Ромбокубооктаэдр

Ромбокубооктаэдр
(Нажмите здесь, чтобы повернуть модель)
Тип	Архимедово твердое тело равномерный многогранник
Элементы	F = 26, E = 48, V = 24 (χ = 2)
Лица по сторонам	8 {3} + (6 + 12) {4}
Обозначение Конвея	eC или aaC aaaT
Символы Шлефли	rr {4,3} или ${\ displaystyle r {\ begin {Bmatrix} 4 \\ 3 \ end {Bmatrix}}}$
	т 0,2 {4,3}
Символ Wythoff	3 4 | 2
Диаграмма Кокстера
Группа симметрии	O h , B 3 , [4,3], (* 432), порядок 48
Группа вращения	O , [4,3] + , (432), порядок 24
Двугранный угол	3-4: 144 ° 44′08 ″ (144,74 °) 4-4: 135 °
Рекомендации	U 10 , C 22 , W 13
Характеристики	Полурегулярно выпуклый
Цветные лица	3.4.4.4 ( фигура вершины )
Дельтоидальный икоситетраэдр ( двойственный многогранник )	Сеть

В геометрии , в ромбокубооктаэдре , или небольшой ромбокубооктаэдре , является архимедовым твердым веществом с восьмью треугольными и восемнадцатью квадратными гранями. Есть 24 идентичных вершины, в каждой из которых сходятся один треугольник и три квадрата. (Обратите внимание, что шесть квадратов имеют только общие вершины с треугольниками, в то время как другие двенадцать имеют одно ребро.) Многогранник имеет октаэдрическую симметрию , как куб и октаэдр . Его двойник называется дельтовидным икоситетраэдром или трапециевидным икоситетраэдром, хотя его грани на самом деле не соответствуют действительности.трапеции .

Имена [ править ]

Иоганн Кеплер в « Harmonices Mundi» (1618) назвал этот многогранник ромбокубооктаэдром , сокращенно от усеченного кубооктаэдрического ромба , причем кубооктаэдрический ромб был его именем для ромбического додекаэдра . ^[1] Есть различные усечения ромбического додекаэдра в топологический ромбокубооктаэдр: в первую очередь его выпрямление (слева), то, которое создает однородное твердое тело (центр), и выпрямление двойного кубооктаэдра (справа), которое является ядром двойное соединение .

Его также можно назвать расширенным или наклонным кубом или октаэдром из-за операций усечения на любом однородном многограннике .

Геометрические отношения [ править ]

Имеются искажения ромбокубооктаэдра, которые, хотя некоторые из граней не являются правильными многоугольниками, по-прежнему однородны по вершинам. Некоторые из них можно сделать, если взять куб или октаэдр и отрезать края, а затем обрезать углы, так что полученный многогранник имеет шесть квадратных и двенадцать прямоугольных граней. Они обладают октаэдрической симметрией и образуют непрерывный ряд между кубом и октаэдром, аналогично искажениям ромбикосододекаэдра или тетраэдрическим искажениям кубооктаэдра . Однако ромбокубооктаэдр также имеет второй набор искажений с шестью прямоугольными и шестнадцатью трапециевидными гранями, которые не обладают октаэдрической симметрией, а скорее T _h симметрией, поэтому они инвариантны относительно тех же вращений, что итетраэдр, но разные отражения.

Линии, вдоль которых можно повернуть кубик Рубика , проецируются на сферу, похожую, топологически идентичную ребрам ромбокубооктаэдра. Фактически были созданы варианты, использующие механизм кубика Рубика, которые очень напоминают ромбокубооктаэдр. ^{[2] [3]}

Ромбокубооктаэдр используется в трех однородных мозаиках, заполняющих пространство : кубические соты с углами , усеченные кубические соты и чередующиеся кубические соты .

Рассечение [ править ]

Ромбокубооктаэдр можно разделить на два квадратных купола и центральную восьмиугольную призму . Вращение одного купола на 45 градусов создает псевдо-ромбы-cubocta-гранник . Оба этих многогранника имеют одинаковую фигуру вершины: 3.4.4.4.

Есть три пары параллельных плоскостей, каждая из которых пересекает ромбокубооктаэдр в правильном восьмиугольнике. Ромбокубооктаэдр можно разделить вдоль любого из них, чтобы получить восьмиугольную призму с правильными гранями и два дополнительных многогранника, называемых квадратными куполами , которые считаются твердыми телами Джонсона ; таким образом, это удлиненная квадратная ортобикупола . Эти части можно собрать заново, чтобы получить новое твердое тело, называемое удлиненной квадратной гиробикуполой или псевдоромбикубооктаэдром., с симметрией квадратной антипризмы. В этом случае все вершины локально такие же, как у ромбокубооктаэдра, с одним треугольником и тремя квадратами, сходящимися в каждом, но не все они идентичны по отношению ко всему многограннику, поскольку некоторые из них ближе к оси симметрии, чем другие.

