Кривизна

Воспроизвести медиа

Мигрирующая клетка Dictyostelium discoideum дикого типа , границы которой окрашены кривизной. Масштабная линейка: 5 мкм.

В математике , кривизна является одной из нескольких сильно связанных понятий в геометрии . Интуитивно, кривизна - это величина, на которую кривая отклоняется от прямой линии или поверхность отклоняется от плоскости .

Для кривых каноническим примером является окружность , кривизна которой равна обратной величине ее радиуса . Меньшие круги изгибаются более резко и, следовательно, имеют большую кривизну. Кривизны в точке о наличии дифференцируемой кривой кривизна ее соприкасающейся окружности , то есть круг , который лучше всего аппроксимирует кривую вблизи этой точки. Кривизна прямой равна нулю. Кривизна кривой в точке обычно является скалярной величиной, то есть выражается одним действительным числом .

Для поверхностей (и, в более общем смысле, для многомерных многообразий ), которые вложены в евклидово пространство , понятие кривизны более сложное, поскольку оно зависит от выбора направления на поверхности или многообразии. Это приводит к понятиям максимальной кривизны , минимальной кривизны и средней кривизны .

Для римановых многообразий (размерности не менее двух), которые не обязательно вложены в евклидово пространство, можно определить кривизну внутренне , то есть без ссылки на внешнее пространство. См преобразования кривизны для определения, что делается в терминах длин кривых прослежены на многообразии, и выражается с использованием линейной алгебры , с помощью тензора кривизны Римана .

История [ править ]

В Tractatus de configurationibus qualitatum et motuum ^[1] философ и математик 14-го века Николь Орем вводит понятие кривизны как меры отклонения от прямолинейности, для окружностей он имеет кривизну как обратно пропорциональную радиусу и пытается расширить ее до другие кривые как непрерывно меняющиеся величины. ^[2]

Кривизна дифференцируемой кривой первоначально определялась через соприкасающиеся окружности . В этой постановке Огюстен-Луи Коши показал, что центр кривизны - это точка пересечения двух бесконечно близких нормальных линий к кривой. ^[3]

Плоские кривые [ править ]

Интуитивно, кривизна описывает для любой части кривого , сколько направления кривых изменений за небольшое расстояние (например , угол в рад / м ), так что это мера мгновенной скорости изменения в направлении точки , которая перемещается по кривая: чем больше кривизна, тем больше скорость изменения. Другими словами, кривизна измеряет, насколько быстро вращается единичный касательный вектор к кривой ^[4] (быстро с точки зрения положения кривой). Фактически, можно доказать, что эта мгновенная скорость изменения и есть кривизна. Точнее, предположим, что точка движется по кривой с постоянной скоростью в одну единицу, то есть положение точки P ( s )является функцией параметра s , который можно рассматривать как время или длину дуги от заданного начала координат. Пусть Т ( ы ) быть единичный касательный вектор кривой в Р ( ы ) , который также является производным от Р ( х ) относительно х . Тогда производная T ( s ) по s - это вектор, нормальный к кривой, длина которого равна кривизне.

Для того чтобы иметь смысл, определение кривизны и ее различные характеристики требуют, чтобы кривая была непрерывно дифференцируемой вблизи P , так как касательная к ней непрерывно изменяется; также требуется, чтобы кривая была дважды дифференцируемой в точке P , чтобы гарантировать существование соответствующих пределов и производной T ( s ) .

Определение кривизны в терминах производной единичного касательного вектора, вероятно, менее интуитивно понятно, чем определение в терминах соприкасающейся окружности, но формулы для вычисления кривизны легче вывести. Поэтому, а также из-за ее использования в кинематике , эта характеристика часто приводится как определение кривизны.

Оскулирующий круг [ править ]

Исторически кривизна дифференцируемой кривой определялась через соприкасающийся круг , который лучше всего приближает кривую в точке. Более точно, для данной точки Р на кривой, каждая другая точка Q кривой определяет круг (или иногда линию) , проходящую через Q и касательной к кривой в Р . Соприкасающаяся окружность есть предел , если он существует, из этого круга , когда Q стремится к P . Тогда центр и радиус кривизны кривой в точке P- центр и радиус соприкасающегося круга. Кривизна обратно пропорциональна радиусу кривизны. То есть кривизна

${\ displaystyle \ kappa = {\ frac {1} {R}},}$

где R - радиус кривизны ^[5] (вся окружность имеет эту кривизну, ее можно прочитать как поворот 2π на длине 2π R ).

