Усеченный икосододекаэдр

Усеченный икосододекаэдр
(Нажмите здесь, чтобы повернуть модель)
Тип	Архимедово твердое тело Однородный многогранник
Элементы	F = 62, E = 180, V = 120 (χ = 2)
Лица по сторонам	30 {4} +20 {6} +12 {10}
Обозначение Конвея	bD или taD
Символы Шлефли	tr {5,3} или ${\ displaystyle t {\ begin {Bmatrix} 5 \\ 3 \ end {Bmatrix}}}$
	т 0,1,2 {5,3}
Символ Wythoff	2 3 5 |
Диаграмма Кокстера
Группа симметрии	I h , H 3 , [5,3], (* 532), заказ 120
Группа вращения	I , [5,3] + , (532), порядок 60
Двугранный угол	6-10: 142,62 ° 4-10: 148,28 ° 4-6: 159,095 °
Рекомендации	U 28 , C 31 , W 16
Характеристики	Полуправильный выпуклый зоноэдр
Цветные лица	4.6.10 ( Вершина )
Триаконтаэдр Дисдякиса ( двойственный многогранник )	Сеть

В геометрии , то усеченная икосододекаэдр является архимедовой твердым веществом , один из тринадцати выпуклых изогонального nonprismatic твердых веществ , построенных двух или более типов правильных многоугольника граней .

У него 62 грани: 30 квадратов , 20 правильных шестиугольников и 12 правильных десятиугольников . У него больше всего ребер и вершин среди всех Платоновых и Архимедовых тел, хотя у курносого додекаэдра больше граней. Из всех вершинно-транзитивных многогранников он занимает наибольший процент (89,80%) от объема сферы, в которую он вписан, очень узко опережая курносый додекаэдр (89,63%) и Малый ромбикосододекаэдр (89,23%), и менее узко опережая его. Усеченный икосаэдр(86,74%); он также имеет наибольший объем (206,8 кубических единиц), когда длина его ребра равна 1. Из всех вершинно-транзитивных многогранников, не являющихся призмами или антипризмами, он имеет наибольшую сумму углов (90 + 120 + 144 = 354 градуса). в каждой вершине; только призма или антипризма с более чем 60 сторонами будет иметь большую сумму. Так как каждый из его граней имеет точечную симметрию ( что эквивалентно, 180 ° вращения симметрии), усеченный икосододекаэдр является зоноэдром .

Имена [ править ]

Название большой ромбикосододекаэдр относится к родству с (малым) ромбикосододекаэдром (сравните раздел Диссекция ).
Существует невыпуклый однородный многогранник с похожим названием невыпуклый большой ромбикосододекаэдр .

Площадь и объем [ править ]

Площадь поверхности A и объем V усеченного икосододекаэдра с длиной ребра a равны: ^{[ необходима цитата ]}

${\ displaystyle {\ begin {align} A & = 30 \ left (1 + {\ sqrt {3}} + {\ sqrt {5 + 2 {\ sqrt {5}}}} \ right) a ^ {2} && \ приблизительно 174.292 \, 0303a ^ {2}. \\ V & = \ left (95 + 50 {\ sqrt {5}} \ right) a ^ {3} && \ приблизительно 206.803 \, 399a ^ {3}. \ end {выровнено}}}$

Если бы набор всех 13 архимедовых тел был построен с равной длиной ребер, усеченный икосододекаэдр был бы самым большим.

Декартовы координаты [ править ]

Декартовы координаты вершин усеченного икосододекаэдра с длиной ребра 2 φ  - 2 с центром в начале координат представляют собой все четные перестановки : ^[4]

(±1/φ, ±1/φ, ± (3 +  φ )),

(±2/φ, ± φ , ± (1 + 2 φ )),

(±1/φ, ± φ ² , ± (−1 + 3 φ )),

(± (2 φ  - 1), ± 2, ± (2 +  φ )) и

(± φ , ± 3, ± 2 φ ),

где φ  = 1 + √ 5/2это золотое сечение .

