Восьмиугольник

Правильный восьмиугольник
Правильный восьмиугольник
Тип	Правильный многоугольник
Ребра и вершины	8
Символ Шлефли	{8}, т {4}
Диаграмма Кокстера
Группа симметрии	Двугранный (D 8 ), порядок 2 × 8
Внутренний угол ( градусы )	135 °
Двойной многоугольник	Себя
Характеристики	Выпуклый , циклический , равносторонний , изогональный , изотоксальный

В геометрии , восьмиугольник (от греческого ὀκτάγωνον oktágōnon , «восемь углов») представляет собой восьмигранный многоугольник или 8-угольник.

Регулярный восьмиугольник имеет символ шлефли {8} ^[1] , а также может быть выполнен в виде квазирегулярная усеченный квадрат , т {4}, который чередуется два типа ребер. Усеченный восьмиугольник t {8} представляет собой шестиугольник {16}. Трехмерным аналогом восьмиугольника может быть ромбокубооктаэдр с треугольными гранями на нем, подобными замененным ребрам, если рассматривать восьмиугольник как усеченный квадрат.

Свойства общего восьмиугольника [ править ]

Диагонали зеленого четырехугольника равны по длине и расположены под прямым углом друг к другу.

Сумма всех внутренних углов любого восьмиугольника составляет 1080 °. Как и у всех многоугольников, внешние углы составляют 360 °.

Если все квадраты построены внутри или снаружи на сторонах восьмиугольника, то середины сегментов, соединяющих центры противоположных квадратов, образуют четырехугольник, который является как равдиагональным, так и ортодиагональным (то есть диагонали которого равны по длине и расположены справа). углы друг к другу). ^{[2] : Предложение 9}

Середина восьмиугольник ссылочного восьмиугольника имеет свои восемь вершин на серединах сторон опорного восьмиугольника. Если все квадраты построены внутри или снаружи на сторонах восьмиугольника средней точки, то средние точки сегментов, соединяющих центры противоположных квадратов, сами образуют вершины квадрата. ^{[2] : Предложение 10}

Обычный восьмиугольник [ править ]

Регулярный восьмиугольник закрытая фигура со сторонами одинаковой длины и внутренних углов одного и того же размера. Он имеет восемь линий отражательной симметрии и вращательной симметрии 8-го порядка. Правильный восьмиугольник представлен символом Шлефли {8}. Внутренний угол в каждой вершине правильного восьмиугольника составляет 135 ° ( радиан ). Центральный угол равен 45 ° ( в радианах).${\ displaystyle \ scriptstyle {\ frac {3 \ pi} {4}}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ frac {\ pi} {4}}}$

Площадь [ править ]

Площадь правильного восьмиугольника с длиной стороны a определяется выражением

${\displaystyle A=2\cot {\frac {\pi }{8}}a^{2}=2(1+{\sqrt {2}})a^{2}\simeq 4.828\,a^{2}.}$

С точки зрения радиуса описанной окружности R , площадь равна

${\displaystyle A=4\sin {\frac {\pi }{4}}R^{2}=2{\sqrt {2}}R^{2}\simeq 2.828\,R^{2}.}$

В терминах апофемы r (см. Также начертанный рисунок ) площадь равна

${\displaystyle A=8\tan {\frac {\pi }{8}}r^{2}=8({\sqrt {2}}-1)r^{2}\simeq 3.314\,r^{2}.}$

Эти последние два коэффициента заключают в скобки значение Пи , площадь единичного круга .

Площадь также можно выразить как

${\displaystyle \,\!A=S^{2}-a^{2},}$

где S - размах восьмиугольника или второй по длине диагонали; и длина одной из сторон, или оснований. Это легко проверить, если взять восьмиугольник, нарисовать квадрат снаружи (убедившись, что четыре из восьми сторон перекрываются с четырьмя сторонами квадрата), а затем взять угловые треугольники (это треугольники 45–45–90 ). и помещает их прямыми углами внутрь, образуя квадрат. Края этого квадрата равны длине основания.

Учитывая длину стороны a , промежуток S равен

${\displaystyle S={\frac {a}{\sqrt {2}}}+a+{\frac {a}{\sqrt {2}}}=(1+{\sqrt {2}})a\approx 2.414a.}$

Тогда пролет равен соотношению серебра, умноженному на сторону a.

