Эволют

Эволютная из кривой (синяя параболы) представляет собой геометрическое место всех его центров кривизны (красный).

Эволюция кривой (в данном случае эллипса) - это огибающая ее нормалей.

В дифференциальной геометрии кривых , то эволютный из кривого является локусом всех своих центров кривизны . То есть, когда центр кривизны каждой точки кривой нарисован, результирующая форма будет эволюцией этой кривой. Таким образом, эволюция круга - это единственная точка в его центре. ^[1] Эквивалентно, эволютная является огибающей из нормалей к кривой.

Эволюция кривой, поверхности или, в более общем смысле, подмногообразия - это каустика нормального отображения. Пусть M гладкое, регулярное подмногообразие в ℝ ^н . Каждой точке p в M и каждому вектору v , основанному на p и перпендикулярному M , мы связываем точку p + v . Это определяет лагранжево отображение , называемое нормальным отображением. Каустика нормального отображения является эволютой М . ^[2]

Эволюты тесно связаны с эвольвентами : кривая - это эволюция любой из ее эвольвент.

История [ править ]

Аполлоний ( ок. 200 г. до н . Э.) Обсуждал эволюции в Книге V своих Коников . Тем не менее, Гюйгенсу иногда приписывают то, что он первым изучил их (1673). Гюйгенс сформулировал свою теорию эволюций примерно в 1659 году, чтобы помочь решить проблему нахождения кривой таутохрон , которая, в свою очередь, помогла ему построить изохронный маятник. Это произошло потому, что кривая таутохрона является циклоидой , а циклоида обладает уникальным свойством, заключающимся в том, что ее эволюция также является циклоидой. На самом деле теория эволюций позволила Гюйгенсу достичь многих результатов, которые позже будут получены с помощью математического анализа. ^[3]

Эволюция параметрической кривой [ править ]

Если - параметрическое представление регулярной кривой на плоскости с ее кривизной в нигде 0 и ее радиусом кривизны и единичной нормалью, указывающей на центр кривизны, то${\ displaystyle {\ vec {x}} = {\ vec {c}} (t), \; t \ in [t_ {1}, t_ {2}]}$${\ Displaystyle \ rho (т)}$${\ Displaystyle {\ vec {п}} (т)}$

• ${\ displaystyle {\ vec {E}} (t) = {\ vec {c}} (t) + \ rho (t) {\ vec {n}} (t)}$

описывает эволюцию данной кривой.

Ибо и получается${\ Displaystyle {\ vec {c}} (т) = (х (т), у (т)) ^ {Т}}$${\ Displaystyle {\ vec {E}} = (X, Y) ^ {T}}$

• ${\displaystyle \displaystyle X(t)=x(t)-{\frac {y'(t)\cdot {\Big (}x'(t)^{2}+y'(t)^{2}{\Big )}}{x'(t)\cdot y''(t)-x''(t)\cdot y'(t)}}\quad }$ и

${\displaystyle \displaystyle Y(t)=y(t)+{\frac {x'(t)\cdot {\Big (}x'(t)^{2}+y'(t)^{2}{\Big )}}{x'(t)\cdot y''(t)-x''(t)\cdot y'(t)}}}$.

Свойства эволюции [ править ]

Нормаль в точке P - это касательная в центре кривизны C.

Чтобы получить свойства регулярной кривой, выгодно использовать длину дуги данной кривой в качестве ее параметра из-за и (см. Формулы Френе – Серре ). Следовательно, касательный вектор эволюции равен:${\displaystyle s}$${\displaystyle \;|{\vec {c}}'|=1\;}$${\displaystyle \;{\vec {n}}'=-{\vec {c}}'/\rho \;}$${\displaystyle \;{\vec {E}}={\vec {c}}+\rho {\vec {n}}\;}$

${\displaystyle {\vec {E}}'={\vec {c}}'+\rho '{\vec {n}}+\rho {\vec {n}}'=\rho '{\vec {n}}\ .}$

Из этого уравнения получаем следующие свойства эволюции:

• В точках с эволюцией не всегда . Это означает: в точках с максимальной или минимальной кривизной ( вершинах данной кривой) у эволюты есть куспиды (s. Парабола, эллипс, нефроид).${\displaystyle \rho '=0}$
• Для любой дуги эволюты, которая не включает куспид, длина дуги равна разнице между радиусами кривизны в ее конечных точках. Этот факт приводит к простому доказательству теоремы Тейта – Кнезера о вложенности соприкасающихся окружностей . ^[4]
• Нормали данной кривой в точках ненулевой кривизны касаются эволюты, а нормали кривой в точках нулевой кривизны являются асимптотами эволюты. Следовательно: эволюция - это огибающая нормалей данной кривой.
• На участках кривой с или кривая является эвольвентой своей эволюции. (На схеме: синяя парабола - это эвольвента красной полукубической параболы, которая на самом деле является эволюцией синей параболы.)${\displaystyle \rho '>0}$${\displaystyle \rho '<0}$

