| летающий змей | |
|---|---|
 Воздушный змей с парами сторон равной длины и вписанным кругом. | |
| Тип | Четырехугольник |
| Ребра и вершины | 4 |
| Группа симметрии | D 1 (*) |
| Двойной многоугольник | Равнобедренная трапеция |
В евклидовой геометрии , А змея является четырехугольником , чьи четыре стороны могут быть сгруппированы в две пары сторон одинаковой длины , которые расположены рядом друг с другом. Напротив, параллелограмм также имеет две пары сторон равной длины, но они противоположны друг другу, а не смежны. Четырехугольники воздушных змеев названы в честь запущенных ветром воздушных змеев , которые часто имеют такую форму и которые, в свою очередь, названы в честь птицы . Кайты также известны как дельтоиды , а слово «дельтовидное» может также относиться к дельтовидному кривому , неродственному геометрическому объекту.
Воздушный змей, как определено выше, может быть выпуклым или вогнутым , но слово «воздушный змей» часто ограничивается выпуклой разновидностью. Вогнутый змей иногда называют «дротиком» или «наконечником стрелы» и представляет собой разновидность псевдотреугольника .
Особые случаи [ править ]
Четырехугольники можно классифицировать иерархически (в которых некоторые классы четырехугольников являются подмножествами других классов) или как разбиение (в котором каждый четырехугольник принадлежит только одному классу). В иерархической классификации ромб (четырехугольник с четырьмя сторонами одинаковой длины) или квадрат считается особым случаем воздушного змея, поскольку его края можно разделить на две смежные пары равной длины. Согласно этой классификации, каждый равносторонний змей является ромбом, и каждый равноугольнымвоздушный змей представляет собой квадрат. Однако в соответствии с классификацией разделения ромбы и квадраты не считаются воздушными змеями, и воздушный змей не может быть равносторонним или равносторонним. По той же причине при классификации разделения фигуры, отвечающие дополнительным ограничениям других классов четырехугольников, такие как правые воздушные змеи, обсуждаемые ниже, не будут считаться воздушными змеями. Остальная часть этой статьи следует иерархической классификации, в которой ромбики, квадраты и правые воздушные змеи считаются воздушными змеями. Избегая необходимости рассматривать особые случаи по-разному, эта иерархическая классификация может помочь упростить формулировку теорем о воздушных змеях. [1]
Воздушный змей с тремя равными углами 108 ° и 36 ° один углом образует выпуклую оболочку на лютне Пифагора . [2]
Воздушные змеи, которые также являются вписанными четырехугольниками (т. Е. Воздушные змеи, которые могут быть вписаны в круг), в точности состоят из двух равных прямоугольных треугольников . То есть для этих воздушных змеев два равных угла на противоположных сторонах оси симметрии составляют каждый по 90 градусов. [3] Эти формы называются правыми воздушными змеями . [1] Поскольку они описывают одну окружность и вписаны в другую окружность, они являются двухцентровыми четырехугольниками . Среди всех бицентрических четырехугольников с заданными двумя радиусами окружности тот, у которого максимальная площадь, является правым воздушным змеем. [4]
Есть только восемь многоугольников, которые могут замощить плоскость таким образом, что отражение любой плитки через любой из ее краев дает другую плитку; мозаика, полученная таким образом, называется тесселяцией краев . Один из них - это тайлинг прямым воздушным змеем с углами 60 °, 90 ° и 120 °. Мозаика, которую он производит своими отражениями, является треугольной трехгексагональной мозаикой . [5]
Правильный кайт | Равноугольный воздушный змей, вписанный в треугольник Рело. |
Среди всех четырехугольников форма, имеющая наибольшее отношение периметра к диаметру, - это равнодиагональный змей с углами π / 3, 5π / 12, 5π / 6, 5π / 12. Его четыре вершины лежат в трех углах и одной из боковых средних точек треугольника Рило (вверху справа). [6]
В неевклидовой геометрии , Ламберт четырехугольник является правом кайта с тремя прямыми углами. [7]
Характеристики [ править ]
Четырехугольник является змеей тогда и только тогда , когда какой - либо один из следующих условий:
- Две непересекающиеся пары смежных сторон равны (по определению).
- Одна диагональ - это серединный перпендикуляр другой диагонали. [8] (В вогнутом случае это продолжение одной из диагоналей.)
- Одна диагональ - это линия симметрии (она делит четырехугольник на два конгруэнтных треугольника, которые являются зеркальным отображением друг друга). [9]
- Одна диагональ делит пополам пару противоположных углов. [9]
Симметрия [ править ]
Воздушные змеи - это четырехугольники, у которых ось симметрии проходит вдоль одной из диагоналей . [10] Любой четырехугольник без самопересечения , имеющий ось симметрии, должен быть либо воздушным змеем (если ось симметрии диагональ), либо равнобедренной трапецией (если ось симметрии проходит через середины двух сторон); они включают в качестве частных случаев ромб и прямоугольник соответственно, которые имеют две оси симметрии каждая, и квадрат, который одновременно является воздушным змеем и равнобедренной трапецией и имеет четыре оси симметрии. [10]Если пересечения разрешены, список четырехугольников с осями симметрии должен быть расширен, чтобы также включить антипараллелограммы .
