| Ромбикосододекаэдр | |
|---|---|
 (Нажмите здесь, чтобы повернуть модель) | |
| Тип | Архимедово твердое тело Однородный многогранник |
| Элементы | F = 62, E = 120, V = 60 (χ = 2) |
| Лица по сторонам | 20 {3} +30 {4} +12 {5} |
| Обозначение Конвея | eD или aaD |
| Символы Шлефли | rr {5,3} или |
| т 0,2 {5,3} | |
| Символ Wythoff | 3 5 | 2 |
| Диаграмма Кокстера |     |
| Группа симметрии | I h , H 3 , [5,3], (* 532), заказ 120 |
| Группа вращения | I , [5,3] + , (532), порядок 60 |
| Двугранный угол | 3-4: 159 ° 05′41 ″ (159,09 °) 4-5: 148 ° 16′57 ″ (148,28 °) |
| Рекомендации | U 27 , C 30 , W 14 |
| Характеристики | Полурегулярный выпуклый |
 Цветные лица |  3.4.5.4 ( Вершинная фигура ) |
 Дельтоидальный гексеконтаэдр ( двойственный многогранник ) |  Сеть |
В геометрии , то ромбоикосододекаэдр , является архимедовой твердым веществом , один из тринадцати выпуклых изогонального nonprismatic твердых частиц , построенных из двух или более типов правильных многоугольника граней .
Он имеет 20 правильных треугольных граней, 30 квадратных граней, 12 правильных пятиугольных граней, 60 вершин и 120 ребер .
Имена [ править ]
Иоганн Кеплер в « Harmonices Mundi» (1618) назвал этот многогранник ромбикосододекаэдром , сокращенно от усеченного икосододекаэдрического ромба , причем икосододекаэдрический ромб был его именем для ромбического триаконтаэдра . [1] Существуют различные усечения ромбического триаконтаэдра в топологический ромбикосододекаэдр: в первую очередь его выпрямление (слева), то, которое создает однородное твердое тело (центр), и выпрямление двойного икосододекаэдра (справа), которое является ядром двойное соединение .
Его также можно назвать расширенным или наклонным додекаэдром или икосаэдром из-за операций усечения на любом однородном многограннике .
Размеры [ править ]
Для ромбикосододекаэдра с длиной ребра a его площадь поверхности и объем равны:
Геометрические отношения [ править ]
Если развернуть в икосаэдр , перемещая лицо от происхождения нужного количества, не изменяя ориентацию или размер граней, и сделать то же самое с его двойным додекаэдром и исправляют квадратные отверстия в результате вы получите ромбоикосододекаэдр. Следовательно, он имеет такое же количество треугольников, что и икосаэдр, и такое же количество пятиугольников, как додекаэдр, с квадратом на каждом ребре.
В качестве альтернативы, если вы расширяете каждый из пяти кубов, перемещая грани от начала координат на нужную величину и вращая каждый из пяти на 72 ° вокруг, чтобы они были равноудалены друг от друга, без изменения ориентации или размера граней, и исправляете пятиугольные и треугольные отверстия, в результате получается ромбикосододекаэдр. Следовательно, он имеет такое же количество треугольников, что и икосаэдр, и такое же количество пятиугольников, как додекаэдр, с квадратом на каждом ребре.
Ромбикосододекаэдр разделяет расположение вершин с маленьким звездчатым усеченным додекаэдром и с однородными соединениями шести или двенадцати пентаграммических призм .
В наборах Zometool для изготовления геодезических куполов и других многогранников в качестве соединителей используются шарики с прорезями. Шары представляют собой «расширенные» ромбикосододекаэдры, в которых квадраты заменены прямоугольниками. Расширение выбрано так, чтобы получившиеся прямоугольники были прямоугольниками золотистого цвета .
Двенадцать из 92 твердых частиц Джонсона являются производными от ромбоикосододекаэдра, четыре из них путем поворота одного или более пятиугольной cupolae : в вращаться , parabigyrate , metabigyrate , и trigyrate ромбоикосододекаэдр . Еще восемь можно построить, удалив до трех куполов, иногда также вращая один или несколько других куполов.
Декартовы координаты [ править ]
Все декартовы координаты вершин ромбикосододекаэдра с длиной ребра 2 с центром в начале координат являются четными перестановками : [2]
- (± 1, ± 1, ± φ 3 ),
- (± φ 2 , ± φ , ± 2 φ ),
- (± (2+ φ ), 0, ± φ 2 ),
где φ = 1 + √ 5/2это золотое сечение . Следовательно, описанный радиус этого ромбикосододекаэдра равен общему расстоянию этих точек от начала координат, а именно √ φ 6 +2 = √ 8φ + 7 для длины ребра 2. Для единичной длины ребра R необходимо уменьшить вдвое, что дает
- R =√ 8 φ +7/2 знак равно √ 11 + 4 √ 5/2 ≈ 2,233.
Ортогональные проекции [ править ]
Ромбоикосододекаэдр имеет шесть специальных ортогональных проекций , по центру, на вершине, на двух типов ребер и трех типов граней: треугольники, квадраты и пятиугольники. Последние два соответствуют плоскостям Кокстера А 2 и Н 2 .
| В центре | Вершина | Край 3-4 | Край 5-4 | Лицо Квадрат | Лицо Треугольник | Лицо Пентагона |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Твердый | ||||||
| Каркас | ||||||
| Проективная симметрия | [2] | [2] | [2] | [2] | [6] | [10] |
| Двойное изображение |
Сферическая мозаика [ править ]
Ромбикосододекаэдр также можно представить в виде сферической мозаики и спроецировать на плоскость через стереографическую проекцию . Эта проекция является конформной , сохраняя углы, но не площади или длины. Прямые на сфере проецируются как дуги окружности на плоскость.