Тогда область будет такой, как указано выше:

${\displaystyle A=((1+{\sqrt {2}})a)^{2}-a^{2}=2(1+{\sqrt {2}})a^{2}\approx 4.828a^{2}.}$

Выраженная в размахе, площадь равна

${\displaystyle A=2({\sqrt {2}}-1)S^{2}\approx 0.828S^{2}.}$

Еще одна простая формула для площади:

${\displaystyle \ A=2aS.}$

Чаще известен пролет S , а длина сторон a должна быть определена, как при разрезании квадратного куска материала на правильный восьмиугольник. Из вышеизложенного

${\displaystyle a\approx S/2.414.}$

Две конечные длины e с каждой стороны (длины сторон треугольников (зеленые на изображении), усеченные из квадрата), а также be могут быть рассчитаны как${\displaystyle e=a/{\sqrt {2}},}$

${\displaystyle \,\!e=(S-a)/2.}$

Circumradius и inradius [ править ]

Описанной окружности от правильного восьмиугольника с точки зрения длиной стороны а является ^[3]

${\displaystyle R=\left({\frac {\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}{2}}\right)a,}$

и inradius является

${\displaystyle r=\left({\frac {1+{\sqrt {2}}}{2}}\right)a.}$

(это половина отношения серебра, умноженная на сторону, a , или половину размаха, S )

Диагонали [ править ]

С точки зрения длины стороны a правильный восьмиугольник имеет три различных типа диагоналей :

• Короткая диагональ;
• Средняя диагональ (также называемая размахом или высотой), которая в два раза превышает длину внутреннего радиуса;
• Длинная диагональ, которая вдвое превышает длину описанной окружности.

Формула для каждого из них следует из основных принципов геометрии. Вот формулы для их длины: ^{[ необходима цитата ]}

• Короткая диагональ:  ;${\displaystyle a{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}$
• Средняя диагональ:  ; ( отношение серебра, умноженное на а)${\displaystyle (1+{\sqrt {2}})a}$
• Длинная диагональ: .${\displaystyle a{\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}}$

Конструкция и элементарные свойства [ править ]

Правильный восьмиугольник в данной описанной окружности может быть построен следующим образом:

1. Нарисуйте круг и диаметр AOE, где O - центр, а A, E - точки на описанной окружности.
2. Нарисуйте ГОК другого диаметра, перпендикулярно AOE.
3. (Попутно заметим, что A, C, E, G - вершины квадрата).
4. Проведите биссектрисы прямых углов GOA и EOG, образуя еще два диаметра HOD и FOB.
5. A, B, C, D, E, F, G, H - вершины восьмиугольника.

Правильный восьмиугольник можно построить с помощью линейки и циркуля , так как 8 = 2 ³ , степень двойки :

Правильный восьмиугольник может быть построен из брусков из искусственного камня . Требуется двенадцать стержней размера 4, три стержня размера 5 и два стержня размера 6.

Каждая сторона правильного восьмиугольника образует половину прямого угла в центре круга, соединяющего его вершины. Таким образом, его площадь можно вычислить как сумму 8 равнобедренных треугольников, что дает результат:

${\displaystyle {\text{Area}}=2a^{2}({\sqrt {2}}+1)}$

для восьмиугольника стороны а .

Стандартные координаты [ править ]

Координаты вершин правильного восьмиугольника с центром в начале координат и длиной стороны 2:

• (± 1, ± (1+ √ 2 ))
• (± (1+ √ 2 ), ± 1).

Рассечение [ править ]

Кокстеровские гласит , что каждый зоногон (2 м -угольник которого противоположные стороны параллельны и равны по длине) можно разрезать на м ( м -1) / 2 параллелограммов. ^[4] В частности, это верно для правильных многоугольников с равным числом сторон, и в этом случае все параллелограммы являются ромбическими. Для правильного восьмиугольника , м = 4, и она может быть разделена на 6 ромбов, с одним примером , показанным ниже. Это разложение можно увидеть как 6 из 24 граней в плоскости проекции многоугольника Петри тессеракта . Список (последовательность A006245 в OEIS) определяет количество решений как 8 по 8 ориентациям этого разреза. Эти квадраты и ромбы используются в мозаиках Амманна – Бенкера .

Наклонный восьмиугольник [ править ]

Перекос восьмиугольник является косым многоугольником с 8 вершинами и ребрами , но не существует в той же плоскости. Внутренний вид такого восьмиугольника в целом не определен. Перекос зигзаг восьмиугольник имеет вершины чередующихся между двумя параллельными плоскостями.

Регулярная перекос восьмиугольника является вершиной-симметрический с равными длинами ребер. В 3-х измерениях это будет зигзагообразный скошенный восьмиугольник, который можно увидеть в вершинах и боковых гранях квадратной антипризмы с той же симметрией D _4d , [2 ⁺ , 8], порядок 16.

Полигоны Петри [ править ]

Правильный косой восьмиугольник - это многоугольник Петри для этих многомерных регулярных и однородных многогранников , показанных в этих косо- ортогональных проекциях на плоскости Кокстера A ₇ , B ₄ и D ₅ .

Симметрия восьмиугольника [ править ]

Правильный восьмиугольник имеет DIH ₈ симметрии, порядка 16. Есть 3 двугранные подгруппы: DIH ₄ , DIH ₂ и DIH ₁ , и 4 - циклические подгруппы : Z ₈ , Z ₄ , Z ₂ и Z ₁ , последние не подразумевает никакой симметрии .

