Astroid

Astroid

Гипоциклоидная конструкция астроиды.

Астроид как общая оболочка семейства эллипсов уравнения , где .${\displaystyle x^{2/3}+y^{2/3}=r^{2/3}}$${\displaystyle (x/a)^{2}+(y/b)^{2}=r^{2}}$${\displaystyle a+b=1}$

Огибающая лестницы (цветные линии в правом верхнем квадранте), скользящая по вертикальной стене, и ее отражения (другие квадранты) представляют собой астроиду. Средние точки очерчивают круг, а другие точки - эллипсы, как на предыдущем рисунке. В файле SVG наведите указатель мыши на лестницу, чтобы выделить ее.

Астроид как эволюция эллипса

Астроида особая математическая кривая : а гипоциклоида с четырьмя остриями . В частности, это геометрическое место точки на окружности, когда она катится внутри фиксированной окружности с четырехкратным радиусом. ^[1] При двойном генерировании это также геометрическое место точки на окружности, поскольку она катится внутри фиксированной окружности с радиусом в 4/3 раза больше. Его также можно определить как огибающую линейного сегмента фиксированной длины, который перемещается, сохраняя конечную точку на каждой из осей. Следовательно, это оболочка движущегося стержня в Траммеле Архимеда .

Его современное название происходит от греческого слова « звезда ». Она была предложена Джозефом Иоганном фон Литтроу в 1838 году в форме «Astrois». ^{[2] [3]} Кривая имела множество названий, в том числе тетракуспид (используется до сих пор), кубоциклоида и парациклоид . По форме он почти идентичен эволюции эллипса.

Уравнения [ править ]

Если радиус фиксированного круга равен a, то уравнение имеет вид ^[4]

${\displaystyle x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}.\,}$

Это означает, что астроида также является суперэллипсом .

Параметрические уравнения являются

${\displaystyle {\begin{aligned}&x=a\cos ^{3}t={a \over 4}(3\cos t+\cos 3t),\\[6pt]&y=a\sin ^{3}t={a \over 4}(3\sin t-\sin 3t).\end{aligned}}}$

Уравнение педали относительно начала координат:

${\displaystyle r^{2}=a^{2}-3p^{2},}$

уравнение Уэвелл является

${\displaystyle s={3a \over 4}\cos 2\varphi ,}$

а уравнение Чезаро имеет вид

${\displaystyle R^{2}+4s^{2}={\frac {9a^{2}}{4}}.}$

Полярное уравнение является ^[5]

${\displaystyle r={\frac {a}{(\cos ^{2/3}\theta +\sin ^{2/3}\theta )^{3/2}}}.}$

Астроида является реальным локусом из плоских алгебраических кривых из рода нуля. Он имеет уравнение ^[6]

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}-a^{2})^{3}+27a^{2}x^{2}y^{2}=0.\,}$

Следовательно, астроида - это действительная алгебраическая кривая шестой степени.

Вывод полиномиального уравнения [ править ]

Полиномиальное уравнение может быть получено из уравнения Лейбница элементарной алгеброй:

${\displaystyle x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}.\,}$

Кубик с обеих сторон:

${\displaystyle x^{6/3}+3x^{4/3}y^{2/3}+3x^{2/3}y^{4/3}+y^{6/3}=a^{6/3}\,}$

${\displaystyle x^{2}+3x^{2/3}y^{2/3}(x^{2/3}+y^{2/3})+y^{2}=a^{2}\,}$

${\displaystyle x^{2}+y^{2}-a^{2}=-3x^{2/3}y^{2/3}(x^{2/3}+y^{2/3})\,}$

Снова нарежьте кубиками обе стороны:

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}-a^{2})^{3}=-27x^{2}y^{2}(x^{2/3}+y^{2/3})^{3}\,}$

Но с тех пор:

${\displaystyle x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}\,}$

Следует, что

${\displaystyle (x^{2/3}+y^{2/3})^{3}=a^{2}.\,}$

Следовательно:

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}-a^{2})^{3}=-27x^{2}y^{2}a^{2}\,}$

или же

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}-a^{2})^{3}+27x^{2}y^{2}a^{2}=0.\,}$

Свойства показателя [ править ]

Огороженная территория ^[7]

${\displaystyle {\frac {3}{8}}\pi a^{2}}$

Длина кривой

${\displaystyle 6a}$

Объем поверхности вращения ограждающей области относительно оси x .

${\displaystyle {\frac {32}{105}}\pi a^{3}}$

Площадь поверхности вращения относительно оси x

${\displaystyle {\frac {12}{5}}\pi a^{2}}$

Свойства [ править ]

Астроида имеет четыре точки возврата на реальной плоскости - точки на звезде. У него есть еще две сложные точки возврата на бесконечности и четыре сложные двойные точки, всего десять особенностей.

Двойные кривой к астроидам являются крестообразным кривым с уравнением эволютными из астроиды является астроидой в два раза больше.${\displaystyle \textstyle x^{2}y^{2}=x^{2}+y^{2}.}$

Астроида имеет только одну касательную в каждом ориентированном направлении, что делает ее примером ежа . ^[8]

См. Также [ править ]

• Кардиоидная (эпициклоида с одним куспидом)
• Нефроид (эпициклоида с двумя бугорками)
• Дельтовидная (гипоциклоида с тремя бугорками)
• Астроида Стонера – Вольфарта - использование этой кривой в магнетизме.
• Спирограф

Ссылки [ править ]

• Дж. Деннис Лоуренс (1972). Каталог специальных плоских кривых . Dover Publications. С.  4–5 , 34–35, 173–174. ISBN 0-486-60288-5.
• Уэллс Д. (1991). Словарь любопытной и интересной геометрии Penguin . Нью-Йорк: Книги Пингвина. С. 10–11. ISBN 0-14-011813-6.
• RC Yates (1952). «Астроид». Справочник по кривым и их свойствам . Анн-Арбор, Мичиган: Дж. У. Эдвардс. стр. 1 и след.

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме Astroid .

• "Astroid" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Астроид» . MathWorld .
• "Astroid" в архиве истории математики MacTutor
• "Astroid" в Энциклопедии замечательных математических форм
• Статья на 2dcurves.com
• Визуальный словарь специальных плоских кривых, Кса Ли
• Бары Astroid Шандора Кабая, Демонстрационный проект Вольфрама .