Этим определением трудно манипулировать и выразить в формулах. Поэтому были введены другие эквивалентные определения.

Что касается параметризации длины дуги [ править ]

Каждую дифференцируемую кривую можно параметризовать по длине дуги . ^[6] В случае плоской кривой это означает существование параметризации γ ( s ) = ( x ( s ), y ( s )) , где x и y - действительные дифференцируемые функции, производные которых удовлетворяют

${\displaystyle \|{\boldsymbol {\gamma }}'\|={\sqrt {x'(s)^{2}+y'(s)^{2}}}=1.}$

Это означает, что касательный вектор

${\displaystyle \mathbf {T} (s)={\bigl (}x'(s),y'(s){\bigr )}}$

имеет норму, равную единице, и, следовательно, является единичным касательным вектором .

Если кривая дважды дифференцируема, то есть если существуют вторые производные x и y , то существует производная T ( s ) . Этот вектор перпендикулярен кривой, его норма - кривизна κ ( s ) , и он ориентирован к центру кривизны. То есть,

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {T} (s)={\boldsymbol {\gamma }}'(s),\\&\mathbf {T} ^{2}(s)=1\ {\text{(constant)}}\implies \mathbf {T} '(s)\cdot \mathbf {T} (s)=0\\&\kappa (s)=\|\mathbf {T} '(s)\|=\|{\boldsymbol {\gamma }}''(s)\|={\sqrt {x''(s)^{2}+y''(s)^{2}}}\\\end{aligned}}}$

Более того, поскольку радиус кривизны

${\displaystyle R(s)={\frac {1}{\kappa (s)}},}$

а центр кривизны - перпендикулярно кривой, центр кривизны - точка

${\displaystyle \mathbf {C} (s)={\boldsymbol {\gamma }}(s)+{\frac {1}{\kappa (s)^{2}}}\mathbf {T} '(s).}$

Если N ( s ) - единичный вектор нормали, полученный из T ( s ) вращением против часовой стрелкиπ/2, тогда

${\displaystyle \mathbf {T} '(s)=k(s)\mathbf {N} (s),}$

где k ( s ) = ± κ ( s ) . Действительное число k ( s ) называется ориентированной кривизной или кривизной со знаком . Это зависит как от ориентации плоскости (определение против часовой стрелки), так и от ориентации кривой, обеспечиваемой параметризацией. Фактически, изменение переменной s → - s обеспечивает другую параметризацию длины дуги и меняет знак k ( s ) .

С точки зрения общей параметризации [ править ]

Пусть γ ( t ) = ( x ( t ), y ( t )) - собственное параметрическое представление дважды дифференцируемой плоской кривой. Здесь собственно означает, что в области определения параметризации производнаяd γ/dtопределен, дифференцируем и нигде не равен нулевому вектору.

При такой параметризации кривизна со знаком равна

${\displaystyle k={\frac {x'y''-y'x''}{\left({x'}^{2}+{y'}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},}$

где штрихи относятся к производным по t . Таким образом, кривизна κ равна

${\displaystyle \kappa ={\frac {|x'y''-y'x''|}{\left({x'}^{2}+{y'}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}.}$

Их можно безкоординатно выразить как

${\displaystyle k={\frac {\det({\boldsymbol {\gamma }}',{\boldsymbol {\gamma }}'')}{\|{\boldsymbol {\gamma }}'\|^{3}}},\qquad \kappa ={\frac {|\det({\boldsymbol {\gamma }}',{\boldsymbol {\gamma }}'')|}{\|{\boldsymbol {\gamma }}'\|^{3}}}.}$

Эти формулы могут быть получены из частного случая параметризации длины дуги следующим образом. Вышеупомянутое условие параметризации подразумевает, что длина дуги s является дифференцируемой монотонной функцией параметра t , и наоборот, что t является монотонной функцией s . Более того, изменяя, если необходимо, s на - s , можно предположить, что эти функции возрастают и имеют положительную производную. Используя обозначения предыдущего раздела и цепное правило , мы имеем

${\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {\gamma }}}{dt}}={\frac {ds}{dt}}\mathbf {T} ,}$

и, таким образом, принимая норму обеих сторон

${\displaystyle {\frac {dt}{ds}}={\frac {1}{\|{\boldsymbol {\gamma }}'\|}},}$

где штрих означает дифференцирование по t .

