Параметрическое уравнение

В математике , А параметрическое уравнение определяет группу величин как функции одного или нескольких независимых переменных , называемых параметрами . ^[1] Параметрические уравнения обычно используются для выражения координат точек, составляющих геометрический объект, такой как кривая или поверхность , и в этом случае уравнения в совокупности называются параметрическим представлением или параметризацией (альтернативно обозначается как параметризация ) объекта. . ^[1]^[2]^[3]

Кривой бабочки может быть определена параметрическими уравнениями х и у .

Например, уравнения

{\ Displaystyle {\ begin {выровненный} x & = \ соз т \\ y & = \ грех т \ конец {выровненный}}}

формируют параметрическое представление единичной окружности , где t - параметр: точка ( x , y ) находится на единичной окружности тогда и только тогда, когда существует значение t такое, что эти два уравнения генерируют эту точку. Иногда параметрические уравнения для отдельных скалярных выходных переменных объединяются в одно параметрическое уравнение в векторах :

{\ Displaystyle (х, y) = (\ соз т, \ грех т).}

Параметрические представления обычно неуникальны (см. Раздел «Примеры в двух измерениях» ниже), поэтому одни и те же величины могут быть выражены с помощью ряда различных параметризаций. ^[1]

Помимо кривых и поверхностей, параметрические уравнения могут описывать многообразия и алгебраические многообразия более высокой размерности , причем число параметров равно размерности многообразия или многообразия, а число уравнений равно размерности пространства, в котором рассматривается многообразие или разновидность (для кривых размерность составляет один и используется один параметр, для поверхностей - размерность два и два параметра и т. д.).

Параметрические уравнения обычно используются в кинематике , где траектория объекта представлена уравнениями, зависящими от времени как параметра. Из-за этого приложения один параметр часто обозначается t ; однако параметры могут представлять другие физические величины (например, геометрические переменные) или могут быть выбраны произвольно для удобства. Параметризации не уникальны; несколько наборов параметрических уравнений могут определять одну и ту же кривую. ^[4]

Приложения

Кинематика

В кинематике пути объектов в пространстве обычно описываются как параметрические кривые, причем каждая пространственная координата явно зависит от независимого параметра (обычно от времени). При таком использовании набор параметрических уравнений для координат объекта вместе составляет векторную функцию для положения. Такие параметрические кривые затем можно интегрировать и дифференцировать почленно. Таким образом, если положение частицы описывается параметрически как

{\ Displaystyle \ mathbf {г} (т) = (х (т), у (т), г (т))}

то его скорость может быть найдена как

{\ Displaystyle \ mathbf {v} (t) = \ mathbf {r} '(t) = (x' (t), y '(t), z' (t))}

и его ускорение как

{\ displaystyle \ mathbf {a} (t) = \ mathbf {r} '' (t) = (x '' (t), y '' (t), z '' (t))}

.

Системы автоматизированного проектирования

Еще одно важное применение параметрических уравнений - в области автоматизированного проектирования (САПР). ^[5] Например, рассмотрим следующие три представления, все из которых обычно используются для описания плоских кривых .

Тип	Форма	Пример	Описание
1. Явный	${\ Displaystyle у = е (х) \, \!}$	${\ Displaystyle у = мх + Ь \, \!}$	Линия
2. Неявный	${\ Displaystyle е (х, у) = 0 \, \!}$	${\ Displaystyle \ влево (ха \ вправо) ^ {2} + \ влево (уб \ вправо) ^ {2} = г ^ {2}}$	Круг
3. Параметрический	${\ Displaystyle х = {\ гидроразрыва {г (т)} {ш (т)}}}$ ; ${\ Displaystyle у = {\ гидроразрыва {ч (т)} {ш (т)}}}$	${\ Displaystyle х = а_ {0} + а_ {1} т; \, \!}$ ${\ displaystyle y = b_ {0} + b_ {1} t \, \!}$ ${\ Displaystyle х = а + г \, \ соз т; \, \!}$ ${\ Displaystyle у = б + г \, \ грех т \, \!}$	Линия Круг

Каждое представление имеет преимущества и недостатки для приложений САПР. Явное представление может быть очень сложным или даже не существовать. Более того, он плохо себя ведет при геометрических преобразованиях , в частности при поворотах . С другой стороны, поскольку параметрическое уравнение и неявное уравнение могут быть легко выведены из явного представления, когда существует простое явное представление, оно имеет преимущества обоих других представлений. Неявные представления могут затруднить создание точек кривой и даже решение, есть ли реальные точки. С другой стороны, они хорошо подходят для определения того, находится ли данная точка на кривой, или находится ли она внутри или вне замкнутой кривой. Такие решения могут быть трудными с параметрическим представлением, но параметрические представления лучше всего подходят для создания точек на кривой и для ее построения. ^[6]