Ортогональные проекции [ править ]

Ромбокубооктаэдр имеет шесть специальных ортогональных проекций , по центру, на вершине, на двух типов ребер и трех типов граней: треугольников и двух квадратов. Последние два соответствуют самолетам Кокстера B ₂ и A ₂ .

Сферическая мозаика [ править ]

Ромбокубооктаэдр также можно представить как сферическую мозаику и спроецировать на плоскость через стереографическую проекцию . Эта проекция является конформной , сохраняя углы, но не площади или длины. Прямые на сфере проецируются как дуги окружности на плоскость.

Пиритоэдрическая симметрия [ править ]

Полусимметричная форма ромбокубооктаэдра, , существует с пиритоэдрической симметрией , [4,3 ⁺ ], (3 * 2) как диаграмма Кокстера , Символ Шлефли s ₂ {3,4}, и может быть назван кантическим курносым октаэдром . Эту форму можно визуализировать, поочередно раскрашивая края 6 квадратов . Эти квадраты можно затем превратить в прямоугольники , в то время как 8 треугольников останутся равносторонними. 12 диагональных квадратных граней станут равнобедренными трапециями . В пределе прямоугольники могут быть сведены к краям, а трапеции - в треугольники, и образуется икосаэдр за счет конструкции плоского октаэдра ,, с {3,4}. ( Соединение двух икосаэдров строится из обоих чередующихся позиций.)

Вариации пиритоэдрической симметрии
Единая геометрия	Неоднородная геометрия	Неоднородная геометрия	В пределе курносый октаэдр икосаэдра ,, с одной из двух позиций.	Соединение двух икосаэдров из обоих чередующихся позиций.

Алгебраические свойства [ править ]

Декартовы координаты [ править ]

Декартовы координаты для вершин ромбокубооктаэдр с центром в начале координат, причем длина ребра 2 единицы, являются все даже перестановок из

(± 1, ± 1, ± (1 + √ 2 )).

Если исходный ромбокубооктаэдр имеет единичную длину ребра, его двойной стромбический икоситетраэдр имеет длину ребра

${\ displaystyle {\ frac {2} {7}} {\ sqrt {10 - {\ sqrt {2}}}} \ quad {\ text {и}} \ quad {\ sqrt {4-2 {\ sqrt { 2}}}}.}$

Площадь и объем [ править ]

Площадь A и объем V ромбокубооктаэдра с длиной ребра a равны:

${\ displaystyle {\ begin {align} A & = \ left (18 + 2 {\ sqrt {3}} \ right) a ^ {2} && \ приблизительно 21,464 \, 1016a ^ {2} \\ V & = {\ frac {12 + 10 {\ sqrt {2}}} {3}} a ^ {3} && \ приблизительно 8.714 \, 045 \, 21a ^ {3}. \ End {align}}}$

Плотность плотной упаковки [ править ]

Оптимальная доля упаковки ромбокубооктаэдров определяется выражением

${\displaystyle \eta ={\tfrac {4}{3}}\left(4{\sqrt {2}}-5\right)}$.

Было замечено, что это оптимальное значение получено в решетке Браве де Граафом ( 2011 ). Поскольку ромбокубооктаэдр содержится в ромбическом додекаэдре , вписанная сфера которого идентична его собственной вписанной сфере, значение оптимальной фракции упаковки является следствием гипотезы Кеплера : этого можно достичь, поместив ромбокубоктаэдр в каждую ячейку ромбического додекаэдра. соты , и его невозможно превзойти, поскольку в противном случае оптимальную плотность упаковки сфер можно было бы превзойти, поместив сферу в каждый ромбокубооктаэдр гипотетической упаковки, которая ее превосходит.

В искусстве [ править ]

Портрет Луки Пачоли 1495 года , традиционно приписываемый Якопо де Барбари , включает стеклянный ромбокубооктаэдр, наполовину заполненный водой, который, возможно, был написан Леонардо да Винчи . ^[5] Первая печатная версия ромбокубооктаэдра была написана Леонардо и появилась в « Divina пропорционально» Пачоли (1509).

