Инволют

Две эвольвенты (красные) параболы

В математике , эвольвентный (также известный как эвольвенты ) представляет собой особый тип кривых , которая зависит от другой формы или кривым. Эвольвента кривой - это геометрическое место точки на отрезке натянутой струны, когда струна либо разворачивается, либо наматывается вокруг кривой. ^[1]

Это класс кривых, относящихся к семейству кривых рулетки .

Эволютное из эвольвенты является исходным кривым.

Понятия эвольвенты и эволюции кривой были введены Христианом Гюйгенсом в его работе, озаглавленной « Часы осциллятора сиве де моту маятник до часового дела» (1673). ^[2]

Эвольта параметризованной кривой [ править ]

Пусть - правильная кривая на плоскости с кривизной нигде 0 и , тогда кривая с параметрическим представлением${\ Displaystyle {\ vec {c}} (т), \; т \ ин [т_ {1}, т_ {2}]}$${\ Displaystyle а \ в (т_ {1}, т_ {2})}$

${\ displaystyle {\ vec {C}} _ ​​{a} (t) = {\ vec {c}} (t) - {\ frac {{\ vec {c}} '(t)} {| {\ vec {c}} '(t) |}} \; \ int _ {a} ^ {t} | {\ vec {c}}' (w) | \; dw}$

является эвольвентой данной кривой.

Доказательство Струна действует как касательная к кривой . Его длина изменяется на величину, равную длине пройденной дуги при намотке или разматывании. Длина дуги кривой, пройденной в интервале , определяется выражением${\ displaystyle {\ vec {c}} (т)}$${\ Displaystyle [а, т]}$ ${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {t} | {\ vec {c}} '(ш) | \; dw}$ где - начальная точка отсчета длины дуги. Поскольку касательный вектор здесь изображает туго натянутую струну, мы получаем вектор струны как${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle {\ frac {{\ vec {c}} '(t)} {| {\ vec {c}}' (t) |}} \; \ int _ {a} ^ {t} | {\ vec {c}} '(ш) | \; dw}$ Вектор, соответствующий конечной точке строки ( ), можно легко вычислить с помощью сложения векторов , и мы получим${\ Displaystyle {\ vec {C}} _ ​​{а} (т)}$ ${\ displaystyle {\ vec {C}} _ ​​{a} (t) = {\ vec {c}} (t) - {\ frac {{\ vec {c}} '(t)} {| {\ vec {c}} '(t) |}} \; \ int _ {a} ^ {t} | {\ vec {c}}' (w) | \; dw}$

Добавление произвольного, но фиксированного числа к интегралу приводит к получению эвольвенты, соответствующей растянутой нити (как клубок шерстяной пряжи, имеющий некоторую длину нити, уже свисающую до того, как она размотана). Следовательно, эвольвента может быть изменена постоянной и / или добавлением числа к интегралу (см. Инволюты полукубической параболы ).${\ displaystyle l_ {0}}$${\ Displaystyle {\ Bigl (} \ int _ {a} ^ {t} | {\ vec {c}} '(ш) | \; dw {\ Bigr)}}$${\ displaystyle l_ {0}}$${\ displaystyle a}$

Если получится${\ Displaystyle {\ vec {c}} (т) = (х (т), у (т)) ^ {Т}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}X(t)&=x(t)-{\frac {x'(t)}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}\int _{a}^{t}{\sqrt {x'(w)^{2}+y'(w)^{2}}}\,dw\\Y(t)&=y(t)-{\frac {y'(t)}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}\int _{a}^{t}{\sqrt {x'(w)^{2}+y'(w)^{2}}}\,dw\;.\end{aligned}}}$

Свойства эвольвент [ править ]

Инволют: свойства. Изображенные углы составляют 90 градусов.

Для того чтобы получить свойства регулярного кривой выгодно предположит , что длина дуги , чтобы быть параметром данных кривым, которые приводят к следующим упрощениям: а , с по кривизне и единичной нормали. Для эвольвенты получается:${\displaystyle s}$${\displaystyle \;|{\vec {c}}'(s)|=1\;}$${\displaystyle \;{\vec {c}}''(s)=\kappa (s){\vec {n}}(s)\;}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle {\vec {n}}}$

${\displaystyle {\vec {C}}_{a}(s)={\vec {c}}(s)-{\vec {c}}'(s)(s-a)\ }$ и

${\displaystyle {\vec {C}}_{a}'(s)=-{\vec {c}}''(s)(s-a)=-\kappa (s){\vec {n}}(s)(s-a)\;}$

и заявление:

• В точке эвольвента нерегулярна (потому что ),${\displaystyle {\vec {C}}_{a}(a)}$${\displaystyle |{\vec {C}}_{a}'(a)|=0}$

и из следующего:${\displaystyle \;{\vec {C}}_{a}'(s)\cdot {\vec {c}}'(s)=0\;}$

• Нормаль эвольвенты в точке - это касательная к данной кривой в точке .${\displaystyle {\vec {C}}_{a}(s)}$${\displaystyle {\vec {c}}(s)}$
• Эвольвенты - это параллельные кривые , потому что это нормаль на единицу .${\displaystyle {\vec {C}}_{a}(s)={\vec {C}}_{0}(s)+a{\vec {c}}'(s)}$${\displaystyle {\vec {c}}'(s)}$${\displaystyle {\vec {C}}_{0}(s)}$

Примеры [ править ]

Эвволы круга [ править ]

Для окружности с параметрическим представлением , один имеет . Отсюда и длина пути . ${\displaystyle (r\cos(t),r\sin(t))}$${\displaystyle {\vec {c}}'(t)=(-r\sin t,r\cos t)}$${\displaystyle |{\vec {c}}'(t)|=r}$${\displaystyle r(t-a)}$

Оценивая приведенное выше уравнение эвольвенты, получаем

${\displaystyle {\begin{aligned}X(t)&=r(\cos t+(t-a)\sin t)\\Y(t)&=r(\sin t-(t-a)\cos t)\end{aligned}}}$

для параметрического уравнения эвольвенты окружности.