Кривизна - это норма производной T по s . Используя приведенную выше формулу и правило цепочки, эту производную и ее норму можно выразить только через γ ' и γ ″ , с полностью исключенным параметром длины дуги s , что дает приведенные выше формулы для кривизны.

График функции [ править ]

График функции у = ф ( х ) , является частным случаем параметризованном кривой, формы

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=t\\y&=f(t).\end{aligned}}}$

Поскольку первая и вторая производные от x равны 1 и 0, предыдущие формулы упрощаются до

${\displaystyle \kappa ={\frac {|y''|}{\left(1+{y'}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},}$

для кривизны, и для

${\displaystyle k={\frac {y''}{\left(1+{y'}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},}$

для подписанной кривизны.

В общем случае кривой знак кривизны со знаком как-то произвольный, так как он зависит от ориентации кривой. В случае графика функции существует естественная ориентация за счет увеличения значений x . Это делает значимым признак подписанной кривизны.

Знак кривизны со знаком такой же, как знак второй производной от f . Если он положительный, то график имеет вогнутость вверх, а если он отрицательный, график имеет вогнутость вниз. Он равен нулю, значит, есть точка перегиба или точка волнистости .

Когда наклон графика (то есть производная функции) мал, кривизна со знаком хорошо аппроксимируется второй производной. Точнее, используя большие обозначения O ,

${\displaystyle k(x)=y''+O\left({y'}^{2}\right).}$

В физике и технике принято аппроксимировать кривизну второй производной, например, в теории пучков или для вывода волнового уравнения натянутой струны, а также в других приложениях, где используются небольшие уклоны. Это часто позволяет системы, которые в противном случае нелинейными следует рассматривать как линейные.

Полярные координаты [ править ]

Если кривая определяется в полярных координатах радиусом, выраженным как функция полярного угла, то есть r является функцией θ , то ее кривизна равна

${\displaystyle \kappa (\theta )={\frac {\left|r^{2}+2{r'}^{2}-r\,r''\right|}{\left(r^{2}+{r'}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}}$

где штрих относится к дифференцированию по θ .

Это следует из формулы для общих параметризаций с учетом параметризации

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r(\theta )\cos \theta \\y&=r(\theta )\sin \theta \end{aligned}}}$

Неявная кривая [ править ]

Для кривой, заданной неявным уравнением F ( x , y ) = 0 с частными производными, обозначенными F _x , F _y , F _xx , F _xy , F _yy , кривизна задается формулой ^[7]

${\displaystyle \kappa ={\frac {\left|F_{y}^{2}F_{xx}-2F_{x}F_{y}F_{xy}+F_{x}^{2}F_{yy}\right|}{\left(F_{x}^{2}+F_{y}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}.}$

Кривизна со знаком не определена, поскольку она зависит от ориентации кривой, которая не обеспечивается неявным уравнением. Кроме того , изменение F в - F не изменяет кривой, но меняет знак числителя , если абсолютное значение опущено в предыдущей формуле.

Точка кривой, в которой F _x = F _y = 0, является особой точкой , что означает, что кривая не дифференцируема в этой точке, и, следовательно, кривизна не определена (чаще всего точка является либо точкой пересечения, либо бугорок ).

Вышеупомянутая формула для кривизны может быть получена из выражения кривизны графика функции с помощью теоремы о неявной функции и того факта, что на такой кривой выполняется

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {F_{x}}{F_{y}}}.}$

Примеры [ править ]

Может быть полезно проверить на простых примерах, что разные формулы, приведенные в предыдущих разделах, дают одинаковый результат.

Круг [ править ]

Обычная параметризация окружности радиуса r : γ ( t ) = ( r cos t , r sin t ) . Формула кривизны дает

${\displaystyle k(t)={\frac {r^{2}\sin ^{2}t+r^{2}\cos ^{2}t}{(r^{2}\cos ^{2}t+r^{2}\sin ^{2}t)^{\frac {3}{2}}}}={\frac {1}{r}}.}$

Из этого следует, как и ожидалось, что радиус кривизны - это радиус окружности, а центр кривизны - это центр окружности.

Круг - это редкий случай, когда параметризацию длины дуги легко вычислить, так как это

${\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }}(s)=\left(r\cos {\frac {s}{r}},r\sin {\frac {s}{r}}\right).}$

Это параметризация длины дуги, поскольку норма

${\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }}'(s)=\left(-\sin {\frac {s}{r}},\cos {\frac {s}{r}}\right)}$

равно единице. Эта параметризация дает одно и то же значение кривизны, поскольку оно равно делению на r ³ как в числителе, так и в знаменателе в предыдущей формуле.

