Дельтоидный икоситетраэдр

Дельтоидный икоситетраэдр
( вращающаяся и 3D модель )
Тип	Каталонский
Обозначение Конвея	oC или deC
Диаграмма Кокстера
Многоугольник лица	летающий змей
Лица	24
Края	48
Вершины	26 = 6 + 8 + 12
Конфигурация лица	V3.4.4.4
Группа симметрии	O _h , BC₃ , [4,3], * 432
Группа вращения	О, [4,3] ⁺ , (432)
Двугранный угол	138 ° 07′05 ″ arccos (-7 + 4 √ 2/17)
Двойной многогранник	ромбокубооктаэдр
Характеристики	выпуклый, гранно-транзитивный
Сеть

D. i. как произведение искусства и умереть

D. i. проецируется на куб и октаэдр в Perspectiva Corporum Regularium

Модель кристалла додекаэдра Дьякиса и проекция на октаэдр

В геометрии , A дельтоидальный икоситетраэдр (также трапециевидной icositetrahedron , тетрагональная icosikaitetrahedron , ^[1] тетрагональной trisoctahedron ^[2] и strombic icositetrahedron ) является Каталонским твердым веществом . Его двойственный многогранник - ромбокубооктаэдр .

Декартовы координаты [ править ]

Декартовы координаты для дельтовидного икоситетраэдра подходящего размера с центром в начале координат:

(± 1, 0, 0), (0, ± 1, 0), (0, 0, ± 1)
(0, ±1/2√ 2 , ±1/2√ 2 ), (±1/2√ 2 , 0, ±1/2√ 2 ), (±1/2√ 2 , ±1/2√ 2 , 0)
(± (2 √ 2 +1) / 7, ± (2 √ 2 +1) / 7, ± (2 √ 2 +1) / 7)

Длинные ребра этого дельтовидного икосаэдра имеют длину √ (2- √ 2 ) ≈ 0,765367.

Размеры [ править ]

24 лица - воздушные змеи . ^[3] Короткие и длинные края каждого змея находятся в соотношении 1: (2 - 1/√ 2) ≈ 1:1.292 893 ... Если его наименьшие края имеют длину a , его площадь поверхности и объем равны

{\begin{aligned}A&=6{\sqrt {29-2{\sqrt {2}}}}\,a^{2}\\V&={\sqrt {122+71{\sqrt {2}}}}\,a^{3}\end{aligned}}

Воздушные змеи имеют три равных острых угла со значением и один тупой угол (между короткими краями) со значением . $\arccos({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}{\sqrt {2}})\approx 81.578\,941\,881\,85^{\circ }$ $\arccos(-{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{8}}{\sqrt {2}})\approx 115.263\,174\,354\,45^{\circ }$

События в природе и культуре [ править ]

Дельтоидный икоситетраэдр - это кристалл, часто образованный минералом анальцимом и иногда гранатом . Форму часто называют трапецоэдром в контексте минералов, хотя в твердой геометрии это название имеет другое значение .

Ортогональные проекции [ править ]

Дельтоидальный икоситетраэдр имеет три положения симметрии, все сосредоточены на вершинах:

Ортогональные проекции
Проективная симметрия	[2]	[4]	[6]
Изображение
Двойное изображение

Связанные многогранники [ править ]

Проекция твердого тела на куб делит его квадраты на квадранты. Проекция на октаэдр делит его треугольники на грани коршуна. В нотации многогранника Конвея это представляет собой орто- операцию над кубом или октаэдром.

Твердое тело (двойственное маленькому ромбокубооктаэдру ) похоже на додекаэдр дисьякиса (двойственный большому ромбокубооктаэдру ) .
Основное отличие состоит в том, что последний также имеет ребра между вершинами на осях 3- и 4-кратной симметрии (между желтыми и красными вершинами на изображениях ниже) .


Дельтоидный икоситетраэдр	Додекаэдр Дисдякиса	Додекаэдр Дьякиса	Тетартоид

Додекаэдр Дьякиса [ править ]

Вариант с пиритоэдрической симметрией называется додекаэдром дьякиса ^[4]^[5] или диплоидом . ^[6] Это обычное дело в кристаллографии .
Его можно создать, увеличив 24 из 48 граней додекаэдра дисьякиса. Tetartoid может быть создан путем расширения 12 из 24 своих граней. ^[7]

Stellation [ править ]

Большой триакисоктаэдр является плеяде'ученым из дельтоидального икоситетраэдра.

Связанные многогранники и мозаики [ править ]

Дельтоидальный икоситетраэдр является одним из семейства двойственных однородных многогранников, связанных с кубом и правильным октаэдром.