Термин не является обязательным; он служит для установки начального положения кривой на окружности. На рисунке показаны эвольвенты (зеленый), (красный), (фиолетовый) и (голубой). Эвольвенты похожи на спирали Архимеда , но на самом деле это не так.${\displaystyle a}$${\displaystyle a=-0.5}$${\displaystyle a=0}$${\displaystyle a=0.5}$${\displaystyle a=1}$

Длиной дуги для и эвольвент является${\displaystyle a=0}$${\displaystyle 0\leq t\leq t_{2}}$

${\displaystyle L={\frac {r}{2}}t_{2}^{2}.}$

Эвволы полукубической параболы [ править ]

Параметрическое уравнение описывает полукубическую параболу . От одного получает и . Расширение строки значительно упрощает дальнейшие вычисления, и мы получаем${\displaystyle {\vec {c}}(t)=({\tfrac {t^{3}}{3}},{\tfrac {t^{2}}{2}})}$${\displaystyle {\vec {c}}'(t)=(t^{2},t)}$${\displaystyle |{\vec {c}}'(t)|=t{\sqrt {t^{2}+1}}}$${\displaystyle \int _{0}^{t}w{\sqrt {w^{2}+1}}\,dw={\frac {1}{3}}{\sqrt {t^{2}+1}}^{3}-{\frac {1}{3}}}$${\displaystyle l_{0}={1 \over 3}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}X(t)&=-{\frac {t}{3}}\\Y(t)&={\frac {t^{2}}{6}}-{\frac {1}{3}}.\end{aligned}}}$

Исключение t выходов показывает, что эта эвольвента является параболой . ${\displaystyle Y={\frac {3}{2}}X^{2}-{\frac {1}{3}},}$

Остальные эвольвенты, таким образом, являются параллельными кривыми параболы, а не параболами, поскольку они являются кривыми шестой степени (см. Параллельная кривая § Другие примеры ).

Эвволы контактной сети [ править ]

Для цепной линии касательный вектор равен , и, как и его длина . Таким образом, длина дуги от точки (0, 1) равна ${\displaystyle (t,\cosh t)}$${\displaystyle {\vec {c}}'(t)=(1,\sinh t)}$${\displaystyle 1+\sinh ^{2}t=\cosh ^{2}t,}$${\displaystyle |{\vec {c}}'(t)|=\cosh t}$${\displaystyle \textstyle \int _{0}^{t}\cosh w\,dw=\sinh t.}$

Следовательно, эвольвента, начинающаяся с точки (0, 1) , параметризуется как

${\displaystyle (t-\tanh t,1/\cosh t),}$

и, таким образом, является трактрисом .

Остальные эвольвенты не являются трактрисами, поскольку представляют собой параллельные кривые трактрисы.

Эвволы циклоиды [ править ]

Параметрическое представление описывает циклоиду . Из , получается (после использования некоторых тригонометрических формул)${\displaystyle {\vec {c}}(t)=(t-\sin t,1-\cos t)}$${\displaystyle {\vec {c}}'(t)=(1-\cos t,\sin t)}$

${\displaystyle |{\vec {c}}'(t)|=2\sin {\frac {t}{2}},}$

и

${\displaystyle \int _{\pi }^{t}2\sin {\frac {w}{2}}\,dw=-4\cos {\frac {t}{2}}.}$

Следовательно, уравнения соответствующей эвольвенты имеют вид

${\displaystyle X(t)=t+\sin t,}$

${\displaystyle Y(t)=3+\cos t,}$

которые описывают смещенную красную циклоиду диаграммы. Следовательно

• Эвольвенты циклоиды - это параллельные кривые циклоиды.${\displaystyle (t-\sin t,1-\cos t)}$

${\displaystyle (t+\sin t,3+\cos t).}$

(Параллельные кривые циклоиды не являются циклоидами.)

Эволюция и эволюция [ править ]

Эволютная данной кривой состоит из кривизны центров . Между эвольвентами и эволютами справедливо следующее утверждение: ^{[3] [4]}${\displaystyle c_{0}}$${\displaystyle c_{0}}$

Кривая - это эволюция любой из ее эвольвент.

Заявление [ править ]

Эвольвента имеет некоторые свойства, которые делают ее чрезвычайно важной для зубчатой промышленности: если две зацепленные шестерни имеют зубья с формой профиля эвольвенты (а не, например, традиционной треугольной формы), они образуют эвольвентную зубчатую систему. Их относительная скорость вращения постоянна, пока зубья находятся в зацеплении. Шестерни также всегда контактируют по единой устойчивой силовой линии. У зубьев другой формы относительные скорости и силы повышаются и уменьшаются по мере зацепления последовательных зубцов, что приводит к вибрации, шуму и чрезмерному износу. По этой причине почти все современные зубья шестерен имеют эвольвентную форму. ^[5]

Эвольвента круга также является важной формой при сжатии газа , поскольку спиральный компрессор может быть построен на основе этой формы. Спиральные компрессоры издают меньше шума, чем обычные компрессоры, и доказали свою эффективность .

В реакторе с изотопом с высоким потоком используются тепловыделяющие элементы эвольвентной формы, поскольку они обеспечивают канал постоянной ширины между ними для охлаждающей жидкости.

См. Также [ править ]

• Эволют
• Спиральный компрессор
• Эвольвентная передача
• Рулетка (кривая)

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Эвольвент в MathWorld