Тот же круг может быть задан неявным уравнением F ( x , y ) = 0 с F ( x , y ) = x ² + y ² - r ² . Тогда формула для кривизны в этом случае дает

${\displaystyle {\begin{aligned}\kappa &={\frac {\left|F_{y}^{2}F_{xx}-2F_{x}F_{y}F_{xy}+F_{x}^{2}F_{yy}\right|}{\left(F_{x}^{2}+F_{y}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\\&={\frac {8y^{2}+8x^{2}}{\left(4x^{2}+4y^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\\&={\frac {8r^{2}}{\left(4r^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}={\frac {1}{r}}.\end{aligned}}}$

Парабола [ править ]

Рассмотрим параболу y = ax ² + bx + c .

Это график функции с производной 2 ax + b и второй производной 2 a . Итак, кривизна со знаком

${\displaystyle k(x)={\frac {2a}{\left(1+\left(2ax+b\right)^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}.}$

Он имеет знак a для всех значений x . Это означает, что при a > 0 вогнутость всюду направлена ​​вверх; если а <0 , вогнутость направлена ​​вниз; при a = 0 кривизна везде равна нулю, что подтверждает вырождение параболы в прямую в этом случае.

(Беззнаковая) кривизна максимальна при x = -б/2 а, то есть в стационарной точке (нулевой производной) функции, являющейся вершиной параболы.

Рассмотрим параметризацию γ ( t ) = ( t , at ² + bt + c ) = ( x , y ) . Первая производная x равна 1 , а вторая производная равна нулю. Подстановка в формулу для общей параметризации дает точно такой же результат, как и выше, с заменой x на t . Если использовать простые числа для производных по параметру t .

Та же парабола также может быть определена неявным уравнением F ( x , y ) = 0 с F ( x , y ) = ax ² + bx + c - y . Поскольку F _y = –1 и F _yy = F _xy = 0 , можно получить точно такое же значение для (беззнаковой) кривизны. Однако знаковая кривизна здесь бессмысленна, поскольку - F ( x , y ) = 0 является действительным неявным уравнением для той же параболы, которая дает противоположный знак кривизне.

Формулы Френе – Серре для плоских кривых [ править ]

Выражение кривизны В терминах параметризации длины дуги - это, по сути, первая формула Френе – Серре.

${\displaystyle \mathbf {T} '(s)=\kappa (s)\mathbf {N} (s),}$

где штрихи относятся к производным по длине дуги s , а N ( s ) - нормальный единичный вектор в направлении T '(s) .

Поскольку плоские кривые имеют нулевое кручение , вторая формула Френе – Серре дает соотношение

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {N} }{ds}}&=-\kappa \mathbf {T} ,\\&=-\kappa {\frac {d{\boldsymbol {\gamma }}}{ds}}.\end{aligned}}}$

Для общей параметризации параметром t нужны выражения, включающие производные по t . Поскольку они получены умножением наds/dtпроизводные по s для любой надлежащей параметризации

${\displaystyle \mathbf {N} '(t)=-\kappa (t){\boldsymbol {\gamma }}'(t).}$

Космические кривые [ править ]

Как и в случае кривых в двух измерениях, кривизна регулярной пространственной кривой C в трех измерениях (и выше) представляет собой величину ускорения частицы, движущейся с единичной скоростью по кривой. Таким образом, если γ ( s ) является параметризацией C длиной дуги, то единичный касательный вектор T ( s ) задается формулой

${\displaystyle \mathbf {T} (s)={\boldsymbol {\gamma }}'(s)}$

а кривизна - это величина ускорения:

${\displaystyle \kappa (s)=\|\mathbf {T} '(s)\|=\|{\boldsymbol {\gamma }}''(s)\|.}$

Направление ускорения - это единичный вектор нормали N ( s ) , который определяется формулой

${\displaystyle \mathbf {N} (s)={\frac {\mathbf {T} '(s)}{\|\mathbf {T} '(s)\|}}.}$

Плоскость, содержащая два вектора T ( s ) и N ( s ), является плоскостью соприкосновения с кривой в точке γ ( s ) . Кривизна имеет следующую геометрическую интерпретацию. В соприкасающейся плоскости существует окружность, касательная к γ ( s ), чей ряд Тейлора до второго порядка в точке контакта совпадает с рядом Тейлора γ ( s ) . Это соприкасающийся круг кривой. Радиус окружности R ( s ) называется радиусомрадиус кривизны , а кривизна обратна радиусу кривизны:

${\displaystyle \kappa (s)={\frac {1}{R(s)}}.}$

Касательная, кривизна и вектор нормали вместе описывают поведение кривой второго порядка вблизи точки. В трех измерениях поведение кривой третьего порядка описывается связанным понятием кручения , которое измеряет степень, в которой кривая имеет тенденцию перемещаться по спиральной траектории в пространстве. Кручение и кривизна связаны формулами Френе – Серре (в трех измерениях) и их обобщением (в более высоких измерениях).