Основные свойства [ править ]
Каждый воздушный змей является ортодиагональным , что означает, что его две диагонали расположены под прямым углом друг к другу. Более того, одна из двух диагоналей (ось симметрии) является серединным перпендикуляром другой, а также является биссектрисой двух углов, которые она встречает. [10]
Одна из двух диагоналей выпуклого воздушного змея делит его на два равнобедренных треугольника ; другой (ось симметрии) делит змей на два равных треугольника . [10] Два внутренних угла воздушного змея, которые находятся по разные стороны от оси симметрии, равны.
Площадь [ править ]
Как и в более общем случае для любого ортодиагонального четырехугольника , площадь A воздушного змея может быть рассчитана как половина произведения длин диагоналей p и q :
В качестве альтернативы, если a и b - длины двух неравных сторон, а θ - угол между неравными сторонами, тогда площадь равна
Касательные круги [ править ]
Каждый выпуклый змей имеет вписанный круг ; то есть существует окружность, касающаяся всех четырех сторон. Следовательно, любой выпуклый змей является касательным четырехугольником . Кроме того, если выпуклый воздушный змей не является ромбом, за пределами воздушного змея есть еще один круг, касательный к линиям, проходящим через его четыре стороны; следовательно, любой выпуклый змей, не являющийся ромбом, является экс-тангенциальным четырехугольником .
Для каждого вогнутого воздушного змея существуют две окружности, касательные ко всем четырем (возможно, удлиненным) сторонам: одна находится внутри воздушного змея и касается двух сторон, противоположных вогнутому углу, а другая окружность является внешней по отношению к воздушному змею и касается змея с два ребра, падающие на вогнутый угол. [11]
Двойные свойства [ править ]
Воздушный змей и равнобедренные трапеции двойственны: полярная фигура воздушного змея - это равнобедренная трапеция, и наоборот. [12] Двойственность бокового угла воздушных змеев и равнобедренных трапеций сравнивается в таблице ниже. [9]
| Равнобедренная трапеция | летающий змей |
|---|---|
| Две пары равных смежных углов | Две пары равных смежных сторон |
| Одна пара равных противоположных сторон | Одна пара равных противоположных углов |
| Ось симметрии через одну пару противоположных сторон | Ось симметрии через одну пару противоположных углов |
| Описанный круг | Вписанный круг |
Мозаики и многогранники [ править ]
Все воздушные змеи замощают плоскость путем многократного переворота по центрам их краев, как и все четырехугольники. Воздушный змей с углами π / 3, π / 2, 2π / 3, π / 2 также может покрывать плоскость мозаикой, многократно отражаясь от ее краев; Получившаяся мозаика, дельтовидная трехгексагональная мозаика , накладывает мозаику плоскости правильными шестиугольниками и равнобедренными треугольниками. [13]
Дельтоидальный икоситетраэдр , дельтоидальный гексеконтаэдр и трапецоэдр являются многогранниками с конгруэнтными змеями-образной гранями . Есть бесконечное число однородных разбиений в гиперболической плоскости с помощью воздушных змеев, самый простой из которых является deltoidal triheptagonal плиточные.
Воздушные змеи и дротики, в которых два равнобедренных треугольника, образующих воздушный змей, имеют углы при вершине 2π / 5 и 4π / 5, представляют собой один из двух наборов основных плиток в мозаике Пенроуза , апериодической мозаике плоскости, обнаруженной математиком-физиком Роджером Пенроузом .
Грань-транзитивная самотесселяция сферы, евклидовой плоскости и гиперболической плоскости с воздушными змеями происходит как однородные двойники: 
для группы Кокстера [p, q], с любым набором p, q от 3 до бесконечности, поскольку эта таблица частично показывает до q = 6. Когда p = q, воздушные змеи становятся ромбовидными ; когда p = q = 4, они становятся квадратами .
