Целочисленный треугольник

Треугольник Герона со сторонами c , e и b  +  d и высотой a , все целые числа.

Целое число треугольник или интеграл треугольник является треугольник , у которых все стороны имеют длины , которые являются целыми числами. Рациональный треугольник может быть определен как один , имеющим все стороны с рациональной длиной; любой такой рациональный треугольник можно целочисленно масштабировать (все стороны можно умножить на одно и то же целое число, а именно на общее кратное их знаменателя), чтобы получить целочисленный треугольник, поэтому в этом смысле нет существенной разницы между целочисленными треугольниками и рациональными треугольниками. Однако существуют и другие определения термина «рациональный треугольник»: в 1914 году Кармайкл ^[1] использовал этот термин в том смысле, в котором мы сегодня используем термин « треугольник Герона» ; Сомос ^[2]использует его для обозначения треугольников с рациональным соотношением сторон; Конвей и Гай ^[3] определяют рациональный треугольник как треугольник с рациональными сторонами и рациональными углами, измеряемыми в градусах. В этом случае единственным рациональным треугольником является равносторонний треугольник с рациональными сторонами.

В первом разделе ниже приведены различные общие свойства целочисленного треугольника. Все остальные разделы относятся к классам целочисленных треугольников с определенными свойствами.

Общие свойства целочисленного треугольника [ править ]

Целочисленные треугольники с заданным периметром [ править ]

Любая тройка положительных целых чисел может служить длинами сторон целочисленного треугольника, если она удовлетворяет неравенству треугольника: самая длинная сторона короче суммы двух других сторон. Каждая такая тройка определяет целочисленный треугольник, уникальный с точностью до конгруэнтности. Таким образом , число целых треугольников (до конгруэнтности) с периметром р этого числа перегородок из р в три положительные части , которые удовлетворяют неравенство треугольника. Это целое число , ближе всего к ^{р 2} / ₄₈ , когда р четен и к ^{( р + 3) 2} / ₄₈ , когда р нечетно. ^[4][5] Это также означает, что количество целочисленных треугольников с четными периметрами p  = 2 n такое же, как количество целых треугольников с нечетными периметрами p  = 2 n  - 3. Таким образом, целочисленного треугольника с периметром 1 не существует, 2 или 4, один с периметром 3, 5, 6 или 8 и два с периметром 7 или 10. Последовательность чисел целых треугольников с периметром p , начиная с p = 1, равна:

0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 7, 5, 8, 7, 10, 8 ... (последовательность A005044 в OEIS )

Целочисленные треугольники с заданной наибольшей стороной [ править ]

Количество целых треугольников (с точностью до сравнения) с заданной наибольшей стороной c и целой тройкой ( a ,  b ,  c ) - это количество целых троек таких, что a  +  b  >  c и a  ≤  b  ≤  c . Это целое значение потолка [ ^{( C  + 1)} / ₂ ] * покрытие [ ^{( C  + 1)} / ₂ ]. ^[4] В качестве  альтернативы, для C даже это двойное число треугольной формы ^с / ₂( ^С / ₂  + 1) , и с нечетным это квадрат ^{( с  + 1) , 2} / ₄ . Это также означает, что количество целочисленных треугольников с наибольшей стороной c превышает количество целых треугольников с наибольшей стороной c −2 на c . Последовательность числа несовпадающих целочисленных треугольников с наибольшей стороной c , начиная с c  = 1, равна:

1, 2, 4, 6, 9, 12, 16, 20, 25, 30, 36, 42, 49, 56, 64, 72, 81, 90 ... (последовательность A002620 в OEIS )

Количество целочисленных треугольников (с точностью до сравнения) с заданной наибольшей стороной c и целой тройкой ( a ,  b ,  c ), которые лежат на или внутри полукруга диаметра c, - это количество целых троек таких, что a  +  b  >  c  ,  a ²  +  b ²  ≤  c ² и a  ≤  b  ≤  c . Это также количество целочисленных тупых или правильных (неострых) треугольников с наибольшей стороной c . Последовательность, начинающаяся с c  = 1, следующая:

0, 0, 1, 1, 3, 4, 5, 7, 10, 13, 15, 17, 22, 25, 30, 33, 38, 42, 48 ... (последовательность A236384 в OEIS )

