В геометрии , A многогранник (например, многоугольник или многогранник ), или плиточный , является isotoxal или края транзитивны , если его симметрия действует транзитивно по его краям. Неформально это означает, что у объекта есть только один тип ребра: при наличии двух ребер происходит перемещение, вращение и / или отражение, которые перемещают один край к другому, оставляя область, занятую объектом, неизменной.
Термин « изотоксал» происходит от греческого τοξον, означающего дугу .
Изотоксальные полигоны [ править ]
Изотоксальный многоугольник - это четный равносторонний многоугольник , но не все равносторонние многоугольники изотоксальны. В двойственных из isotoxal полигонов изогональных многоугольники . 4 n -угольники центрально-симметричны, как и зоногоны .
В общем, изотоксальный 2 n -угольник будет иметь двугранную симметрию D n (* nn ) . Ромб является isotoxal многоугольник с D 2 (* 22) симметрии. Все правильные многоугольники ( равносторонний треугольник , квадрат и т. Д.) Изотоксальны, имеют двойной минимальный порядок симметрии: правильный n -угольник имеет диэдральную симметрию D n (* nn ).
Изотоксальный 2 n -угольник можно обозначить как {n α } с самым внешним внутренним углом α. Второй внутренний угол β может быть больше или меньше 180 градусов, образуя выпуклые или вогнутые многоугольники. Звездчатые многоугольники также могут быть изотоксальными, обозначенными как {( n / q ) α }, с q < n -1 и НОД ( n , q ) = 1, где q - число поворота или плотность . [1] Вогнутые внутренние вершины могут быть определены при q < n / 2. Если есть наибольший общий делитель, например, {( па / QA ) α } может быть уменьшена как соединение с {( п / д ) & alpha ; }, с скопирована повернуты.
Набор однородных мозаик можно определить с помощью изотоксальных многоугольников как нижний тип правильных граней.
| Боковые (2 л ) | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| {n α } Выпуклая β <180 Вогнутая β> 180 |  {2 α } |   {3 α } |   {4 α } |   {5 α } | {6 α } | {7 α } | {8 α } |
| 2-поворотный {( n / 2) α } | - | {(3/2) α } | 2 {2 α } | {(5/2) α } | 2 {3 α } | {(7/2) α } | 2 {4 α } |
| 3-поворотный {( n / 3) α } | - | - | {(4/3) α } | {(5/3) α } | 3 {2 α } | {(7/3) α } | {(8/3) α } |
| 4-поворотный {( n / 4) α } | - | - | - | {(5/4) α } | 2 {(3/2) α } | {(7/4) α } | 4 {2 α } |
| 5 витков {( n / 5) α } | - | - | - | - | {(6/5) α } | {(7/5) α } | {(8/5) α } |
| 6 витков {( n / 6) α } | - | - | - | - | - | {(7/6) α } | 2 {(4/3) α } |
| 7 витков {( n / 7) α } | - | - | - | - | - | - | {(8/7) α } |
Изотоксальные многогранники и мозаики [ править ]
Правильные многогранники изоэдральны (транзитивны по граням), изогональны (транзитивны по вершинам) и изотоксальны (транзитивны по ребрам).
Квазирегулярные многогранники, такие как кубооктаэдр и икосододекаэдр , изогональны и изотоксальны, но не равногранны. Их двойники, включая ромбический додекаэдр и ромбический триаконтаэдр , изоэдральны и изотоксальны, но не изогональны.
| Квазирегулярный многогранник | Квазирегулярный двойственный многогранник | Квазирегулярный звездный многогранник | Квазирегулярный двойной звездный многогранник | квазирегулярные плиточные | Квазирегулярные двойной плиточные |
|---|---|---|---|---|---|
Кубооктаэдр является изогональным и isotoxal полиэдра | Ромбический додекаэдр является равногранным и isotoxal полиэдра | Большой икосододекаэдр является Изогональной и isotoxal звезды многогранник | Большой ромбические триаконтаэдра является равногранной и isotoxal звезды многогранник | Trihexagonal Черепица является Изогональным и isotoxal плиточной | Rhombille плиточные является равногранным и isotoxal плиточным с p6m (* 632) симметрии. |
Не каждый многогранник или двумерная мозаика, построенная из правильных многоугольников , изотоксальна. Например, усеченный икосаэдр (известный футбольный мяч) не является изотоксальным, поскольку у него есть два типа ребер: шестиугольник-шестиугольник и шестиугольник-пятиугольник, и симметрия твердого тела не может перемещать ребро шестиугольника-шестиугольника на край шестиугольника-пятиугольника.
Изотоксальный многогранник имеет одинаковый двугранный угол для всех ребер.
Двойник выпуклого многогранника также является выпуклым многогранником. [2]
Двойник невыпуклого многогранника также является невыпуклым многогранником. [2] (По контрасту.)
Двойник изотоксального многогранника также является изотоксальным многогранником. (См. Статью Двойной многогранник .)
Существует девять выпуклых изотоксальных многогранников: пять ( правильных ) Платоновых тел , два ( квазирегулярных ) общих ядра двойных Платоновых тел и их два двойственных.
Существует четырнадцать невыпуклых изотоксальных многогранников: четыре (правильных) многогранника Кеплера – Пуансо , два (квазирегулярных) общих ядра двойственных многогранников Кеплера – Пуансо и два их двойных, а также три квазирегулярных дитригональных (3 | p q ) звезды многогранники и три двойных к ним.
Существует по крайней мере пять изотоксальных полиэдрических соединений: пять правильных полиэдрических соединений ; их пять двойников также являются пятью правильными полиэдрическими соединениями (или одним хиральным двойником).
Существует по крайней мере пять изотоксальных многоугольных мозаик евклидовой плоскости и бесконечно много изотоксальных многоугольных мозаик гиперболической плоскости, включая конструкции Уитхоффа из регулярных гиперболических мозаик { p , q } и неправые ( pqr ) группы.
См. Также [ править ]
- Таблица двугранных углов многогранников
- Вершинно-транзитивный
- Лицо-переходный
- Клеточно-транзитивный
Ссылки [ править ]
- ^ Замощения и шаблоны Бранко Gruenbaum, ГХ Шепард, 1987. 2.5 Замощенияиспользованием звездных многоугольников, pp.82-85.
- ^ а б «двойственность» . maths.ac-noumea.nc . Проверено 30 сентября 2020 .
- Питер Р. Кромвель, Многогранники , Издательство Кембриджского университета 1997, ISBN 0-521-55432-2 , стр. 371 Транзитивность
- Грюнбаум, Бранко ; Шепард, GC (1987). Плитки и узоры . Нью-Йорк: WH Freeman. ISBN 0-7167-1193-1. (6.4 Изотоксальные плитки, 309-321)
- Кокстер, Гарольд Скотт Макдональд ; Лонге-Хиггинс, MS; Миллер, JCP (1954), "Равномерные многогранники", Философские труды Лондонского королевского общества. Серия А. физико - математических наук , 246 (916): 401-450, Bibcode : 1954RSPTA.246..401C , DOI : 10.1098 / rsta.1954.0003 , ISSN 0080-4614 , JSTOR 91532 , MR 0062446 , S2CID 202575183