На правильном восьмиугольнике есть 11 различных симметрий. Джон Конвей обозначает полную симметрию как r16 . ^[5] Двугранные симметрии разделяются в зависимости от того, проходят ли они через вершины ( d для диагонали) или ребра ( p для перпендикуляров). Циклические симметрии в среднем столбце помечены как g для их центральных порядков вращения. Полная симметрия регулярной формы равна r16, а симметрия не помечена как a1 .

Наиболее распространенными восьмиугольниками с высокой симметрией являются p8 , изогональный восьмиугольник, построенный из четырех зеркал, может чередоваться длинные и короткие края, и d8 , изотоксальный восьмиугольник, построенный с равной длиной ребер, но вершинами с чередованием двух разных внутренних углов. Эти две формы двойственны друг другу и имеют половину порядка симметрии правильного восьмиугольника.

Симметрия каждой подгруппы допускает одну или несколько степеней свободы для неправильных форм. Только подгруппа g8 не имеет степеней свободы, но ее можно рассматривать как направленные грани .

Использование восьмиугольников [ править ]

Восьмиугольная форма используется как элемент дизайна в архитектуре. Купол Скалы имеет характерный восьмиугольный план. Башня ветров в Афинах является еще одним примером восьмиугольной структуры. Восьмиугольный план также использовался в церковной архитектуре, такой как собор Святого Георгия, Аддис-Абеба , базилика Сан-Витале (в Равенне, Италия), Кастель-дель-Монте (Апулия, Италия), баптистерий Флоренции , церковь Цум-Фридефюрстен (Германия) и количество восьмиугольных церквей в Норвегии . Центральное пространство Ахенского собора , Палатинская капелла Каролингов., имеет правильную восьмиугольную планировку. Использование восьмиугольника в церквах также включает в себя меньшие элементы дизайна, такие как восьмигранная апсида из Nidaros собора .

Такие архитекторы, как Джон Эндрюс , использовали восьмиугольную планировку этажей в зданиях для функционального отделения офисных помещений от строительных услуг, в частности, штаб-квартиру Intelsat в Вашингтоне, округ Колумбия, офисы Callam в Канберре и офисы Octagon в Парраматте , Австралия.

Другое использование [ править ]

• Зонты часто имеют восьмиугольный контур.

• В знаменитом ковре Бухара использован мотив восьмиугольной «слоновьей ноги».

• Улица и блок макет Барселона «s Эшампль района базируются на нерегулярных восьмиугольниках

• Чанги использует восьмиугольные фигуры.

• Японские лотереи часто имеют восьмиугольную форму.

• Знак "Стоп" используется в англоязычных странах, а также в большинстве европейских стран.

• Значок знака остановки с рукой посередине.

• Триграммы даосского багуа часто располагаются восьмиугольником.

• Знаменитая восьмиугольная золотая чаша с места кораблекрушения Белитунг

• Занятия в Shimer College традиционно проходят за восьмиугольными столами.

• Labyrinth собора в Реймсе с квази-восьмиугольной формы.

• Движение аналогового стика (ами) контроллера Nintendo 64 , то контроллер GameCube , то Wii Nunchuk и классический контроллер ограничивается повернутой восьмиугольной области, позволяя придерживаться двигаться только в восьми разных направлениях.

Производные цифры [ править ]

• Усеченная квадратная плитка имеет 2 восьмиугольников вокруг каждую вершины.
  

• Восьмиугольная призма содержит два восьмиугольных лиц.
  

• Восьмиугольной антипризма содержит два восьмиугольные лица.
  

• В усеченном кубооктаэдре 6 восьмиугольных граней.
  

• Omnitruncated кубических сот
  

Связанные многогранники [ править ]

Восьмиугольника , как усеченная площадь , является первым в последовательности усеченных гиперкуб :

Усеченные гиперкубы

Изображение								...
Имя	Восьмиугольник	Усеченный куб	Усеченный тессеракт	Усеченный 5-куб	Усеченный 6-куб	Усеченный 7-куб	Усеченный 8-куб
Диаграмма Кокстера
Фигура вершины	() v ()	() v {}	() v {3}	() v {3,3}	() v {3,3,3}	() v {3,3,3,3}	() v {3,3,3,3,3}

Как расширенный квадрат, он также является первым в последовательности расширенных гиперкубов:

Расширенные гиперкубы

							...
Восьмиугольник	Ромбокубооктаэдр	Бегущий тессеракт	Стерилизованный 5 кубиков	Пятиугольный 6-куб	Проклятый 7-куб	Семеричный 8-куб

См. Также [ править ]

• Бампер бассейн
• Восьмиугольный дом
• Восьмиугольное число
• Октаграмма
• Октаэдр , трехмерная форма с восемью гранями.
• Октогон , крупный перекресток в Будапеште , Венгрия.
• Руб эль-Хизб (также известный как звезда Аль-Кудс и как звезда Окта)
• Сглаженный восьмиугольник

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Найдите восьмиугольник в Викисловаре, бесплатном словаре.

• Калькулятор восьмиугольника
• Определение и свойства восьмиугольника с интерактивной анимацией