Сферическую панораму 180 ° × 360 ° можно спроецировать на любой многогранник; но ромбокубооктаэдр дает достаточно хорошее приближение к сфере, хотя его легко построить. Этот тип проекции, называемый « Филосфера» , возможен с помощью некоторого программного обеспечения для сборки панорам. Он состоит из двух изображений, которые печатаются отдельно и вырезаются ножницами, оставляя некоторые клапаны для сборки с помощью клея. ^[6]

Объекты [ править ]

В играх Freescape Driller и Dark Side была игровая карта в форме ромбокубооктаэдра.

В «Галактике Торопливо-Снегопад» и «Галактика с морским скольжением» в видеоигре Super Mario Galaxy есть планеты, похожие на форму ромбокубооктаэдра.

Звуковой Еж 3 ' ы льды зона оснащена колонны увенчанных rhombicuboctahedra.

Во время повального увлечения кубиком Рубика в 1980-х годах по крайней мере две проданные извилистые головоломки имели форму ромбокубооктаэдра (механизм был похож на кубик Рубика ). ^{[2] [3]}

• Солнечные часы (1596)

• Солнечные часы

• Уличный фонарь в Майнце

• Матрица с 18 маркированными гранями

• Кабелас стрельбы по мишеням

• Змея Рубика

• Вариант кубика Рубика

• Кристалл пирита

Связанные многогранники [ править ]

Ромбокубооктаэдр - один из семейства однородных многогранников, связанных с кубом и правильным октаэдром.

Однородные октаэдрические многогранники
Симметрия : [4,3], (* 432)							[4,3] + (432)	[1 + , 4,3] = [3,3] (* 332)		[3 + , 4] (3 * 2)
{4,3}	т {4,3}	г {4,3} г {3 1,1 }	т {3,4} т {3 1,1 }	{3,4} {3 1,1 }	rr {4,3} s 2 {3,4}	tr {4,3}	sr {4,3}	ч {4,3} {3,3}	ч 2 {4,3} т {3,3}	с {3,4} с {3 1,1 }
		знак равно	знак равно	знак равно				знак равно или же	знак равно или же	знак равно
Двойники к однородным многогранникам
V4 3	V3.8 2	В (3,4) 2	V4.6 2	V3 4	V3.4 3	V4.6.8	V3 4 .4	V3 3	V3.6 2	V3 5

Мутации симметрии [ править ]

Этот многогранник топологически связан как часть последовательности скошенных многогранников с фигурой вершины (3.4. N .4) и продолжается как мозаики гиперболической плоскости . Эти вершинно-транзитивные фигуры обладают (* n 32) отражательной симметрией .

Расположение вершин [ править ]

У него общее расположение вершин с тремя невыпуклыми однородными многогранниками : звездчатым усеченным шестигранником , маленьким ромбогексаэдром (имеющим треугольные грани и шесть квадратных граней вместе) и маленьким кубокубооктаэдром (имеющим двенадцать общих квадратных граней).

Ромбокубооктаэдрический граф [ править ]

В математической области теории графов , A rhombicuboctahedral график является графиком вершин и ребер из ромбокубооктаэдра, один из Архимеда твердых веществ . Он имеет 24 вершины и 48 ребер и является архимедовым графом квартики . ^[7]

См. Также [ править ]

• Соединение пяти ромбокубооктаэдров
• Куб
• Кубооктаэдр
• Невыпуклый большой ромбокубооктаэдр
• Усеченный ромбокубооктаэдр
• Гиробикупола удлиненная квадратная
• Моравская звезда
• Октаэдр
• Ромбикосододекаэдр
• Змея Рубика - головоломка, которая может образовывать ромбокубооктаэдрический «шар»
• Национальная библиотека Беларуси - ее главный архитектурный элемент имеет форму ромбокубооктаэдра.
• Усеченный кубооктаэдр (большой ромбокубооктаэдр )

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме ромбокубооктаэдра .

• Эрик В. Вайсштейн , Ромбокубооктаэдр ( твердое тело Архимеда ) в MathWorld .
  • Вайсштейн, Эрик В. "Малый ромбокубооктаэдрический граф" . MathWorld .
• Клитцинг, Ричард. "Трехмерные выпуклые равномерные многогранники x3o4x - sirco" .
• Равномерные многогранники
• Многогранники виртуальной реальности Энциклопедия многогранников
• Редактируемая сетка для печати ромбокубооктаэдра с интерактивным трехмерным изображением
• Ромбокубооктаэдрическая звезда Шандора Кабая, Демонстрационный проект Вольфрама .
• Ромбокубооктаэдр: бумажные полоски для плетения