Общие выражения [ править ]

Для параметрически определенной пространственной кривой в трех измерениях, заданной в декартовых координатах как γ ( t ) = ( x ( t ), y ( t ), z ( t )) , кривизна равна

${\displaystyle \kappa ={\frac {\sqrt {\left(z''y'-y''z'\right)^{2}+\left(x''z'-z''x'\right)^{2}+\left(y''x'-x''y'\right)^{2}}}{\left({x'}^{2}+{y'}^{2}+{z'}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},}$

где штрих означает дифференцирование по параметру t . Это можно выразить независимо от системы координат с помощью формулы

${\displaystyle \kappa ={\frac {\|{\boldsymbol {\gamma }}'\times {\boldsymbol {\gamma }}''\|}{\|{\boldsymbol {\gamma }}'\|^{3}}}}$

где × обозначает векторное произведение . Эквивалентно,

${\displaystyle \kappa ={\frac {\sqrt {\det \left(\left({\boldsymbol {\gamma }}'\times {\boldsymbol {\gamma }}''\right)^{\mathsf {T}}(\gamma '\times \gamma '')\right)}}{\|{\boldsymbol {\gamma }}'\|^{3}}}={\frac {\sqrt {\|{\boldsymbol {\gamma }}'\|^{2}\|{\boldsymbol {\gamma }}''\|^{2}-\left({\boldsymbol {\gamma }}'\cdot {\boldsymbol {\gamma }}''\right)^{2}}}{\|{\boldsymbol {\gamma }}'\|^{3}}}.}$

Здесь T обозначает матрицу, транспонированную вектора. Эта последняя формула (без перекрестного произведения) также верна для кривизны кривых в евклидовом пространстве любой размерности.

Кривизна дуги и длина хорды [ править ]

Принимая во внимание две точки P и Q на С , давайте с ( P , Q ) длина дуги участка кривой между P и Q и пусть д ( Р , Q ) обозначает длину отрезка от Р до Q . Кривизна C в точке P задается пределом ^{[ необходимая ссылка ]}

${\displaystyle \kappa (P)=\lim _{Q\to P}{\sqrt {\frac {24{\bigl (}s(P,Q)-d(P,Q){\bigr )}}{s(P,Q)^{3}}}}}$

где предел берется как точка Q приближается к P на C . Знаменатель также можно принять равным d ( P , Q ) ³ . Формула действительна в любом измерении. Кроме того, рассматривая предел независимо друг от друга по обе стороне от Р , такое определение кривизны иногда может вместить особенность в Р . Формула следует путем проверки ее на соприкасающийся круг.

Поверхности [ править ]

Кривизна кривых, нарисованных на поверхности, является основным инструментом для определения и изучения кривизны поверхности.

Кривые на поверхностях [ править ]

Для кривой, нарисованной на поверхности (внедренной в трехмерное евклидово пространство ), определены несколько кривизны, которая связывает направление кривизны с единичным вектором нормали к поверхности , включая:

• нормальная кривизна
• геодезическая кривизна
• геодезическое кручение

Любая неособая кривая на гладкой поверхности имеет касательный вектор T, лежащий в касательной плоскости поверхности. Нормальная кривизна , к _п , кривизна кривой проекции на плоскость , содержащую касательную кривой в Т и нормали к поверхности U ; геодезическая кривизна , к _г , есть кривизна кривой проецируются на касательную плоскость поверхности в; а геодезическое кручение (или относительное кручение ) τ _r измеряет скорость изменения нормали к поверхности вокруг касательной к кривой.

