогранник) также может быть усечен со степенью свободы относительно глубины разреза, как показано в операции усечения нотации многогранника Конвея .
Особый вид усечения, обычно подразумеваемый, - это равномерное усечение , оператор усечения, применяемый к правильному многограннику (или правильному многограннику ), который создает результирующий однородный многогранник ( однородный многогранник ) с равной длиной ребер. Нет степеней свободы, и он представляет собой фиксированную геометрическую форму, как и правильные многогранники.
В общем, все однокольцевые однородные многогранники имеют равномерное усечение. Например, икосододекаэдр , представленный как символы Шлефли r {5,3} или , и диаграмма Кокстера-Дынкина 
или же 
имеет равномерное усечение, усеченный икосододекаэдр , представленный как tr {5,3} или ,
. На диаграмме Кокстера-Дынкина эффект усечения состоит в том, чтобы прозвонить все узлы, смежные с кольцевым узлом.
Равномерное усечение, выполняемое на правильном треугольном замощении {3,6}, приводит к правильному шестиугольному замощению {6,3}.
Усечение полигонов [ править ]
У усеченного n-стороннего многоугольника будет 2n сторон (ребер). Равномерно усеченный правильный многоугольник станет другим правильным многоугольником: t {n} равно {2n}. Полное усечение (или исправление ) r {3} - это еще один правильный многоугольник в его двойственном положении.
Правильный многоугольник также может быть представлен его диаграммой Кокстера-Дынкина ,
, и его равномерное усечение , и его полное усечение . Графикпредставляет группу Кокстера I 2 (n), где каждый узел представляет зеркало, а край представляет угол π / n между зеркалами, а кружок дается вокруг одного или обоих зеркал, чтобы показать, какие из них активны.
 {3} |  |  t {3} = {6} |  |  г {3} = {3} |
Звездные многоугольники также могут быть усечены. Усеченная пентаграмма {5/2} будет выглядеть как пятиугольник , но на самом деле представляет собой дважды покрытый (вырожденный) десятиугольник ({10/2}) с двумя наборами перекрывающихся вершин и ребер. Усеченная большая гептаграмма {7/3} дает тетрадекаграмму {14/3}.
Равномерное усечение в правильных многогранниках и мозаиках и выше [ править ]
Когда «усечение» применяется к платоновым телам или правильным мозаикам , обычно подразумевается «равномерное усечение», что означает усечение до тех пор, пока исходные грани не станут правильными многоугольниками с вдвое большим количеством сторон, чем исходная форма.
Эта последовательность показывает пример усечения куба с использованием четырех шагов непрерывного процесса усечения между полным кубом и исправленным кубом. Последний многогранник - это кубооктаэдр . Среднее изображение - однородный усеченный куб ; он представлен символом Шлефли t { p , q , ...}.
Bitruncation более глубокое усечение, удаляя все оригинальные края, но оставляя внутреннюю часть оригинальных граней. Пример: усеченный октаэдр - это усеченный битом куб: t {3,4} = 2t {4,3}.
Полное усечение битов, называемое биректификацией , сводит исходные лица к точкам. Для многогранников это становится двойственным многогранником . Пример: октаэдр - это двунаправленная диаграмма куба : {3,4} = 2r {4,3}.
Другой тип усечения, cantellation , обрезает ребра и вершины, удаляя исходные ребра, заменяя их прямоугольниками, удаляя исходные вершины и заменяя их гранями двойственных исходных правильных многогранников или мозаики.
Многогранники более высокой размерности имеют более высокие усечения. Runcination вырезает грани, ребра и вершины. В пяти измерениях стерилизация разрезает клетки, грани и края.
Обрезка края [ править ]
Обрезка кромок - это снятие фаски или фаски для многогранников, похожее на кантелевидение, но с сохранением исходных вершин и заменой ребер шестиугольниками. В 4-многогранниках усечение ребер заменяет ребра удлиненными ячейками бипирамиды .
Чередование или частичное усечение [ править ]
При чередовании или частичном усечении удаляются только некоторые исходные вершины.
При частичном усечении или чередовании половина вершин и соединительные ребра полностью удаляются. Операция применима только к многогранникам с четными гранями. Количество граней уменьшается вдвое, а квадратные грани превращаются в ребра. Например, тетраэдр - это чередующийся куб h {4,3}.
