Эпициклоида

Красная кривая представляет собой эпициклоиду, начерченную, когда маленький круг (радиус r = 1) катится по внешней стороне большого круга (радиус R = 3) .

В геометрии , эпициклоида или hypercycloid является плоским кривой производится путем отслеживания пути выбранной точки на окружности круга -called в эпицикле -Каких рулонов без скольжения вокруг фиксированной окружности. Это особый вид рулетки .

Уравнения [ править ]

Если меньший круг имеет радиус r , а больший круг имеет радиус R = kr , то параметрические уравнения для кривой могут быть заданы одним из следующих способов:

${\ displaystyle x (\ theta) = (R + r) \ cos \ theta \ -r \ cos \ left ({\ frac {R + r} {r}} \ theta \ right)}$

${\ Displaystyle у (\ тета) = (р + г) \ грех \ тета \ -р \ грех \ влево ({\ гидроразрыва {R + г} {г}} \ тета \ вправо),}$

или же:

${\ Displaystyle Икс (\ тета) = р (к + 1) \ соз \ тета -r \ соз \ влево ((к + 1) \ тета \ вправо) \,}$

${\ Displaystyle у (\ тета) = р (к + 1) \ грех \ тета -r \ грех \ влево ((к + 1) \ тета \ вправо). \,}$

(Предполагая, что начальная точка лежит на большем круге.)

Если k - положительное целое число, то кривая замкнута и имеет k выступов (т. Е. Острых углов).

Если k - рациональное число , скажем, k = p / q, выраженное в виде неприводимой дроби , то кривая имеет p точек возврата.

Подсчитайте повороты анимации, чтобы увидеть p и q.

Если k - иррациональное число , то кривая никогда не замыкается и образует плотное подмножество пространства между большим кругом и кругом радиуса R + 2 r .

Расстояние OP от начала координат (x = 0, y = 0) до (точки на маленьком круге) изменяется вверх и вниз как ${\ displaystyle p}$

R <= OP <= (R + 2r)

R = радиус большого круга и

2r = диаметр малого круга

• Примеры эпициклоид
• 

  k = 1 кардиоида

• 

  k = 2 нефроид

• 

  k = 3 - напоминает трилистник

• 

  k = 4 - напоминает четырехлистник

• 

  к = 2,1 = 21/10

• 

  к = 3,8 = 19/5

• 

  к = 5,5 = 11/2

• 

  к = 7,2 = 36/5

Эпициклоида - это особый вид эпитрохоидов .

Эпицикл с одним бугорком - кардиоидный , два бугорка - нефроид .

Эпициклоида и ее развертка является похожи . ^[1]

Доказательство [ править ]

эскиз для доказательства

Мы предполагаем, что положение - это то, что мы хотим решить, это радиан от точки касания до точки перемещения и радиан от начальной точки до точки касания.${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ theta}$

Поскольку скольжения между двумя циклами нет, то мы имеем

${\ Displaystyle \ ell _ {R} = \ ell _ {r}}$

По определению радиана (который представляет собой дугу скорости по радиусу), мы имеем, что

${\ Displaystyle \ ell _ {R} = \ theta R, \ ell _ {r} = \ alpha r}$

Из этих двух условий получаем тождество

${\ displaystyle \ theta R = \ alpha r}$

Вычисляя, мы получаем соотношение между и , которое${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ theta}$

${\ Displaystyle \ альфа = {\ гидроразрыва {R} {r}} \ theta}$

На рисунке мы ясно видим положение точки на маленьком круге.${\ displaystyle p}$

${\displaystyle x=\left(R+r\right)\cos \theta -r\cos \left(\theta +\alpha \right)=\left(R+r\right)\cos \theta -r\cos \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)}$

${\displaystyle y=\left(R+r\right)\sin \theta -r\sin \left(\theta +\alpha \right)=\left(R+r\right)\sin \theta -r\sin \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)}$

См. Также [ править ]

• Список периодических функций
• Циклоида
• Циклогон
• Дифферент и эпицикл
• Эпициклическая передача
• Эпитрохоид
• Гипоциклоида
• Гипотрохоид
• Набор мультиброт
• Рулетка (кривая)
• Спирограф

Ссылки [ править ]

• Дж. Деннис Лоуренс (1972). Каталог специальных плоских кривых . Dover Publications. С.  161, 168–170, 175 . ISBN 978-0-486-60288-2.

Внешние ссылки [ править ]

• Вайстейн, Эрик В. «Эпициклоида» . MathWorld .
• " Эпициклоида " Майкла Форда, Демонстрационный проект Вольфрама , 2007 г.
• О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Эпициклоида» , архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс.
• Анимация эпициклоид, перициклоид и гипоциклоид
• Спирограф - GeoFun
• Историческая справка о применении эпициклоиды к форме зубчатых зубов