Рулетка (кривая)

В дифференциальной геометрии кривых , А рулетки являются своим родом кривого , обобщающий циклоида , эпициклоиду , гипоциклоиды , трохоиды , эпитрохоиду , гипотрохоиду и эвольвенту .

Определение [ править ]

Неофициальное определение [ править ]

Зеленая парабола катится по одинаковой синей параболе, которая остается неизменной. Генератор является вершиной параболы качения и описывает рулетку, показанную красным. В данном случае рулетка - это циссоид Диокла . ^[1]

Грубо говоря, рулетка - это кривая, описываемая точкой (называемой образующей или полюсом ), прикрепленной к данной кривой, когда эта кривая катится без скольжения по второй заданной кривой, которая является фиксированной. Точнее, если задана кривая, прикрепленная к плоскости, которая движется так, что кривая катится без скольжения по заданной кривой, прикрепленной к фиксированной плоскости, занимающей то же пространство, тогда точка, прикрепленная к движущейся плоскости, описывает кривую в фиксированный самолет называется рулеткой.

Особые случаи и связанные концепции [ править ]

В случае, когда кривая качения является линией, а образующая - точкой на этой линии, рулетка называется эвольвентой фиксированной кривой. Если кривая качения представляет собой круг, а фиксированная кривая - это линия, тогда рулетка является трохоидой . Если в этом случае точка лежит на круге, то рулетка - циклоида .

Связанное с этим понятие - это glissette , кривая, описываемая точкой, прикрепленной к данной кривой, когда она скользит по двум (или более) заданным кривым.

Формальное определение [ править ]

Формально кривые должны быть дифференцируемыми кривыми на евклидовой плоскости . Фиксированной кривой сохраняется инвариантным; прокатки кривой подвергают непрерывной конгруэнции трансформации таким образом, что в любой момент времени кривые касательной в точке контакта , который движется с той же скоростью , когда взятый вдоль любой кривой (другой способ выразить это ограничение в том , что точка контакта две кривые - мгновенный центр вращения преобразования сравнения). Результирующая рулетка формируется геометрическим местом генератора, подвергнутого такому же набору преобразований конгруэнтности.

Моделирование исходные кривые как кривые в комплексной плоскости , пусть будет две природные параметризация прокатных ( ) и фиксированных ( ) кривых, такие , что , и для всех . Рулетка генератора в том виде, в котором она катится, затем задается отображением:${\displaystyle r,f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$${\displaystyle r}$${\displaystyle f}$${\displaystyle r(0)=f(0)}$${\displaystyle r'(0)=f'(0)}$${\displaystyle |r'(t)|=|f'(t)|\neq 0}$${\displaystyle t}$${\displaystyle p\in \mathbb {C} }$${\displaystyle r}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle t\mapsto f(t)+(p-r(t)){f'(t) \over r'(t)}.}$

Обобщения [ править ]

Если вместо одной точки, прикрепленной к кривой качения, другая заданная кривая переносится по движущейся плоскости, получается семейство конгруэнтных кривых. Конверт этого семейства также можно назвать рулеткой.

Конечно, можно вообразить рулетку в более высоких пространствах, но нужно выровнять не только касательные.

Пример [ править ]

Если фиксированная кривая является цепной линией , а кривая качения - линией , мы имеем:

${\displaystyle f(t)=t+i(\cosh(t)-1)\qquad r(t)=\sinh(t)}$

${\displaystyle f'(t)=1+i\sinh(t)\qquad r'(t)=\cosh(t).}$

Параметризация линии выбрана так, чтобы

${\displaystyle |f'(t)|={\sqrt {1^{2}+\sinh ^{2}(t)}}={\sqrt {\cosh ^{2}(t)}}=|r'(t)|.}$

Применяя приведенную выше формулу, получаем:

${\displaystyle f(t)+(p-r(t)){f'(t) \over r'(t)}=t-i+{p-\sinh(t)+i(1+p\sinh(t)) \over \cosh(t)}=t-i+(p+i){1+i\sinh(t) \over \cosh(t)}.}$

Если p = - i, выражение имеет постоянную мнимую часть (а именно - i ), а рулетка представляет собой горизонтальную линию. Интересным применением этого является то, что квадратное колесо может катиться, не подпрыгивая, по дороге, которая представляет собой согласованную серию дуг цепной связи.

Список рулеток [ править ]

См. Также [ править ]

• Прокатка
• Механизм
• Принцип суперпозиции
• Спирограф
• Пара туси
• Розетта (орбита)

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• WH Besant (1890) Заметки о рулетках и глиссеттах из исторических математических монографий Корнельского университета , первоначально опубликованные Deighton, Bell & Co.
• Вайсштейн, Эрик В. «Рулетка» . MathWorld .

Further reading[edit]

• Roulette at 2dcurves.com
• Base, roulante et roulettes d'un mouvement plan sur plan (in French)
• Eine einheitliche Darstellung von ebenen, verallgemeinerten Rollbewegungen und deren Anwendungen (in German)