Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Сеть правильного додекаэдра
Одиннадцать сетей куба

В геометрии , А сетка из многогранника является расположением неперекрывающихся краев, присоединенных к многоугольникам в плоскости , которые могут быть сложены (по краям) , чтобы стать гранями многогранника. Полиэдрические сети являются полезным подспорьем при изучении многогранников и твердотельной геометрии в целом, поскольку они позволяют строить физические модели многогранников из такого материала, как тонкий картон. [1]

Ранний пример многогранных сетей появляется в работах Альбрехта Дюрера , чья книга 1525 года «Курс искусства измерения с компасом и линейкой» ( Unterweysung der Messung mit dem Zyrkel und Rychtscheyd ) включала сети для Платоновых тел и некоторых из Архимедовых тел. . [2] Эти конструкции были впервые названы сетями в 1543 году Августином Хиршфогелем . [3]

Существование и уникальность [ править ]

Для данного многогранника может существовать множество различных сетей, в зависимости от того, какие ребра соединяются, а какие разделяются. Ребра, вырезанные из выпуклого многогранника для образования сети, должны образовывать остовное дерево многогранника, но разрезание некоторых остовных деревьев может привести к самоперекрытию многогранника в развернутом виде, а не в виде сети. [4] И наоборот, данная сеть может складываться более чем в один выпуклый многогранник, в зависимости от углов, под которыми складываются ее края, и от выбора ребер для склеивания. [5] Если сеть задана вместе с шаблоном для склеивания ее краев, каждая вершина получившейся формы имеет положительный угловой дефект и сумма этих дефектов равна ровно 4π , то обязательно найдется ровно один многогранник, который можно сложить из него; это теорема единственности Александрова . Однако сформированный таким образом многогранник может иметь разные грани, чем те, что указаны как часть сети: некоторые из многоугольников сети могут иметь сгибы поперек них, а некоторые ребра между многоугольниками сети могут оставаться развернутыми. Кроме того, одна и та же сетка может иметь несколько допустимых рисунков склейки, что приводит к разным сложенным многогранникам. [6]

Нерешенная задача по математике :

У каждого выпуклого многогранника есть простое развертывание ребра?

(больше нерешенных задач по математике)

В 1975 году Г.К. Шепард спросил, имеет ли каждый выпуклый многогранник хотя бы одну сетку или простую развёртку по ребрам. [7] Этот вопрос, который также известен как Дюрера гипотезы «s, или разворачивания проблемы Дюрера, остается без ответа. [8] [9] [10] Существуют невыпуклые многогранники, не имеющие сетей, и можно подразделить грани каждого выпуклого многогранника (например, вдоль геометрического места разрезов ) так, чтобы множество подразделенных граней имело сеть. [4] В 2014 году Мохаммад Гоми показал, что каждый выпуклый многогранник допускает сеть после аффинного преобразования . [11]Кроме того , в 2019 г. Барвинок и Ghomi показали , что обобщение гипотезы Дюрера не выполняется для псевдо ребер , [12] т.е. сеть геодезических, соединяющая вершина многогранника и образует граф с выпуклыми гранями.

Кратчайший путь [ править ]

Кратчайший путь по поверхности между двумя точками на поверхности многогранника соответствует прямой линии на подходящую сеть для подмножества граней тронутых путями. Сеть должна быть такой, чтобы прямая линия полностью проходила внутри нее, и, возможно, придется рассмотреть несколько сетей, чтобы увидеть, какая из них дает кратчайший путь. Например, в случае куба , если точки находятся на смежных гранях, одним из кандидатов на кратчайший путь является путь, пересекающий общее ребро; кратчайший путь такого типа находится с использованием сети, в которой две грани также смежны. Другие кандидаты на кратчайший путь проходят через поверхность третьей грани, смежной с обеими (их две), и соответствующие сети могут использоваться для поиска кратчайшего пути в каждой категории. [13]

Задача о пауке и мухе - это развлекательная математическая головоломка, которая включает в себя поиск кратчайшего пути между двумя точками на кубоиде.