Целочисленная геометрия

Многие задачи целочисленной геометрии могут быть решены с помощью параметрических уравнений. Классическое такое решение Евклида параметризация «х правильных треугольников , такие , что длинами их сторон $,$ $б$ и их гипотенузные $с$ являются взаимно простыми целыми числами . В и Ь не являются оба даже ( в противном случае $,$ $Ь$ и $с$ не были бы взаимно просты), то можно заменить их , чтобы иметь даже и тогда параметризация

{\ displaystyle a = 2mn, \ \ b = m ^ {2} -n ^ {2}, \ \ c = m ^ {2} + n ^ {2},}

где параметры $m$ и $n$ - положительные взаимно простые целые числа, которые не являются нечетными.

Умножая $a, b$ и $c$ на произвольное положительное целое число, мы получаем параметризацию всех прямоугольных треугольников, три стороны которых имеют целые длины.

Неявная реализация

Преобразование набора параметрических уравнений в одно неявное уравнение включает в себя удаление переменной ${\ displaystyle t}$ из систем уравнений ${\ Displaystyle х = е (т), \ у = г (т).}$ Этот процесс называется неявной реализацией . Если одно из этих уравнений может быть решено относительно t , полученное выражение можно подставить в другое уравнение, чтобы получить уравнение, включающее только x и y : ${\ Displaystyle у = г (т)}$ чтобы получить ${\ Displaystyle т = г ^ {- 1} (у)}$ и используя это в ${\ Displaystyle х = е (т)}$ дает явное уравнение ${\ Displaystyle х = е (г ^ {- 1} (у)),}$ в то время как более сложные случаи дадут неявное уравнение вида ${\ displaystyle h (x, y) = 0.}$

Если параметризация задается рациональными функциями

{\ displaystyle x = {\ frac {p (t)} {r (t)}}, \ qquad y = {\ frac {q (t)} {r (t)}},}

где $p, q, r$ - взаимно простые по множеству многочлены, результирующее вычисление позволяет неявно выполнять. Точнее, неявное уравнение является равнодействующей по $t$ функций $xr (t) - p (t)$ и $yr (t) - q (t)$

В более высоких измерениях (более двух координат или более одного параметра) неявное отображение рациональных параметрических уравнений может быть выполнено с помощью вычисления базиса Грёбнера ; см. Базис Грёбнера § Неявность в более высоком измерении .

Чтобы взять пример окружности радиуса a , параметрические уравнения

{\ Displaystyle {\ begin {выровнено} х & = а \ соз (т) \\ у & = а \ грех (т) \ конец {выровнено}}}

может быть неявно выражен в терминах x и y посредством тригонометрического тождества Пифагора :

В виде

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {x} {a}} & = \ cos (t) \\ {\ frac {y} {a}} & = \ sin (t) \\\ end { выровнено}}}

а также

{\ Displaystyle \ соз (т) ^ {2} + \ грех (т) ^ {2} = 1,}

мы получили

{\ displaystyle \ left ({\ frac {x} {a}} \ right) ^ {2} + \ left ({\ frac {y} {a}} \ right) ^ {2} = 1,}

и поэтому

{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = a ^ {2},}

которое является стандартным уравнением круга с центром в начале координат.

Примеры в двух измерениях

Парабола

Простейшее уравнение параболы ,

{\ Displaystyle у = х ^ {2} \,}

можно (тривиально) параметризовать с помощью свободного параметра t и установки

{\ displaystyle x = t, y = t ^ {2} \ quad \ mathrm {for} - \ infty

Явные уравнения

В более общем смысле, любая кривая, заданная явным уравнением

{\ Displaystyle у = е (х) \,}

можно (тривиально) параметризовать с помощью свободного параметра t и установки

{\ displaystyle x = t, y = f (t) \ quad \ mathrm {for} - \ infty

Круг

Более сложный пример - следующий. Рассмотрим единичную окружность, описываемую обычным (декартовым) уравнением

{\ Displaystyle х ^ {2} + y ^ {2} = 1. \,}

Это уравнение можно параметризовать следующим образом:

{\ Displaystyle (х, у) = (\ соз (т), \; \ грех (т)) \ квад \ mathrm {для} \ 0 \ Leq т <2 \ пи. \,}

С помощью декартового уравнения легче проверить, лежит ли точка на окружности или нет. С параметрической версией проще получать точки на графике.

В некоторых случаях предпочтительны параметрические уравнения, включающие только рациональные функции (то есть доли двух многочленов ), если они существуют. В случае круга такая рациональная параметризация имеет вид

{\ displaystyle {\ begin {align} x & = {\ frac {1-t ^ {2}} {1 + t ^ {2}}} \\ y & = {\ frac {2t} {1 + t ^ {2 }}} \ end {выровнены}}.}

С этой парой параметрических уравнений, в точке $(-1, 0)$ не представляется реальным значением $т$ , а по пределу по $х$ и $у$ , когда $т$ стремится к бесконечности .