Пусть кривая параметризована по длине дуги и пусть t = u × T, так что T , t , u образуют ортонормированный базис , называемый репером Дарбу . Вышеуказанные количества связаны между собой:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathbf {T} '\\\mathbf {t} '\\\mathbf {u} '\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&\kappa _{\mathrm {g} }&\kappa _{\mathrm {n} }\\-\kappa _{\mathrm {g} }&0&\tau _{\mathrm {r} }\\-\kappa _{\mathrm {n} }&-\tau _{\mathrm {r} }&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{pmatrix}}}$

Основная кривизна [ править ]

Все кривые на поверхности с одним и тем же касательным вектором в данной точке будут иметь одинаковую нормальную кривизну, которая совпадает с кривизной кривой, полученной путем пересечения поверхности с плоскостью, содержащей T и u . Взяв все возможные касательные векторы, максимальное и минимальное значения нормальной кривизны в точке называются главными кривизнами , k ₁ и k ₂ , а направления соответствующих касательных векторов называются направлениями главных нормалей .

Нормальные разделы [ править ]

Кривизну можно оценить вдоль нормальных участков поверхности , аналогично § Кривые на поверхностях выше (см., Например, радиус кривизны Земли ).

Гауссова кривизна [ править ]

В отличие от кривых, которые не имеют внутренней кривизны, но имеют внешнюю кривизну (у них есть только кривизна, заданная вложением), поверхности могут иметь внутреннюю кривизну, независимо от вложения. Гауссова кривизна , названный в честь Гаусс , равна произведению главных кривизн, K ₁ K ₂ . Он имеет размерность ⁻² и положителен для сфер , отрицателен для однополостных гиперболоидов и равен нулю для плоскостей. Он определяет, является ли поверхность локально выпуклой (когда она положительная) или локально седловидной (когда она отрицательная).

Гауссова кривизна является внутренним свойством поверхности, то есть не зависит от конкретного погружения поверхности; интуитивно это означает, что муравьи, живущие на поверхности, могут определять гауссову кривизну. Например, муравей, живущий на сфере, может измерить сумму внутренних углов треугольника и определить, что он больше 180 градусов, подразумевая, что пространство, в котором он обитает, имеет положительную кривизну. С другой стороны, муравей, живущий на цилиндре, не обнаружит такого отклонения от евклидовой геометрии ; в частности, муравей не смог обнаружить, что две поверхности имеют разную среднюю кривизну (см. ниже), что является чисто внешним типом кривизны.

Формально гауссова кривизна зависит только от римановой метрики поверхности. Это Gauss «празднуется Theorema Egregium , который он нашел в то время как касается географических исследований и картографии.

Внутреннее определение гауссовой кривизны в точке P следующее: представьте себе муравья, привязанного к P короткой нитью длины r . Она проходит вокруг P в то время как поток полностью растягивается и измеряет длину С ( г ) одного полного поездки по P . Если бы поверхность была плоской, муравей нашел бы C ( r ) = 2π r . На искривленных поверхностях формула для C ( r ) будет другой, а гауссова кривизна K в точке P может быть вычислена с помощьюТеорема Бертрана – Диге – Пюизо в виде

${\displaystyle K=\lim _{r\to 0^{+}}3\left({\frac {2\pi r-C(r)}{\pi r^{3}}}\right).}$

Интеграл гауссовой кривизны по всей поверхности тесно связан с поверхностью в эйлеровой характеристику ; см. теорему Гаусса – Бонне .

Дискретный аналог кривизны, соответствующий сосредоточению кривизны в точке и особенно полезный для многогранников , - это (угловой) дефект ; аналогом теоремы Гаусса – Бонне является теорема Декарта о полном угловом дефекте .

Поскольку (гауссова) кривизна может быть определена без ссылки на пространство вложения, нет необходимости, чтобы поверхность была вложена в пространство более высокой размерности, чтобы она могла быть искривленной. Такая внутренне искривленная двумерная поверхность является простым примером риманова многообразия .

Средняя кривизна [ править ]

Средняя кривизна - это внешняя мера кривизны, равная половине суммы главных кривизны ,к ₁ + к ₂/2. Он имеет размерность ^-1 . Средняя кривизна тесно связана с первым изменением площади поверхности . В частности, минимальная поверхность, такая как мыльная пленка, имеет нулевую среднюю кривизну, а мыльный пузырь имеет постоянную среднюю кривизну. В отличие от кривизны Гаусса, средняя кривизна является внешней и зависит от вложения, например, цилиндр и плоскость локально изометричны, но средняя кривизна плоскости равна нулю, а кривизна цилиндра отлична от нуля.

