Дельтовидная кривая

Красная кривая - это дельтовидная мышца.

В геометрии , A дельтоид , также известный как кривой tricuspoid или кривой Steiner , является гипоциклоидой из трех створок . Другими словами, это рулетка, созданная точкой на окружности круга, когда она катится без скольжения по внутренней части круга с радиусом в три или полтора раза больше его. Он назван в честь греческой буквы дельта, на которую он похож.

В более широком смысле, дельтоид может относиться к любой замкнутой фигуре с тремя вершинами, соединенными кривыми, вогнутыми с внешней стороны, что делает внутренние точки невыпуклым множеством. ^[1]

Уравнения [ править ]

Дельтовид может быть представлен (с точностью до вращения и перемещения) следующими параметрическими уравнениями

${\ Displaystyle х = (ба) \ соз (т) + а \ соз \ влево ({\ гидроразрыва {ба} {а}} т \ вправо) \,}$

${\ Displaystyle у = (ба) \ грех (т) -а \ грех \ влево ({\ гидроразрыва {ба} {а}} т \ вправо) \ ,,}$

где a - радиус катящегося круга, b - радиус круга, внутри которого катится вышеупомянутый круг. (На рисунке выше b = 3a .)

В сложных координатах это становится

${\ displaystyle z = 2ae ^ {it} + ae ^ {- 2it}}$.

Переменную t можно исключить из этих уравнений, чтобы получить декартово уравнение

${\ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2} + 18a ^ {2} (x ^ {2} + y ^ {2}) - 27a ^ {4} = 8a (x ^ {3} -3xy ^ {2}), \,}$

так что дельтовид - это плоская алгебраическая кривая четвертой степени. В полярных координатах это становится

${\displaystyle r^{4}+18a^{2}r^{2}-27a^{4}=8ar^{3}\cos 3\theta \,.}$

Кривая имеет три особенности, которым соответствуют точки возврата . Приведенная выше параметризация подразумевает, что кривая рациональна, что означает, что она имеет нулевой род .${\displaystyle t=0,\,\pm {\tfrac {2\pi }{3}}}$

Сегмент линии может скользить каждым концом по дельтовидной мышце и оставаться касательной к дельтовидной. Точка касания проходит вокруг дельтовидной мышцы дважды, в то время как каждый конец проходит вокруг нее один раз.

Двойной кривой дельтовидной является

${\displaystyle x^{3}-x^{2}-(3x+1)y^{2}=0,\,}$

который имеет двойную точку в начале координат, которую можно сделать видимой для построения воображаемого поворота y ↦ iy, давая кривую

${\displaystyle x^{3}-x^{2}+(3x+1)y^{2}=0\,}$

с двойной точкой в ​​начале реальной плоскости.

Площадь и периметр [ править ]

Область дельтовидной находится где снова радиус подвижного круга; таким образом, площадь дельтовидной мышцы вдвое больше, чем у катящегося круга. ^[2]${\displaystyle 2\pi a^{2}}$

Периметр (общая длина дуги) дельтовидной мышцы составляет 16 а . ^[2]

История [ править ]

Обычные циклоиды изучали Галилео Галилей и Марин Мерсенн еще в 1599 году, но циклоидальные кривые были впервые придуманы Оле Рёмером в 1674 году при изучении наилучшей формы зубьев шестерен. Леонард Эйлер впервые рассматривает настоящую дельтовидную мышцу в 1745 году в связи с оптической проблемой.

Приложения [ править ]

Дельтоиды возникают в нескольких областях математики. Например:

• Набор комплексных собственных значений унистохастических матриц третьего порядка образует дельтоид.
• Поперечное сечение множества унистохастических матриц третьего порядка образует дельтоид.
• Множество возможных следов унитарных матриц, принадлежащих группе SU (3), образует дельтоид.
• Пересечение двух дельтоидов параметризует семейство комплексных матриц Адамара шестого порядка.
• Множество всех линий Симсона данного треугольника образуют конверт в форме дельтовидной мышцы. Это известно как дельтовидная мышца Штейнера или гипоциклоида Штейнера в честь Якоба Штайнера , описавшего форму и симметрию кривой в 1856 г. ^[3]
• Конверт из области биссектрис одного треугольника является дельтовидной (в более широком смысле , определенном выше) с вершинами в серединах медиан . Стороны дельтовида - это дуги гипербол , которые асимптотичны сторонам треугольника. ^[4] [1]
• Дельтовидная мышца была предложена как решение проблемы с иглой Какея .

См. Также [ править ]

• Астроид , кривая с четырьмя выступами
• Псевдотреугольник
• Треугольник Рело
• Суперэллипс
• Пара туси
• Кайт (геометрия) , также называемый дельтовидной

Ссылки [ править ]

• Э. Х. Локвуд (1961). «Глава 8: Дельтовидная мышца». Книга кривых . Издательство Кембриджского университета.
• Дж. Деннис Лоуренс (1972). Каталог специальных плоских кривых . Dover Publications. С.  131–134 . ISBN 0-486-60288-5.
• Уэллс Д. (1991). Словарь любопытной и интересной геометрии Penguin . Нью-Йорк: Книги Пингвина. С.  52 . ISBN 0-14-011813-6.
• "Трикуспоид" в списке известных кривых MacTutor.
• "Дельтовидная мышца" в MathCurve
• Соколов Д.Д. (2001) [1994], "Кривая Штейнера" , Энциклопедия математики , EMS Press