Эллипс

Эллипс в канонической позиции (центр в начале координат, главная ось вдоль X оси) с полуосями и б могут быть представлены параметрически

{\ displaystyle {\ begin {align} x & = a \, \ cos t \\ y & = b \, \ sin t. \ end {align}}}

Эллипс в общем положении можно выразить как

{\ displaystyle {\ begin {align} x & = X_ {c} + a \, \ cos t \, \ cos \ varphi -b \, \ sin t \, \ sin \ varphi \\ y & = Y_ {c} + a \, \ cos t \, \ sin \ varphi + b \, \ sin t \, \ cos \ varphi \ end {align}}}

поскольку параметр t изменяется от 0 до 2 π . Здесь ${\ displaystyle (X_ {c}, Y_ {c})}$ центр эллипса, а ${\ displaystyle \ varphi}$ угол между ${\ displaystyle X}$ - ось и большая ось эллипса.

Обе параметризации можно сделать рациональными , используя формулу тангенса половинного угла и настройку ${\ displaystyle \ tan {\ frac {t} {2}} = u.}$

Кривая Лиссажу

Кривая Лиссажу, где

{\ displaystyle k_ {x} = 3}

а также

{\ displaystyle k_ {y} = 2}

.

Лиссаж кривой похожи на эллипс, но х и у синусоиды находятся не в фазе. В каноническом положении кривая Лиссажу задается формулой

{\ Displaystyle {\ begin {align} x & = a \, \ cos (k_ {x} t) \\ y & = b \, \ sin (k_ {y} t) \ end {align}}}

где ${\ displaystyle k_ {x}}$ а также ${\ displaystyle k_ {y}}$ - константы, описывающие количество лепестков фигуры.

Гипербола

Гипербола, открывающаяся с востока на запад, может быть параметрически представлена как

{\ displaystyle {\ begin {align} x & = a \ sec t + h \\ y & = b \ tan t + k \ end {align}} \ quad}

или, рационально

{\ displaystyle \ quad {\ begin {align} x & = a {\ frac {1 + t ^ {2}} {1-t ^ {2}}} + h \\ y & = b {\ frac {2t} { 1-t ^ {2}}} + k \ end {выровнено}}}

Гипербола, открывающаяся с севера на юг, может быть представлена параметрически как

{\ displaystyle {\ begin {matrix} x = b \ tan t + h \\ y = a \ sec t + k \\\ end {matrix}} \ quad}

или, рационально

{\ displaystyle \ quad {\ begin {matrix} x = b {\ frac {2t} {1-t ^ {2}}} + h \\ y = a {\ frac {1 + t ^ {2}} { 1-t ^ {2}}} + k \\\ end {matrix}}}

Во всех этих формулах ( h , k ) - координаты центра гиперболы, a - длина большой полуоси, а b - длина малой полуоси.

Гипотрохоид

Гипотрохоида является кривой , описываемой точкой , прикрепленной к окружности радиус г прокатки вокруг внутренней части неподвижной окружности радиуса R , где точка находится на расстоянии D от центра внутреннего круга.

Гипотрохоид, для которого r = d
Гипотрохоид, для которого R = 5, r = 3, d = 5

Параметрические уравнения для гипотрохоидов:

{\ Displaystyle {\ begin {выровнен} Икс (\ theta) & = (Rr) \ соз \ theta + d \ cos \ left ({Rr \ over r} \ theta \ right) \\ y (\ theta) & = (Rr) \ sin \ theta -d \ sin \ left ({Rr \ over r} \ theta \ right) \ end {align}}}

Некоторые сложные функции

Показаны другие примеры:

{\ displaystyle {\ begin {align} x & = [ab] \ cos (t) \ + b \ cos \ left [t \ left ({\ frac {a} {b}} - 1 \ right) \ right] \ \ y & = [ab] \ sin (t) \ -b \ sin \ left [t \ left ({\ frac {a} {b}} - 1 \ right) \ right], k = {\ frac {a} {б}} \ конец {выровнено}}}

Несколько графиков по вариации k

{\ Displaystyle {\ begin {align} x & = \ cos (at) - \ cos (bt) ^ {j} \\ y & = \ sin (ct) - \ sin (dt) ^ {k} \ end {align} }}

к = 3 к = 3
к = 3 к = 3
к = 3 к = 4
к = 3 к = 4
к = 3 к = 4

{\ Displaystyle {\ begin {align} x & = i \ cos (at) - \ cos (bt) \ sin (ct) \\ y & = j \ sin (dt) - \ sin (et) \ end {align}} }