Рассечение [ править ]

Усечен икосододекаэдром является выпуклой оболочкой из ромбоикосододекаэдра с кубоидами выше его 30 квадратов, у которых отношение высоты к базовому является φ . Остальное пространство можно разделить на неоднородные купола, а именно 12 между внутренними пятиугольниками и внешними декагонами и 20 между внутренними треугольниками и внешними шестиугольниками .

Альтернативное рассечение также имеет ромбикосододекаэдрическое ядро. Он имеет 12 пятиугольных ротондов между внутренними пятиугольниками и внешними декагонами. Оставшаяся часть - тороидальный многогранник .

Ортогональные проекции [ править ]

Усеченный икосододекаэдр имеет семь специальных ортогональных проекций с центром в вершине, на трех типах ребер и трех типах граней: квадратной, шестиугольной и десятиугольной. Последние два соответствуют плоскостям Кокстера А ₂ и Н ₂ .

Сферические мозаики и диаграммы Шлегеля [ править ]

Усеченный икосододекаэдр также можно представить в виде сферической мозаики и спроецировать на плоскость через стереографическую проекцию . Эта проекция является конформной , сохраняя углы, но не площади или длины. Прямые на сфере проецируются как дуги окружности на плоскость.

Диаграммы Шлегеля аналогичны, с перспективной проекцией и прямыми краями.

Геометрические вариации [ править ]

В пределах икосаэдрической симметрии существует неограниченное количество геометрических вариаций усеченного икосододекаэдра с изогональными гранями. Усеченный додекаэдр , ромбоикосододекаэдр и усеченный икосаэдр , как вырожденные предельные случаи.

Усеченный икосододекаэдрический граф [ править ]

В математической области теории графов , A усеченного icosidodecahedral графы (или большие rhombicosidodecahedral графики ) являются графиком вершин и ребер усеченного икосододекаэдра, один из Архимеда твердых веществ . Он имеет 120 вершин и ребра 180, и является нулевым симметричным и кубическим архимедовым графом . ^[5]

Связанные многогранники и мозаики [ править ]

Семейство однородных икосаэдрических многогранников
Симметрия : [5,3] , (* 532)							[5,3] + , (532)
{5,3}	т {5,3}	г {5,3}	т {3,5}	{3,5}	рр {5,3}	tr {5,3}	ср {5,3}
Двойники к однородным многогранникам
V5.5.5	V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6	V3.3.3.3.3	V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.3.5

Этот многогранник можно рассматривать как член последовательности однородных узоров с фигурой вершины (4.6.2 p ) и диаграммой Кокстера-Дынкина . При p  <6 членами последовательности являются все усеченные многогранники ( зоноэдры ), показанные ниже в виде сферических мозаик. При p  > 6 они представляют собой мозаики гиперболической плоскости, начиная с усеченного тригептагонального мозаичного покрытия .

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Веннингер, Магнус (1974), Модели многогранников , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-09859-5, Руководство по ремонту  0467493
• Кромвель, П. (1997). Многогранники . Великобритания: Кембридж. С. 79–86 Архимедовы тела . ISBN 0-521-55432-2.
• Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: первоисточник дизайна . ISBN Dover Publications, Inc. 0-486-23729-X.
• Cromwell, P .; Многогранники , CUP hbk (1997), pbk. (1999).
• Эрик В. Вайсштейн , Большой ромбикосододекаэдр ( архимедово твердое тело ) в MathWorld .
• Клитцинг, Ричард. «3D выпуклые равномерные многогранники x3x5x - сетка» .

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. "Большой ромбикосододекаэдр" . MathWorld .
• * Вайсштейн, Эрик В. «Большой ромбикосододекаэдрический граф» . MathWorld .
• Редактируемая печатная сетка усеченного икосододекаэдра с интерактивным трехмерным изображением
• Равномерные многогранники
• Многогранники виртуальной реальности Энциклопедия многогранников