Декагон

Ведущий раздел этой статьи может быть слишком коротким, чтобы адекватно резюмировать ее ключевые моменты . Пожалуйста, рассмотрите возможность расширения лид, чтобы предоставить доступный обзор всех важных аспектов статьи. ( Май 2019 г. )

Обычный десятиугольник
Обычный десятиугольник
Тип	Правильный многоугольник
Ребра и вершины	10
Символ Шлефли	{10}, т {5}
Диаграмма Кокстера
Группа симметрии	Двугранный (D 10 ), порядок 2 × 10
Внутренний угол ( градусы )	144 °
Двойной многоугольник	Себя
Характеристики	Выпуклый , циклический , равносторонний , изогональный , изотоксальный

В геометрии десятиугольник (от греч. Δέκα déka и γωνία gonía, «десять углов») представляет собой десятиугольный многоугольник или 10-угольник. ^[1] Общая сумма внутренних углов одного простого десятиугольника 1440 °.

Самопересекающийся регулярно десятиугольник известен как декаграмм .

Обычный десятиугольник [ править ]

У правильного десятиугольника все стороны равны, и каждый внутренний угол всегда равен 144 °. ^[1] Его символ Шлефли - {10} ^[2], и его также можно построить как усеченный пятиугольник , t {5}, квазирегулярный десятиугольник, чередующийся два типа ребер.

Площадь [ править ]

Площадь регулярного десятиугольника боковых длины а определяется по формуле: ^[3]

${\displaystyle A={\frac {5}{2}}a^{2}\cot \left({\frac {\pi }{10}}\right)={\frac {5}{2}}a^{2}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\simeq 7.694208843\,a^{2}}$

Что касается апофемы r (см. Также начертанный рисунок ), площадь равна:

${\displaystyle A=10\tan \left({\frac {\pi }{10}}\right)r^{2}=2r^{2}{\sqrt {5\left(5-2{\sqrt {5}}\right)}}\simeq 3.249196962\,r^{2}}$

С точки зрения радиуса описанной окружности R , площадь равна:

${\displaystyle A=5\sin \left({\frac {\pi }{5}}\right)R^{2}={\frac {5}{2}}R^{2}{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}\simeq 2.938926261\,R^{2}}$

Альтернативная формула: где d - расстояние между параллельными сторонами, или высота, когда десятиугольник стоит на одной стороне в качестве основания, или диаметр вписанного круга десятиугольника . Простой тригонометрия ,${\displaystyle A=2.5da}$

${\displaystyle d=2a\left(\cos {\tfrac {3\pi }{10}}+\cos {\tfrac {\pi }{10}}\right),}$

и алгебраически его можно записать как

${\displaystyle d=a{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}.}$

Стороны [ править ]

У правильного десятиугольника 10 сторон, конец равносторонний . Имеет 20 диагоналей

Строительство [ править ]

В 10 = 2 × 5, А мощность двух раз в Ферма простых , то отсюда следует , что регулярное десятиугольник является построимо с помощью компаса и угольник , или с помощью edge- бисекции регулярного пятиугольника . ^[4]

Альтернативный (но похожий) метод выглядит следующим образом:

1. Постройте пятиугольник в круге одним из способов, показанных при построении пятиугольника .
2. Протяните линию от каждой вершины пятиугольника через центр круга до противоположной стороны того же круга. Где каждая линия пересекает круг, это вершина десятиугольника.
3. Пять углов пятиугольника составляют альтернативные углы десятиугольника. Соедините эти точки с соседними новыми точками, чтобы сформировать десятиугольник.

Невыпуклый правильный десятиугольник [ править ]

Длина отношение двух неравны краев золотого треугольника является золотым сечением , обозначаются или его мультипликативным обратный :${\displaystyle {\text{by }}\Phi {\text{,}}}$

${\displaystyle \Phi -1={\frac {1}{\Phi }}=2\,\cos 72\,^{\circ }={\frac {1}{\,2\,\cos 36\,^{\circ }}}={\frac {\,{\sqrt {5}}-1\,}{2}}{\text{.}}}$

Таким образом, мы можем получить свойства правильной десятиугольной звезды через мозаику из золотых треугольников, заполняющих этот звездный многоугольник .

Золотое сечение в десятиугольнике [ править ]

Как в конструкции с заданной описанной окружностью ^[5], так и с заданной длиной стороны, определяющим элементом конструкции является золотое сечение, делящее отрезок прямой на внешнее деление .