Доказательство последнего свойства:
пусть будет в разделе рассмотрения. Эвольвентная эволюта может быть описаны следующим образом :${\displaystyle \rho '>0}$

${\displaystyle {\vec {C}}_{0}={\vec {E}}-{\frac {{\vec {E}}'}{|{\vec {E}}'|}}\;{\Big (}\int _{0}^{s}|{\vec {E}}'(w)|\;\mathrm {d} w+l_{0}\;{\Big )}\;,}$

где - фиксированное расширение строки (см. Инвольта параметризованной кривой ). С и один получает ${\displaystyle l_{0}}$
${\displaystyle {\vec {E}}={\vec {c}}+\rho {\vec {n}}\;,\;{\vec {E}}'=\rho '{\vec {n}}}$${\displaystyle \rho '>0}$

${\displaystyle {\vec {C}}_{0}={\vec {c}}+\rho {\vec {n}}-{\vec {n}}\;{\Big (}\int _{0}^{s}\rho '(w)\;\mathrm {d} w\;+l_{0}{\Big )}={\vec {c}}+(\rho (0)-l_{0})\;{\vec {n}}\;.}$

Это означает: Для удлинения струны воспроизводится данная кривая.${\displaystyle l_{0}=\rho (0)}$

• Параллельные кривые имеют одинаковую эволюцию.

Доказательство: параллельная кривая на расстоянии от заданной кривой имеет параметрическое представление и радиус кривизны (см. Параллельную кривую ). Следовательно, эволюция параллельной кривой равна${\displaystyle d}$${\displaystyle {\vec {c}}_{d}={\vec {c}}+d{\vec {n}}}$${\displaystyle \rho _{d}=\rho -d}$${\displaystyle {\vec {E}}_{d}={\vec {c}}_{d}+\rho _{d}{\vec {n}}={\vec {c}}+d{\vec {n}}+(\rho -d){\vec {n}}={\vec {c}}+\rho {\vec {n}}={\vec {E}}\;.}$

Примеры [ править ]

Эволюция параболы [ править ]

Для параболы с параметрическим представлением из формул выше получаются уравнения:${\displaystyle (t,t^{2})}$

${\displaystyle X=\cdots =-4t^{3}}$

${\displaystyle Y=\cdots ={\frac {1}{2}}+3t^{2}\;,}$

который описывает полукубическую параболу

Эволюция эллипса [ править ]

Для эллипса с параметрическим представлением получаем: ^[5]${\displaystyle (a\cos t,b\sin t)}$

${\displaystyle X=\cdots ={\frac {a^{2}-b^{2}}{a}}\cos ^{3}t}$

${\displaystyle Y=\cdots ={\frac {b^{2}-a^{2}}{b}}\sin ^{3}t\;.}$

Это уравнения несимметричной астроиды . Исключение параметра приводит к неявному представлению${\displaystyle t}$

• ${\displaystyle (aX)^{\tfrac {2}{3}}+(bY)^{\tfrac {2}{3}}=(a^{2}-b^{2})^{\tfrac {2}{3}}\ .}$

Эволют циклоиды [ править ]

Для циклоиды с параметрическим представлением эволюция будет: ^[6]${\displaystyle (r(t-\sin t),r(1-\cos t))}$

${\displaystyle X=\cdots =r(t+\sin t)}$

${\displaystyle Y=\cdots =r(\cos t-1)}$

который описывает транспонированную копию самого себя.

Эволюты некоторых кривых [ править ]

Эволюция

• из параболы является полукубической параболы (см выше),
• из эллипса не является симметричной астроидой (смотрите выше),
• из линии является идеальным местом ,
• из нефроида является нефроида ( в два раза меньше, см диаграмму),
• из астроиды является астроида ( в два раза больше),
• из кардиоида является кардиоидной (одна треть , как большой),
• из круга является его центром,
• из дельтовидной является дельтовидной ( в три раза больше),
• из циклоиды является конгруэнтны циклоидами,
• из логарифмической спирали такой же логарифмическая спираль,
• из трактрисы является контактной сетью.

Радиальная кривая [ править ]

Кривая с аналогичным определением - это радиал данной кривой. Для каждой точки кривой возьмите вектор от точки к центру кривизны и перенесите его так, чтобы он начинался в начале координат. Тогда геометрическое место точек на концах таких векторов называется радиалом кривой. Уравнение для радиала получается удалением членов x и y из уравнения эволюции. Это производит

${\displaystyle (X,Y)=\left(-y'{\frac {{x'}^{2}+{y'}^{2}}{x'y''-x''y'}}\;,\;x'{\frac {{x'}^{2}+{y'}^{2}}{x'y''-x''y'}}\right)\;.}$

Ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Эволют» . MathWorld .
• Соколов Д.Д. (2001) [1994], "Эволют" , Математическая энциклопедия , EMS Press
• Йетс, Р.К.: Справочник по кривым и их свойствам , Дж. В. Эдвардс (1952), «Эволюты». стр. 86ff
• Эволют на 2d кривых.