Вторая основная форма [ править ]

Внутренняя и внешняя кривизна поверхности может быть объединена во второй фундаментальной форме. Это квадратичная форма в касательной плоскости к поверхности в точке, значение которой в конкретном касательном векторе X к поверхности является нормальной составляющей ускорения кривой вдоль поверхности, касательной к X ; то есть, это нормальная кривизна кривой, касательной к X (см. выше ). Символично,

${\displaystyle \operatorname {I\!I} (\mathbf {X} ,\mathbf {X} )=\mathbf {N} \cdot (\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {X} )}$

где N - единица нормали к поверхности. Для единичных касательных векторов X вторая основная форма принимает максимальное значение k ₁ и минимальное значение k ₂ , которые возникают в главных направлениях u ₁ и u ₂ , соответственно. Таким образом, по теореме о главной оси вторая фундаментальная форма имеет вид

${\displaystyle \operatorname {I\!I} (\mathbf {X} ,\mathbf {X} )=k_{1}\left(\mathbf {X} \cdot \mathbf {u} _{1}\right)^{2}+k_{2}\left(\mathbf {X} \cdot \mathbf {u} _{2}\right)^{2}.}$

Таким образом, вторая фундаментальная форма кодирует как внутреннюю, так и внешнюю кривизну.

Оператор формы [ править ]

Инкапсуляцию кривизны поверхности можно найти в операторе формы S , который является самосопряженным линейным оператором касательной плоскости к себе (в частности, дифференциалом карты Гаусса ).

Для поверхности с касательными векторами X и нормалью N оператор формы может быть компактно выражен в обозначении суммирования индексов как

${\displaystyle \partial _{a}\mathbf {N} =-S_{ba}\mathbf {X} _{b}.}$

(Сравните альтернативное выражение кривизны для плоской кривой.)

Уравнения Вейнгартена дают значение S через коэффициенты первой и второй фундаментальных форм как

${\displaystyle S=\left(EG-F^{2}\right)^{-1}{\begin{pmatrix}eG-fF&fG-gF\\fE-eF&gE-fF\end{pmatrix}}.}$

Главные кривизны - это собственные значения оператора формы, главные направления кривизны - это его собственные векторы , кривизна Гаусса - его определитель , а средняя кривизна - половина его следа .

Искривление пространства[ редактировать ]

Расширяя предыдущий аргумент, пространство трех или более измерений может быть искривлено по своей сути. Кривизна является внутренней в том смысле, что это свойство, определенное в каждой точке пространства, а не свойство, определенное по отношению к большему пространству, которое его содержит. В общем, искривленное пространство может или не может рассматриваться как встроенное в окружающее пространство более высокого измерения ; в противном случае его кривизну можно определить только внутренне.

После открытия внутреннего определения кривизны, которое тесно связано с неевклидовой геометрией , многие математики и ученые задавались вопросом, может ли обычное физическое пространство искривляться, хотя успех евклидовой геометрии до того времени означал, что радиус кривизны должен быть астрономически большим. В общей теории относительности , описывающей гравитацию и космологию , идея слегка обобщается на «кривизну пространства-времени »; в теории относительности пространство-время - это псевдориманово многообразие. Как только временная координата определена, трехмерное пространство, соответствующее конкретному времени, обычно является искривленным римановым многообразием; но поскольку выбор временной координаты в значительной степени произвольный, физически значимым является кривизна лежащего в основе пространства-времени.

Хотя произвольно искривленное пространство очень сложно описать, кривизна пространства, которое является локально изотропным и однородным , описывается одной гауссовой кривизной, как для поверхности; математически это сильные условия, но они соответствуют разумным физическим предположениям (все точки и все направления неразличимы). Положительная кривизна соответствует обратному квадрату радиуса кривизны; пример - сфера или гиперсфера . Примером отрицательно искривленного пространства является гиперболическая геометрия . Пространство или пространство-время с нулевой кривизной называется плоским . Например, евклидово пространство является примером плоского пространства, а пространство Минковскогоэто пример плоского пространства-времени. Однако в обеих настройках есть и другие примеры плоской геометрии. Тора или цилиндр может быть оба даны плоские метрики, но различается по своей топологии . Для искривленного пространства также возможны другие топологии. См. Также форму Вселенной .

Обобщения [ править ]

Математическое понятие кривизны также определяется в гораздо более общем контексте. ^[8] Многие из этих обобщений подчеркивают различные аспекты кривизны, как это понимается в более низких измерениях.

