Гипоциклоида

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Гипоциклоида»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( ноябрь 2011 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Красный путь - это гипоциклоида, начерченная, когда меньший черный круг катится внутри большего черного круга (параметры: R = 4,0, r = 1,0, и поэтому k = 4, что дает астроиду ).

В геометрии , A гипоциклоида является специальной плоской кривой генерируется след фиксированной точки на небольшой круг , что валки в пределах более широкого круга. По мере увеличения радиуса большего круга гипоциклоида становится больше похожей на циклоиду, созданную путем катания круга по линии.

Свойства [ править ]

Если меньший круг имеет радиус r , а больший круг имеет радиус R = kr , то параметрические уравнения для кривой могут быть заданы одним из следующих способов:

${\ displaystyle x (\ theta) = (Rr) \ cos \ theta + r \ cos \ left ({\ frac {Rr} {r}} \ theta \ right)}$

${\ displaystyle y (\ theta) = (Rr) \ sin \ theta -r \ sin \ left ({\ frac {Rr} {r}} \ theta \ right),}$

или же:

${\displaystyle x(\theta )=r(k-1)\cos \theta +r\cos \left((k-1)\theta \right)\,}$

${\displaystyle y(\theta )=r(k-1)\sin \theta -r\sin \left((k-1)\theta \right).\,}$

Если k - целое число, то кривая замкнута и имеет k выступов (т. Е. Острых углов, где кривая не дифференцируема ). Специально для k = 2 кривая представляет собой прямую линию, а круги называются кругами Кардано. Джироламо Кардано был первым, кто описал эти гипоциклоиды и их применение в высокоскоростной печати . ^{[1] [2]}

Если k - рациональное число , скажем, k = p / q, выраженное в простейших терминах, то кривая имеет p точек возврата.

Если k - иррациональное число , то кривая никогда не закрывается и заполняет пространство между большим кругом и кругом радиуса R - 2 r .

Каждая гипоциклоида (при любом значении г ) является брахистохроной для гравитационного потенциала внутри однородной сферы радиуса R . ^[3]

Площадь, ограниченная гипоциклоидой, определяется как: ^{[4] [5]}

${\displaystyle A={\frac {(k-1)(k-2)}{k^{2}}}\pi R^{2}=(k-1)(k-2)\pi r^{2}}$

Длина дуги гипоциклоиды определяется выражением: ^[5]

${\displaystyle s={\frac {8(k-1)}{k}}R=8(k-1)r}$

Примеры [ править ]

• Примеры гипоциклоидов
• 

  k = 3 - дельтовидная

• 

  k = 4 - астроид

• k = 5

• k = 6

• к = 2,1 = 21/10

• к = 3,8 = 19/5

• к = 5,5 = 11/2

• к = 7,2 = 36/5

Гипоциклоида - это особый вид гипотрохоидов , представляющий собой особый вид рулетки .

Гипоциклоида с тремя бугорками называется дельтовидной .

Гипоциклоидная кривая с четырьмя выступами называется астроидом .

Гипоциклоида с двумя бугорками - это вырожденный, но все же очень интересный случай, известный как пара Туси .

Отношение к теории групп [ править ]

Любая гипоциклоида с интегральным значением k и, следовательно, k куспидов может плотно перемещаться внутри другой гипоциклоиды с k +1 куспидами, так что точки меньшей гипоциклоиды всегда будут в контакте с большей. Это движение выглядит как «перекатывание», хотя технически оно не перекатывается в смысле классической механики, поскольку включает в себя скольжение.

Гипоциклоидные формы могут быть связаны со специальными унитарными группами , обозначенными SU ( k ), которые состоят из k × k унитарных матриц с определителем 1. Например, допустимые значения суммы диагональных элементов для матрицы в SU (3) равны именно точки комплексной плоскости, лежащие внутри гипоциклоиды трех бугорков (дельтовидной). Точно так же суммирование диагональных элементов матриц SU (4) дает точки внутри астроиды и так далее.

Благодаря этому результату можно использовать тот факт, что SU ( k ) помещается внутри SU ( k + 1 ) в качестве подгруппы, чтобы доказать, что эпициклоида с k каспами плотно перемещается внутри группы с k +1 каспами. ^{[6] [7]}

Производные кривые [ править ]

Развертка из гипоциклоиды представляет собой увеличенный вариант самой гипоциклоиды, в то время как эвольвентные из гипоциклоиды является уменьшенной копией самой себя. ^[8]

Педали из гипоциклоиды с полюсом в центре гипоциклоиды является кривой розы .

Isoptic из гипоциклоиды является гипоциклоида.

Гипоциклоиды в массовой культуре [ править ]

Кривые, подобные гипоциклоидам, можно нарисовать с помощью игрушки спирографа . В частности, спирограф может рисовать гипотрохоиды и эпитрохоиды .

В Питтсбурге Стилерс логотип ", который основан на Steelmark , включает в себя три Astroids (гипоциклоиды четырех остриев ). В своей еженедельной колонке NFL.com «Вторник утром, защитник» Грегг Истербрук часто называет Стилерс Гипоциклоидами. Чилийская футбольная команда CD Huachipato создала свой герб на логотипе Steelers и, как таковой, имеет гипоциклоиды.

Первый сезон Дрю Кэри в сериале «Цена правильно » включает астроидов на трех главных дверях, гигантский ценник и площадку для проигрывателя виниловых пластинок. Астроиды на дверях и проигрывателе были удалены, когда шоу переключилось на трансляцию с высоким разрешением, начиная с 2008 года, и только гигантский ценник по-прежнему показывает их сегодня. ^[9]

См. Также [ править ]

• Рулетка (кривая)
• Особые случаи: пара Туси , Астроид , Дельтовидный
• Список периодических функций
• Циклогон
• Эпициклоида
• Гипотрохоид
• Эпитрохоид
• Спирограф
• Флаг Портленда, штат Орегон , с изображением гипоциклоиды ^[10]
• Гипоциклоидный двигатель Мюррея , использующий пару туси вместо кривошипа

Ссылки [ править ]

• Дж. Деннис Лоуренс (1972). Каталог специальных плоских кривых . Dover Publications. С.  168, 171–173 . ISBN 0-486-60288-5.

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме гипоциклоиды .

• Вайсштейн, Эрик В. «Гипоциклоида» . MathWorld .
• "Гипоциклоида" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. , "Гипоциклоида" , архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс.
• Бесплатный инструмент Javascript для создания гипоцилоидных кривых
• Анимация эпициклоид, перициклоид и гипоциклоид
• Сюжет Гипциклоиды - GeoFun
• Снайдер, Джон. "Сфера с туннельной брахистохроной" . Демонстрационный проект Вольфрама . Итеративная демонстрация брахистохромных свойств гипоциклоидов