• В конструкции с описанной окружностью дуга окружности вокруг G с радиусом GE ₃ дает отрезок AH , деление которого соответствует золотому сечению.

${\displaystyle {\frac {\overline {AM}}{\overline {MH}}}={\frac {\overline {AH}}{\overline {AM}}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \approx 1.618{\text{.}}}$

• В конструкции с заданной длиной стороны ^[6] дуга окружности вокруг D с радиусом DA дает отрезок E ₁₀ F , деление которого соответствует золотому сечению .

${\displaystyle {\frac {\overline {E_{1}E_{10}}}{\overline {E_{1}F}}}={\frac {\overline {E_{10}F}}{\overline {E_{1}E_{10}}}}={\frac {R}{a}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \approx 1.618{\text{.}}}$

Симметрия [ править ]

Регулярно десятиугольник имеет DIH 10 симметрии , порядка 20. Есть 3 подгруппа диэдра симметрии: DIH ₅ , DIH ₂ и DIH ₁ и 4 циклической группы симметрии: Z ₁₀ , Z ₅ , Z ₂ и Z ₁ .

Эти 8 симметрий можно увидеть в 10 различных симметриях на десятиугольнике, большее число, потому что линии отражения могут проходить либо через вершины, либо через ребра. Джон Конвей помечает их буквой и групповым порядком. ^[7] Полная симметрия регулярной формы равна r20, а симметрия не помечена как a1 . Двугранные симметрии разделяются в зависимости от того, проходят ли они через вершины ( d для диагонали) или ребра ( p для перпендикуляров), и i, когда линии отражения проходят через оба ребра и вершины. Циклические симметрии в среднем столбце обозначены буквой g для их центральных порядков вращения.

Симметрия каждой подгруппы допускает одну или несколько степеней свободы для неправильных форм. Только подгруппа g10 не имеет степеней свободы, но ее можно рассматривать как направленные ребра .

Неправильные декагоны наивысшей симметрии - это d10 , изогональный декагон, состоящий из пяти зеркал, которые могут чередовать длинные и короткие края, и p10 , изотоксический декагон, построенный с равной длиной ребер, но вершинами, чередующимися с двумя разными внутренними углами. Эти две формы двойственны друг другу и имеют половину порядка симметрии правильного десятиугольника.

Рассечение [ править ]

Кокстеровские гласит , что каждый зоногон (2 м -угольник которого противоположные стороны параллельны и равны по длине) можно разрезать на м ( м -1) / 2 параллелограммов. ^[8] В частности, это верно для правильных многоугольников с равным числом сторон, и в этом случае все параллелограммы являются ромбами. Для регулярного десятиугольника , м = 5, и он может быть разделен на 10 ромбов, с примерами , представленных ниже. Это разложение можно увидеть как 10 из 80 граней в плоскости проекции многоугольника Петри 5-куба . В основе рассечения 10 из 30 граней ромбического триаконтаэдра . Список OEIS:  A006245 определяет количество решений как 62, с 2 ориентациями для первой симметричной формы и 10 ориентациями для остальных 6.

Skew decagon [ править ]

Перекос декагон является перекос многоугольник с 10 вершинами и ребрами , но не существующие на одной и той же плоскости. Внутренняя часть такого десятиугольника обычно не определяется. Перекос зигзагообразный десятиугольник имеет вершины чередующихся между двумя параллельными плоскостями.

Регулярная перекос десятиугольник является вершиной-симметрический с равными длинами ребер. В 3-х измерениях это будет зигзагообразный скошенный десятиугольник, и его можно будет увидеть в вершинах и боковых гранях пятиугольной антипризмы , пентаграммической антипризмы и пентаграмматической скрещенной антипризмы с той же симметрией D _5d , [2 ⁺ , 10] заказ 20.

Их также можно увидеть в этих четырех выпуклых многогранниках с икосаэдрической симметрией . Многоугольники по периметру этих выступов представляют собой правильные косые декагоны.

Полигоны Петри [ править ]

Регулярно перекос десятиугольник является Петри полигона для многих Многомерные многогранников, как показан на этих ортогональных проекциях в различных плоскостях кокстеровских : ^[9] число сторон в многоугольнике Петри равно число Кокстера , ч , для каждой семьи симметрии.

См. Также [ править ]

• Десятиугольное число и центрированное десятиугольное число , фигурные числа, смоделированные на десятиугольнике
• Декаграмма , звездообразный многоугольник с тем же положением вершин, что и правильный десятиугольник.

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Декагон» . MathWorld .
• Определение и свойства десятиугольника с интерактивной анимацией