Одно из таких обобщений - кинематическое. Кривизну кривой естественно рассматривать как кинематическую величину, представляющую силу, которую ощущает определенный наблюдатель, движущийся по кривой; аналогично кривизна в высших измерениях может рассматриваться как своего рода приливная сила (это один из способов мышления о секционной кривизне ). Это обобщение кривизны зависит от того, как соседние пробные частицы расходятся или сходятся, когда им разрешено свободно перемещаться в пространстве; см. поле Якоби .

Другое широкое обобщение кривизны происходит из изучения параллельного переноса на поверхности. Например, если вектор перемещается по петле на поверхности сферы, сохраняя параллельность на протяжении всего движения, то конечное положение вектора может не совпадать с исходным положением вектора. Это явление известно как голономия . ^[9] Различные обобщения отражают в абстрактной форме идею кривизны как меры голономии; см. форму кривизны . Тесно связанное понятие кривизны происходит из калибровочной теории в физике, где кривизна представляет собой поле и векторный потенциал. поскольку поле - это величина, которая в целом зависит от пути: она может измениться, если наблюдатель перемещается по петле.

Еще два обобщения кривизны - это скалярная кривизна и кривизна Риччи . На изогнутой поверхности, такой как сфера, площадь диска на поверхности отличается от площади диска того же радиуса в плоском пространстве. Эта разница (в подходящем пределе) измеряется скалярной кривизной. Разница в площади сектора диска измеряется кривизной Риччи. Каждая из скалярной кривизны и кривизны Риччи определяется аналогичным образом в трех и более измерениях. Они особенно важны в теории относительности, где оба выступают на стороне уравнений поля Эйнштейна.который представляет собой геометрию пространства-времени (другая сторона которого представляет присутствие материи и энергии). Эти обобщения кривизны лежат в основе, например, понятия, что кривизна может быть свойством меры ; увидеть кривизну меры .

Другое обобщение кривизны основывается на способности сравнивать искривленное пространство с другим пространством, имеющим постоянную кривизну. Часто это делается с помощью треугольников в пробелах. Понятие треугольника имеет смысл в метрических пространствах , и это порождает пространства CAT ( k ) .

См. Также [ править ]

• Форма кривизны для соответствующего понятия кривизны векторных расслоений и главных расслоений со связностью
• Кривизна меры для понятия кривизны в теории меры
• Кривизна параметрических поверхностей
• Кривизна римановых многообразий для обобщений гауссовой кривизны на многомерные римановы многообразия
• Вектор кривизны и геодезическая кривизна для соответствующих понятий кривизны кривых в римановых многообразиях любой размерности
• Степень кривизны
• Дифференциальная геометрия кривых для полной обработки кривых, вложенных в евклидово пространство произвольной размерности
• Dioptre , измерение кривизны, используемое в оптике
• Эволют , геометрическое место центров кривизны данной кривой
• Теорема Гаусса – Бонне для элементарного применения кривизны.
• Карта Гаусса для получения дополнительных геометрических свойств кривизны Гаусса
• Принцип наименьшего принуждения Гаусса , выражение принципа наименьшего действия
• Средняя кривизна в одной точке на поверхности
• Минимальный радиус поворота железной дороги
• Радиус кривизны
• Вторая фундаментальная форма внешней кривизны гиперповерхностей в целом
• Извилистость
• Кручение кривой

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Кулидж, Дж. Л. (июнь 1952 г.). «Неудовлетворительная история кривизны». Американский математический ежемесячник . 59 (6): 375–379. DOI : 10.2307 / 2306807 . JSTOR  +2306807 .
• Соколов Д.Д. (2001) [1994], "Кривизна" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Клайн, Моррис (1998). Исчисление: интуитивный и физический подход . Дувр. С. 457–461. ISBN 978-0-486-40453-0.( ограниченная копия в Интернете , стр. 457, в Google Книгах )
• Клаф, А. Альберт (1956). Calculus Refresher . Дувр. С.  151–168 . ISBN 978-0-486-20370-6.( ограниченная копия в Интернете , стр. 151, в Google Книгах )
• Кейси, Джеймс (1996). Изучение кривизны . Vieweg + Teubner. ISBN 978-3-528-06475-4.

Внешние ссылки [ править ]

Посмотрите кривизну в Викисловаре, бесплатном словаре.

Викискладе есть медиафайлы по теме кривизны .

• Создавайте собственные анимированные иллюстрации движущихся рам Френе – Серре и кривизны ( рабочий лист Maple )
• История кривизны
• Кривизна, внутренняя и внешняя на MathPages