Уменьшение - это более общий термин, используемый в отношении тел Джонсона для удаления одной или нескольких вершин, ребер или граней многогранника без нарушения других вершин. Например, трижды уменьшенный икосаэдр начинается с правильного икосаэдра с удаленными 3 вершинами.
Другие частичные усечения основаны на симметрии; например, тетраэдрически уменьшенный додекаэдр .
Обобщенные усечения [ править ]
Процесс линейного усечения можно обобщить, допустив параметрические усечения, которые являются отрицательными или которые выходят за середину ребер, вызывая самопересекающиеся звездные многогранники и могут параметрически относиться к некоторым правильным звездчатым многоугольникам и однородным звездным многогранникам .
- Неглубокое усечение - длина кромок уменьшается, грани усекаются, чтобы иметь вдвое больше сторон, при этом формируются новые грани с центром в старых вершинах.
- Равномерное усечение является частным случаем этого с равными длинами кромок. Усеченный куб , т {4,3}, с квадратными лицами становятся восьмиугольниками, с новыми треугольными гранями являются вершинами.
- Antitruncation Обратное неглубокое усечение , усеченное наружу от исходных краев, а не внутрь. Это приводит к многограннику, который выглядит как оригинал, но имеет части двойного, свисающие с его углов, вместо двойного врезания в его собственные углы.
- Полное усечение или исправление - предел неглубокого усечения, когда края сокращаются до точек. Кубооктаэдр , г {4,3}, является примером.
- Hypertruncation Форма усечения, которая выходит за рамки исправления, инвертирует исходные края и вызывает появление самопересечений.
- Quasitruncation Форма усечения, которая идет даже дальше, чем гипертрубка, когда перевернутая кромка становится длиннее, чем исходная кромка. Его можно сгенерировать из исходного многогранника, рассматривая все грани как ретроградные, то есть огибая вершину назад. Например, квазиусечение квадрата дает правильную октаграмму (t {4,3} = {8/3}), а квазиусечение куба дает однородный звездчатый усеченный шестигранник t {4 / 3,3}.
Типы усечения на квадрате, {4}, показывающие красные исходные края и новые усеченные края голубым цветом. Равномерно усеченный квадрат - это правильный восьмиугольник, t {4} = {8}. Полный усеченный квадрат становится новым квадратом с диагональной ориентацией. Вершины располагаются в порядке обхода против часовой стрелки, 1-4, с усеченными парами вершин как a и b . |
⇨ т а С | Куб {4,3} C | ⇨ tC | Усечение t {4,3} tC | ⇨ tC | Полное усечение r {4,3} aC | ⇩ т ч C |
Защита от усечения t a C | Гипертрофия t h C | |||||
⇧ т а С | Полное квазиусечение a q C | ⇦ | Квазиусечение t {4 / 3,3} t q C | ⇦ t q C | Полное гипертрофирование a h C | ⇦ т ч C |
См. Также [ править ]
- Равномерный многогранник
- Равномерный 4-многогранник
- Bitruncation (геометрия)
- Ректификация (геометрия)
- Чередование (геометрия)
- Обозначения многогранника Конвея
Ссылки [ править ]
- Coxeter, HSM Regular Polytopes , (3-е издание, 1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8 (стр. 145–154 Глава 8: Усечение)
- Единообразные многогранники Нормана Джонсона , рукопись (1991)
- Н. В. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
Внешние ссылки [ править ]
- Вайсштейн, Эрик В. «Усечение» . MathWorld .
- Ольшевский, Георгий. «Усечение» . Глоссарий по гиперпространству . Архивировано из оригинала 4 февраля 2007 года.
- Имена многогранников, усечение
| Семя | Усечение | Исправление | Bitruncation | Двойной | Расширение | Омнитуркация | Чередования | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
    | | | | | | |  | | |
| т 0 {p, q} {p, q} | t 01 {p, q} t {p, q} | т 1 {p, q} r {p, q} | t 12 {p, q} 2t {p, q} | t 2 {p, q} 2r {p, q} | t 02 {p, q} rr {p, q} | t 012 {p, q} tr {p, q} | ht 0 {p, q} h {q, p} | ht 12 {p, q} s {q, p} | ht 012 {p, q} sr {p, q} |