При проецировании на сферу (см. Справа) можно увидеть, что ребра образуют ребра октаэдра и куба, расположенные в их двойных положениях . Также можно увидеть, что тройные и четвертые углы могут быть выполнены на одинаковом расстоянии от центра. В этом случае полученный икоситетраэдр больше не будет иметь ромбокубооктаэдра для дуального, поскольку для ромбокубооктаэдра центры его квадратов и его треугольников находятся на разном расстоянии от центра.

Однородные октаэдрические многогранники
Симметрия : [4,3], (* 432)							[4,3] ⁺ (432)	[1 ⁺ , 4,3] = [3,3] (* 332)		[3 ⁺ , 4] (3 * 2)
{4,3}	т {4,3}	г {4,3} г {3 ^1,1 }	т {3,4} т {3 ^1,1 }	{3,4} {3 ^1,1 }	rr {4,3} s ₂ {3,4}	tr {4,3}	sr {4,3}	ч {4,3} {3,3}	ч 2 {4,3} т {3,3}	с {3,4} с {3 ^1,1 }

		знак равно	знак равно	знак равно				знак равно или же	знак равно или же	знак равно

Двойники к однородным многогранникам
V4 3	V3.8 2	В (3,4) 2	V4.6 2	V3 4	V3.4 3	V4.6.8	V3 4 .4	V3 3	V3.6 2	V3 5

Этот многогранник топологически связан как часть последовательности дельтоидальных многогранников с гранью (V3.4. N .4) и продолжается как мозаики гиперболической плоскости . Эти транзитивные фигуры имеют (* n 32) отражательную симметрию .

* n 42 мутация симметрии двойных расширенных мозаик: V3.4. п. 4
Симметрия * n 32 [n, 3]	Сферический				Евклид.	Компактная гипербола.		Paraco.
Симметрия * n 32 [n, 3]	* 232 [2,3]	* 332 [3,3]	* 432 [4,3]	* 532 [5,3]	* 632 [6,3]	* 732 [7,3]	* 832 [8,3] ...	* ∞32 [∞, 3]
Рисунок Config.	V3.4.2.4	V3.4.3.4	V3.4.4.4	V3.4.5.4	V3.4.6.4	V3.4.7.4	V3.4.8.4	V3.4.∞.4

См. Также [ править ]

Дельтоидальный гексеконтаэдр
Шестигранник Тетракис , еще одно каталонское тело с 24 гранями, которое немного похоже на надутый куб.
« Призрак тьмы », рассказ Л.П. Лавкрафта, в сюжете которого фигурирует эта фигура.
Псевдо-дельтовидный икоситетраэдр

Ссылки [ править ]

^ Conway, Симметрии вещей , p.284-286
^ https://etc.usf.edu/clipart/keyword/forms
^ "Воздушный змей" . Дата обращения 6 октября 2019 .
^ Изоэдр 24k
^ Изометрическая кристаллическая система
↑ 48 особых кристаллических форм
^ Оба обозначены на двух моделях кристаллов в правом верхнем углу этой фотографии . Наглядную демонстрацию можно увидеть здесь и здесь .

Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: первоисточник дизайна . ISBN Dover Publications, Inc. 0-486-23729-X. (Раздел 3-9)
Веннингер, Магнус (1983), двойные модели , Cambridge University Press , DOI : 10.1017 / CBO9780511569371 , ISBN 978-0-521-54325-5, Руководство по ремонту 0730208 (Тринадцать полуправильных выпуклых многогранников и их двойники, Дельтоидальный икоситетраэдр)
Симметрии вещей 2008, Джон Х. Конвей, Хайди Берджел, Хаим Гудман-Штрасс, ISBN 978-1-56881-220-5 [1] (Глава 21, Именование архимедовых и каталонских многогранников и мозаик, стр. 286, тетрагональный икосикаитететраэдр )

Внешние ссылки [ править ]

Эрик В. Вайсштейн , Дельтоидальный икоситетраэдр ( каталонское твердое тело ) в MathWorld .
Дельтоидальный (трапециевидный) икоситетраэдр - модель интерактивного многогранника

[1] Conway, Симметрии вещей , p.284-286

[2] ttps://etc.usf.edu/clipart/keyword/forms

[3] "Воздушный змей" . Дата обращения 6 октября 2019 .

[4] Изоэдр 24k

[5] Изометрическая кристаллическая система

[6] 48 особых кристаллических форм

[7] Оба обозначены на двух моделях кристаллов в правом верхнем углу этой фотографии . Наглядную демонстрацию можно увидеть здесь и здесь .

[1]