| Многогранники | Евклидово | Гиперболические мозаики | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
V4.3.4.3 | V4.3.4.4 | V4.3.4.5 | V4.3.4.6 | V4.3.4.7 | V4.3.4.8 | ... | V4.3.4.∞ |
 |  |  |  |  |  |  |  |
| Многогранники | Евклидово | Гиперболические мозаики | |||||
V4.4.4.3 | V4.4.4.4 | V4.4.4.5 | V4.4.4.6 | V4.4.4.7 | V4.4.4.8 | ... | V4.4.4.∞ |
| | | | | | | |
| Многогранники | Гиперболические мозаики | ||||||
V4.3.4.5 | V4.4.4.5 | V4.5.4.5 | V4.6.4.5 | V4.7.4.5 | V4.8.4.5 | ... | V4.∞.4.5 |
| | | | | | | |
| Евклидово | Гиперболические мозаики | ||||||
V4.3.4.6 | V4.4.4.6 | V4.5.4.6 | V4.6.4.6 | V4.7.4.6 | V4.8.4.6 | ... | V4.∞.4.6 |
| | | | | | | |
| Гиперболические мозаики | |||||||
V4.3.4.7 | V4.4.4.7 | V4.5.4.7 | V4.6.4.7 | V4.7.4.7 | V4.8.4.7 | ... | V4.∞.4.7 |
| | | | | | | |
| Гиперболические мозаики | |||||||
V4.3.4.8 | V4.4.4.8 | V4.5.4.8 | V4.6.4.8 | V4.7.4.8 | V4.8.4.8 | ... | V4.∞.4.8 |
| | | | | | | |
Условия, при которых тангенциальный четырехугольник является воздушным змеем [ править ]
Тангенциальное четырехугольник является змея , если и только если любой из следующих условий: [14]
- Площадь составляет половину произведения диагоналей .
- Диагонали перпендикулярны . (Таким образом, воздушные змеи являются в точности касательными и ортодиагональными четырехугольниками .)
- Два отрезка, соединяющие противоположные точки касания, имеют одинаковую длину.
- Одна пара противоположных касательных длин имеет одинаковую длину.
- В bimedians имеют одинаковую длину.
- Произведения противоположных сторон равны.
- Центр вписанной окружности лежит на линии симметрии, которая также является диагональю.
Если диагонали касательного четырехугольника ABCD пересекаются в точке P , а вписанные окружности в треугольниках ABP , BCP , CDP , DAP имеют радиусы r 1 , r 2 , r 3 и r 4 соответственно, то четырехугольник является воздушным змеем тогда и только тогда, когда [14]
Если вневписанные окружности к одним и тем же четырем треугольникам напротив вершины P имеют радиусы R 1 , R 2 , R 3 и R 4 соответственно, то четырехугольник является воздушным змеем тогда и только тогда, когда [14]
Ссылки [ править ]
- ^ a b Де Вильерс, Майкл (февраль 1994 г.), «Роль и функция иерархической классификации четырехугольников», Для изучения математики , 14 (1): 11–18, JSTOR 40248098
- ^ Дарлинг, Дэвид (2004), Универсальная книга математики: от абракадабры до парадоксов Зенона , John Wiley & Sons, стр. 260, ISBN 9780471667001.
- ^ Gant, P. (1944), "Записка о четырехугольника", Математическая газета Математическая ассоциация, 28 (278): 29-30, DOI : 10,2307 / 3607362 , JSTOR 3607362 .
- ^ Йозефссон, Мартин (2012), "Максимальная площадь бицентрического четырехугольника" (PDF) , Forum Geometricorum , 12 : 237–241, MR 2990945 .
- ^ Кирби, Мэтью; Умбле, Рональд (2011), «Тесселяция краев и головоломки со складыванием штампов», Mathematics Magazine , 84 (4): 283–289, arXiv : 0908.3257 , doi : 10.4169 / math.mag.84.4.283 , MR 2843659 .
- ^ Болл, DG (1973), "Обобщение П", Математический вестник , 57 (402): 298-303, DOI : 10,2307 / 3616052; Гриффитс, Дэвид; Culpin, Дэвид (1975), "Пи-оптимальных многоугольники", Математический вестник , 59 (409): 165-175, DOI : 10,2307 / 3617699.
- ^ Eves, Говард Уитли (1995), Колледж Geometry , Jones & Bartlett Learning, стр. 245, ISBN 9780867204759.
- ^ Zalman Усыскин и Дженнифер Гриффин, «Классификация четырехугольников. Изучение определения», информационный век издательство, 2008, стр. 49-52.
- ^ a b c Майкл де Вильерс, Некоторые приключения в евклидовой геометрии , ISBN 978-0-557-10295-2 , 2009, стр. 16, 55.
- ^ a b c d Холстед, Джордж Брюс (1896), «Глава XIV. Симметричные четырехугольники», Элементарная синтетическая геометрия , J. Wiley & sons, стр. 49–53.
- ^ Wheeler, Роджер Ф. (1958), "четырехугольник", Математическая газета Математическая ассоциация, 42 (342): 275-276, DOI : 10,2307 / 3610439 , JSTOR 3610439 .
- ^ Робертсон, SA (1977), "Классифицирующие треугольники и четырехугольники", Математическая газета Математическая ассоциация, 61 (415): 38-49, DOI : 10,2307 / 3617441 , JSTOR 3617441 .
- ^ См. Weisstein, Eric W. Polykite . MathWorld . .
- ^ a b c Йозефссон, Мартин (2011), "Когда тангенциальный четырехугольник является воздушным змеем?" (PDF) , Forum Geometricorum , 11 : 165–174. .
Внешние ссылки [ править ]
 | Викискладе есть медиафайлы по теме дельтоидов . |
- Вайсштейн, Эрик В. «Воздушный змей» . MathWorld .
- формулы площади с интерактивной анимацией на Mathopenref.com