Следовательно, разница между двумя вышеуказанными последовательностями дает количество остроугольных целочисленных треугольников (с точностью до конгруэнтности) с заданной наибольшей стороной c . Последовательность, начинающаяся с c  = 1, следующая:

1, 2, 3, 5, 6, 8, 11, 13, 15, 17, 21, 25, 27, 31, 34, 39, 43, 48, 52 ... (последовательность A247588 в OEIS )

Площадь целочисленного треугольника [ править ]

По формуле Герона , если T - площадь треугольника, стороны которого имеют длины a , b и c, то

${\ displaystyle 4T = {\ sqrt {(a + b + c) (a + bc) (a-b + c) (- a + b + c)}}.}$

Поскольку все члены под радикалом в правой части формулы являются целыми числами, следует, что все целочисленные треугольники должны иметь целочисленное значение 16T ^2, и T ² будет рациональным.

Углы целочисленного треугольника [ править ]

По закону косинусов каждый угол целочисленного треугольника имеет рациональный косинус .

Если углы любого треугольника образуют арифметическую прогрессию, то один из его углов должен составлять 60 °. ^[6] Для целочисленных треугольников оставшиеся углы также должны иметь рациональные косинусы, и метод создания таких треугольников описан ниже. Однако, кроме тривиального случая равностороннего треугольника, не существует целых треугольников, углы которых образуют геометрическую или гармоническую прогрессию. Это происходит потому , что такие углы должны быть рациональными углами формы ^тгр / _д с рациональным 0 < ^р / _д <1. Но все углы целых треугольников должны иметь рациональные косинусы , и это будет происходить только тогда , когда ^р / _д  = ¹ / ₃  ^{[7]: p.2} т.е. целочисленный треугольник равносторонний.

Квадрат каждой биссектрисы внутреннего угла целочисленного треугольника является рациональным, потому что общая формула треугольника для биссектрисы внутреннего угла угла A состоит в том, где s - полупериметр (и аналогично для биссектрисы других углов).${\ displaystyle {\ tfrac {2 {\ sqrt {bcs (sa)}}} {b + c}}}$

Сторона, разделенная по высоте [ править ]

Любая высота, сброшенная с вершины на противоположную сторону или ее продолжение, разделит эту сторону или ее продолжение на рациональные длины.

Медианы [ править ]

Квадрат дважды любой медианы целочисленного треугольника является целым числом, потому что общая формула для квадрата медианы m _a ² на стороне a имеет вид (2 m _a ) ²  = 2 b ²  + 2 c ²  -  a ² (и аналогично для срединных к другим сторонам).${\ displaystyle {\ tfrac {(2b ^ {2} + 2c ^ {2} -a ^ {2})} {4}}}$

Циркумрадиус и внутренний радиус [ править ]

Поскольку квадрат площади целочисленного треугольника является рациональным, квадрат его описанного радиуса также является рациональным, как и квадрат внутреннего радиуса .

Отношение inradius к описанной окружности целочисленного треугольника рационально, равному для полупериметра с и площадью Т .${\ displaystyle {\ tfrac {4T ^ {2}} {sabc}}}$

Произведение внутреннего радиуса и описанного радиуса целочисленного треугольника рационально и равно ${\ displaystyle {\ tfrac {abc} {2 (a + b + c)}}.}$

Таким образом, квадрат расстояния между центром и центром описанной окружности целочисленного треугольника, заданный теоремой Эйлера как R ² −2Rr , является рациональным.

Героновские треугольники [ править ]

Все треугольники Герона могут быть помещены на решетку с каждой вершиной в точке решетки. ^[8]

Общая формула [ править ]

Треугольник Герона, также известный как треугольник Герона или треугольник Героя , представляет собой треугольник с целыми сторонами и целой площадью. Каждый треугольник Герона имеет стороны, пропорциональные ^[9]

${\ Displaystyle а = п (м ^ {2} + к ^ {2}) \,}$

${\ Displaystyle б = м (п ^ {2} + к ^ {2}) \,}$

${\ Displaystyle с = (т + п) (мн-к ^ {2}) \,}$

${\ Displaystyle {\ text {Полупериметр}} = мин (т + п) \,}$

${\ displaystyle {\ text {Area}} = mnk (m + n) (mn-k ^ {2}) \,}$

для целых чисел m , n и k с учетом ограничений:

${\ Displaystyle \ НОД {(т, п, к)} = 1 \,}$

${\ displaystyle mn> к ^ {2} \ geq m ^ {2} n / (2m + n) \,}$

${\ Displaystyle м \ geq п \ geq 1 \,}$.