я = 1 j = 2

Примеры в трех измерениях

"> Воспроизвести медиа

Анимированная параметрическая спираль

Спираль

Параметрическая спираль

Параметрические уравнения удобны для описания кривых в многомерных пространствах. Например:

{\ Displaystyle {\ begin {выровнено} х & = а \ соз (т) \\ у & = а \ грех (т) \\ z & = bt \, \ конец {выровнено}}}

описывает трехмерную кривую, спираль , с радиусом a и увеличивающейся на 2π b единиц за оборот. Уравнения в плоскости идентичны уравнениям для окружности. Такие выражения, как приведенное выше, обычно записываются как

{\ Displaystyle \ mathbf {г} (т) = (х (т), у (т), г (т)) = (а \ соз (т), а \ грех (т), бт),}

где r - трехмерный вектор.

Параметрические поверхности

Тора с большим радиусом R и малым радиусом г может быть определена , как параметрически

{\ Displaystyle {\ begin {align} x & = \ cos (t) \ left (R + r \ cos (u) \ right), \\ y & = \ sin (t) \ left (R + r \ cos (u ) \ right), \\ z & = r \ sin (u). \ end {align}}}

где оба параметра t и u изменяются от 0 до 2π.

R = 2, r = 1/2

При изменении u от 0 до 2π точка на поверхности движется по короткой окружности, проходящей через отверстие в торе. При изменении t от 0 до 2π точка на поверхности движется по длинной окружности вокруг отверстия в торе.

Примеры с векторами

Параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку ${\ displaystyle \ left (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0} \ right)}$ и параллельно вектору ${\ displaystyle a {\ hat {\ mathbf {i}}} + b {\ hat {\ mathbf {j}}} + c {\ hat {\ mathbf {k}}}}$ это ^[7]

{\ displaystyle {\ begin {align} x & = x_ {0} + at \\ y & = y_ {0} + bt \\ z & = z_ {0} + ct \ end {align}}}

Смотрите также

Изгиб
Параметрическая оценка
Вектор положения
Векторнозначная функция
Параметризация по длине дуги
Параметрическая производная

Заметки

^ a b c Вайсштейн, Эрик В. "Параметрические уравнения" . MathWorld .
^ Томас, Джордж Б .; Финни, Росс Л. (1979). Исчисление и аналитическая геометрия (пятое изд.). Эддисон-Уэсли . п. 91.
^ Никамп, Дуэйн. «Пример параметризации плоскости» . mathinsight.org . Проверено 14 апреля 2017 .
^ Шпицбарт, Абрахам (1975). Исчисление с аналитической геометрией . Глевью, Иллинойс: Скотт, Foresman and Company. ISBN 0-673-07907-4. Проверено 30 августа 2015 года .
^ Стюарт, Джеймс (2003). Исчисление (5-е изд.). Бельмонт, Калифорния: Thomson Learning, Inc., стр. 687–689 . ISBN 0-534-39339-X.
^ Шах, Джами Дж .; Марти Мантила (1995). Параметрические и функциональные CAD / CAM: концепции, методы и приложения . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: John Wiley & Sons, Inc., стр. 29–31. ISBN 0-471-00214-3.
^ Исчисление: одно- и многомерное . Джон Вили. 2012-10-29. п. 919. ISBN 9780470888612. OCLC 828768012 .

Внешние ссылки

Программное обеспечение для построения графиков в Curlie
Веб-приложение для рисования параметрических кривых на плоскости

[MathWorld-1] Вайсштейн, Эрик В. "Параметрические уравнения" . MathWorld .

[2] Томас, Джордж Б .; Финни, Росс Л. (1979). Исчисление и аналитическая геометрия (пятое изд.). Эддисон-Уэсли . п. 91.

[3] Никамп, Дуэйн. «Пример параметризации плоскости» . mathinsight.org . Проверено 14 апреля 2017 .

[4] Шпицбарт, Абрахам (1975). Исчисление с аналитической геометрией . Глевью, Иллинойс: Скотт, Foresman and Company. ISBN 0-673-07907-4. Проверено 30 августа 2015 года .

[5] Стюарт, Джеймс (2003). Исчисление (5-е изд.). Бельмонт, Калифорния: Thomson Learning, Inc., стр. 687–689 . ISBN 0-534-39339-X.

[6] Шах, Джами Дж .; Марти Мантила (1995). Параметрические и функциональные CAD / CAM: концепции, методы и приложения . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: John Wiley & Sons, Inc., стр. 29–31. ISBN 0-471-00214-3.

[7] Исчисление: одно- и многомерное . Джон Вили. 2012-10-29. п. 919. ISBN 9780470888612. OCLC 828768012 .

[1]