Сети многогранников более высокой размерности [ править ]

Dalí крест , сетка для тессеракта

Сеть 4-многогранника , четырехмерного многогранника , состоит из многогранных ячеек , соединенных своими гранями и занимающих одно и то же трехмерное пространство, точно так же, как грани многоугольника сети многогранника соединены своими гранями. края и все занимают одну плоскость. За вычетом тессеракта , четырехмерного гиперкуба , используется заметно в картине Сальвадора Дали , Распятие (Corpus Hypercubus) (1954). [14] То же самое тессеракт сетка занимает центральное место в сюжете рассказа «-И он построил Crooked House-» от Роберта Хайнлайна . [15]

См. Также [ править ]

  • Бумажная модель
  • Картонная лепка
  • УФ-отображение

Ссылки [ править ]

  1. ^ Веннингер, Магнус Дж. (1971), Модели многогранников , Cambridge University Press
  2. ^ Дюрер, Альбрехт (1525), Unterweysung der Messung mit dem Zyrkel und Rychtscheyd , Нюрнберг, стр. 139–152. Английский перевод с комментариями в Strauss, Walter L. (1977), The Painter's Manual , Нью-Йорк.
  3. Перейти ↑ Friedman, Michael (2018), A History of Folding in Mathematics: Mathematizing the Margins , Science Networks. Исторические исследования, 59 , Birkhäuser, p. 8, DOI : 10.1007 / 978-3-319-72487-4 , ISBN 978-3-319-72486-7
  4. ^ a b Демейн, Эрик Д .; О'Рурк, Джозеф (2007), "Глава 22. Раскладывание ребер многогранников", геометрические алгоритмы складывания: связи, оригами, многогранники , Cambridge University Press, стр. 306–338
  5. ^ Малькевич, Джозеф, «Сети: инструмент для представления многогранников в двух измерениях» , Feature Columns , American Mathematical Society , получено 14 мая 2014 г.
  6. ^ Demaine, Эрик Д .; Демейн, Мартин Л .; Любив, Анна ; О'Рурк, Джозеф (2002), «Перечисление складок и разверток между многоугольниками и многогранниками», Графы и комбинаторика , 18 (1): 93–104, arXiv : cs.CG/0107024 , doi : 10.1007 / s003730200005 , MR 1892436 , S2CID 1489  
  7. ^ Шеппард, GC (1975), "Выпуклые многогранники с выпуклыми сетями", математического Труды Кембриджского философского общества , 78 (3): 389-403, Bibcode : 1975MPCPS..78..389S , DOI : 10,1017 / s0305004100051860 , М.Р. 0390915 
  8. ^ Вайсштейн, Эрик В. , "Гипотеза Шепарда" , MathWorld
  9. ↑ Москович, Д. (4 июня 2012 г.), «Гипотеза Дюрера» , Open Problem Garden
  10. ^ Ghomi, Мохаммад (2018-01-01), "Дюрера Разворачивание задача для выпуклых многогранников", Извещения Американского математического общества , 65 (1): 25-27, DOI : 10,1090 / noti1609
  11. ^ Гоми, Мохаммад (2014), "Аффинные развертывания выпуклых многогранников", Геом. Тополь. , 18 (5): 3055–3090, arXiv : 1305.3231 , Bibcode : 2013arXiv1305.3231G , doi : 10.2140 / gt.2014.18.3055 , S2CID 16827957 
  12. ↑ Барвинок, Николай; Ghomi Мохаммад (2019-04-03), "Псевдо-Край развертки выпуклых многогранников", Дискретная & Вычислительная геометрия , 64 (3): 671-689, Arxiv : +1709,04944 , DOI : 10.1007 / s00454-019-00082-1 , ISSN 0179-5376 , S2CID 37547025  
  13. Перейти ↑ O'Rourke, Joseph (2011), How to Fold It: The Mathematics of Linkages, Origami and Polyhedra , Cambridge University Press, pp. 115–116, ISBN 9781139498548
  14. ^ Кемп, Мартин (1 января 1998), "размеры Дали", Nature , 391 (6662): 27, Bibcode : 1998Natur.391 ... 27К , DOI : 10.1038 / 34063 , S2CID 5317132 
  15. ↑ Хендерсон, Линда Далримпл (ноябрь 2014 г.), «Научная фантастика, искусство и четвертое измерение», у Эммера, Мишель (ред.), Imagine Math 3: Между культурой и математикой , издательство Springer International Publishing, стр. 69–84, DOI : 10.1007 / 978-3-319-01231-5_7

Внешние ссылки [ править ]

  • Вайсштейн, Эрик В. , "Сеть" , MathWorld
  • Вайсштейн, Эрик В. , «Разворачивание» , MathWorld
  • Развертывание регулярных 4d-многогранников
  • Редактируемые многогранные сети для печати с интерактивным 3D-видом
  • Бумажные модели многогранников
  • Распаковать для Blender
  • Разворачивающийся пакет для Mathematica