Коэффициент пропорциональности, как правило, является рациональным, при     котором     сгенерированный треугольник Герона уменьшается до его примитива, а     этот примитив увеличивается до необходимого размера.${\ displaystyle {\ frac {p} {q}}}$${\ displaystyle q = \ gcd {(a, b, c)}}$${\ displaystyle p}$

Пифагоровы треугольники [ править ]

Треугольник Пифагора прямоугольный и геронический. Его три целочисленные стороны, известны как Пифагор тройки или Пифагор триплетного или Пифагор триады . ^[10] Все пифагоровы тройки с гипотенузой, которые являются примитивными (стороны, не имеющие общего множителя), могут быть получены с помощью${\ Displaystyle (а, б, в)}$${\ displaystyle c}$

${\ Displaystyle а = м ^ {2} -n ^ {2}, \,}$

${\ displaystyle b = 2mn, \,}$

${\displaystyle c=m^{2}+n^{2},\,}$

${\displaystyle {\text{Semiperimeter}}=m(m+n)\,}$

${\displaystyle {\text{Area}}=mn(m^{2}-n^{2})\,}$

где т и п являются взаимно простыми целыми числами , а один из них даже при т  >  п .

Каждое четное число больше 2 может быть катетом треугольника Пифагора (не обязательно примитивным), потому что, если катет задается, и мы выбираем в качестве другого катета, тогда гипотенуза будет . ^[11] По сути, это приведенная выше формула генерации, для которой установлено значение 1 и допускается диапазон от 2 до бесконечности.${\displaystyle a=2m}$${\displaystyle b=(a/2)^{2}-1=m^{2}-1}$${\displaystyle c=m^{2}+1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$

Треугольники Пифагора с целой высотой от гипотенузы [ править ]

Не существует примитивных треугольников Пифагора с целой высотой от гипотенузы. Это потому, что удвоенная площадь равна любому основанию, умноженному на соответствующую высоту: удвоенная площадь, таким образом, равна как ab, так и cd, где d - высота от гипотенузы c . Три боковые длины примитивного треугольника взаимно просты, так что D  = ^AB / _с в полностью восстановленной форме; поскольку c не может быть равно 1 для любого примитивного треугольника Пифагора, d не может быть целым числом.

Однако любой треугольник Пифагора с катетами x ,  y и гипотенузой z может сгенерировать треугольник Пифагора с целочисленной высотой путем увеличения сторон на длину гипотенузы z . Если d - высота, то сгенерированный треугольник Пифагора с целой высотой задается формулой ^[12]

${\displaystyle (a,b,c,d)=(xz,yz,z^{2},xy).\,}$

Следовательно, все треугольники Пифагора с катетами a и b , гипотенузой c и целой высотой d от гипотенузы с НОД ( a, b, c, d ) = 1, которые обязательно имеют как a ²  +  b ²  = c ^{2, так} и , порождаются ^{[13] [12]}${\displaystyle {\tfrac {1}{a^{2}}}+{\tfrac {1}{b^{2}}}={\tfrac {1}{d^{2}}}}$

${\displaystyle a=(m^{2}-n^{2})(m^{2}+n^{2}),\,}$

${\displaystyle b=2mn(m^{2}+n^{2}),\,}$

${\displaystyle c=(m^{2}+n^{2})^{2},\,}$

${\displaystyle d=2mn(m^{2}-n^{2}),\,}$

${\displaystyle {\text{Semiperimeter}}=m(m+n)(m^{2}+n^{2})\,}$

${\displaystyle {\text{Area}}=mn(m^{2}-n^{2})(m^{2}+n^{2})^{2}\,}$

для взаимно простых целых чисел m , n с m  >  n .