В центре Пентагона | Треугольник по центру | По центру квадрата | |
| Ортографическая проекция | Стереографические проекции | ||
|---|---|---|---|
Связанные многогранники [ править ]
| Семейство однородных икосаэдрических многогранников | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Симметрия : [5,3] , (* 532) | [5,3] + , (532) | ||||||
| | | | | | |  |
| {5,3} | т {5,3} | г {5,3} | т {3,5} | {3,5} | рр {5,3} | tr {5,3} | ср {5,3} |
| Двойники к однородным многогранникам | |||||||
| V5.5.5 | V3.10.10 | V3.5.3.5 | V5.6.6 | V3.3.3.3.3 | V3.4.5.4 | V4.6.10 | V3.3.3.3.5 |
Мутации симметрии [ править ]
Этот многогранник топологически связан как часть последовательности скошенных многогранников с фигурой вершины (3.4.n.4), которая продолжается как мозаики гиперболической плоскости . Эти вершинно-транзитивные фигуры обладают (* n32) отражательной симметрией .
| * n 32 изменение симметрии расширенных мозаик: 3.4. п. 4 | ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Симметрия * n 32 [n, 3] | Сферический | Евклид. | Компактная гипербола. | Paracomp. | ||||
| * 232 [2,3] | * 332 [3,3] | * 432 [4,3] | * 532 [5,3] | * 632 [6,3] | * 732 [7,3] | * 832 [8,3] ... | * ∞32 [∞, 3] | |
| Фигура | ||||||||
| Конфиг. | 3.4.2.4 | 3.4.3.4 | 3.4.4.4 | 3.4.5.4 | 3.4.6.4 | 3.4.7.4 | 3.4.8.4 | 3.4.∞.4 |
Твердые тела Джонсона [ править ]
Есть 13 связанных тел Джонсона , 5 - по убыванию и 8 - включая вращения:
| J5 | 76 | 80 | 81 год | 83 |
| 72 | 73 | 74 | 75 |
| 77 | 78 | 79 | 82 |
Расположение вершин [ править ]
Ромбоикосододекаэдр акции его вершина расположение с тремя невынуклыми равномерными многогранниками : малые звездчатый усеченным додекаэдром , то небольшое dodecicosidodecahedron (имеющий треугольные и пятиугольные грани общее , ), а также небольшие rhombidodecahedron (имеющих квадратные лица объединяют).
Он также разделяет его расположение вершин с однородными соединениями из шести или двенадцати pentagrammic призм .
Ромбикосододекаэдр | Малый додецикосододекаэдр | Малый ромбидодекаэдр |
Малый звездчатый усеченный додекаэдр | Соединение шести пентаграммических призм | Соединение двенадцати пентаграммических призм |
Ромбикосододекаэдрический граф [ править ]
| Ромбикосододекаэдрический граф | |
|---|---|
Диаграмма Шлегеля в центре Пентагона | |
| Вершины | 60 |
| Края | 120 |
| Автоморфизмы | 120 |
| Характеристики | Граф четвертого порядка , гамильтониан , регулярный |
| Таблица графиков и параметров | |
В математической области теории графов , A rhombicosidodecahedral график является графиком вершин и ребер из ромбоикосододекаэдра, один из Архимеда твердых веществ . Он имеет 60 вершин и 120 ребер и является архимедовым графом квартики . [4]
См. Также [ править ]
- Усеченный ромбикосододекаэдр
Заметки [ править ]
- ^ Harmonies Of The World Иоганна Кеплера, Перевод на английский язык с введением и примечаниями EJ Aiton , AM Duncan , "JV Field , 1997, ISBN 0-87169-209-0 (стр. 123)
- ^ Вайсштейн, Эрик В. "Икосаэдрическая группа" . MathWorld .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. "Зоме" . MathWorld .
- ^ Читать, RC; Уилсон, Р.Дж. (1998), Атлас графиков , Oxford University Press , стр. 269
Ссылки [ править ]
- Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: первоисточник дизайна . ISBN Dover Publications, Inc. 0-486-23729-X. (Раздел 3-9)
- Кромвель, П. (1997). Многогранники . Великобритания: Кембридж. С. 79–86 Архимедовы тела . ISBN 0-521-55432-2.
- Теория Большого Взрыва серии 8 Эпизод 2 - Младший профессор Решение : особенности этого твердого вещества в ответ на викторину экспромтом науки основные четыре символа есть в квартире Леонард и Шелдона, а также показан в Чак Лорри «s Косметическое Card # 461 на конец этого эпизода.
Внешние ссылки [ править ]
- Эрик В. Вайсштейн , Малый ромбикосододекаэдр ( архимедово твердое тело ) в MathWorld .
- Вайсштейн, Эрик В. "Малый ромбикосододекаэдр граф" . MathWorld .
- Клитцинг, Ричард. "Трехмерные выпуклые равномерные многогранники x3o5x - srid" .
- Редактируемая сетка для печати ромбикосододекаэдра с интерактивным трехмерным изображением
- Равномерные многогранники
- Многогранники виртуальной реальности Энциклопедия многогранников