Треугольники Герона со сторонами в арифметической прогрессии [ править ]

Треугольник с целыми сторонами и целой площадью имеет стороны в арифметической прогрессии тогда и только тогда, когда ^[14] стороны равны ( b - d , b , b + d ), где

${\displaystyle b=2(m^{2}+3n^{2})/g,\,}$

${\displaystyle d=(m^{2}-3n^{2})/g,\,}$

и где g - наибольший общий делитель , и${\displaystyle m^{2}-3n^{2},}$ ${\displaystyle 2mn}$${\displaystyle m^{2}+3n^{2}.}$

Треугольники Герона с одним углом, дважды равным другому [ править ]

Все треугольники Герона с B = 2A порождаются ^[15] либо

${\displaystyle a={\tfrac {k^{2}(s^{2}+r^{2})^{2}}{4}},\,}$

${\displaystyle b={\tfrac {k^{2}(s^{4}-r^{4})}{2}},\,}$

${\displaystyle c={\tfrac {k^{2}(3s^{4}-10s^{2}r^{2}+3r^{4})}{4}}\,}$

${\displaystyle {\text{Area}}={\tfrac {k^{2}csr(s^{2}-r^{2})}{2}}\,}$

с целыми числами k , s , r такими, что s ² > 3 r ² , или

${\displaystyle a={\tfrac {q^{2}(u^{2}+v^{2})^{2}}{4}}\,}$,

${\displaystyle b=q^{2}uv(u^{2}+v^{2})\,}$,

${\displaystyle c={\tfrac {q^{2}(14u^{2}v^{2}-u^{4}-v^{4})}{4}}\,}$,

${\displaystyle {\text{Area}}={\tfrac {q^{2}cuv(v^{2}-u^{2})}{2}}\,}$,

с целыми числами q , u , v такими, что v > u и v ² <(7 + 4 √ 3 ) u ² .

Никакие треугольники Герона с B  = 2 A не являются равнобедренными или прямыми треугольниками, потому что все результирующие комбинации углов образуют углы с нерациональными синусами, что дает нерациональную площадь или сторону.

Равнобедренные героновские треугольники [ править ]

Все равнобедренные треугольники Герона разложимы. Они образованы путем соединения двух конгруэнтных треугольников Пифагора вдоль любого из их общих катетов таким образом, что равные стороны равнобедренного треугольника являются гипотенусами треугольников Пифагора, а основание равнобедренного треугольника вдвое больше другого катета Пифагора. Следовательно, каждый треугольник Пифагора является строительным блоком для двух равнобедренных треугольников Герона, поскольку соединение может быть вдоль любой стороны. Все пары равнобедренных треугольников Герона задаются рациональными кратными ^[16]

${\displaystyle a=2(u^{2}-v^{2}),}$

${\displaystyle b=u^{2}+v^{2},}$

${\displaystyle c=u^{2}+v^{2},}$

и

${\displaystyle a=4uv,}$

${\displaystyle b=u^{2}+v^{2},}$

${\displaystyle c=u^{2}+v^{2},}$

для взаимно простых целых чисел u и v с u > v и u + v нечетным.

Треугольники Герона, периметр которых в четыре раза больше простого [ править ]

Было показано, что треугольник Герона, периметр которого в четыре раза больше простого числа, однозначно связан с простым числом и что простое число имеет форму . ^{[17] [18]} Хорошо известно, что такое простое число может быть однозначно разделено на целые числа и такие, что (см . Идонеальные числа Эйлера ). Кроме того, было показано, что такие треугольники Герона примитивны, поскольку наименьшая сторона треугольника должна быть равна штриху, составляющему одну четверть его периметра.${\displaystyle 1{\text{ or }}3{\text{ mod }}8}$${\displaystyle p}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p=m^{2}+2n^{2}}$

Следовательно, все примитивные треугольники Герона, периметр которых в четыре раза больше простого числа, могут быть порождены формулой

${\displaystyle a=m^{2}+2n^{2}}$

${\displaystyle b=m^{2}+4n^{2}}$

${\displaystyle c=2(m^{2}+n^{2})}$

${\displaystyle {\text{Semiperimeter}}=2a=2(m^{2}+2n^{2})}$

${\displaystyle {\text{Area}}=2mn(m^{2}+2n^{2})}$

для целых чисел и таких, что это простое число.${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m^{2}+2n^{2}}$

Кроме того, разложение в области является , где первично. Однако площадь треугольника Герона всегда делится на . Это дает результат, кроме того, когда и который дает все остальные разделения, и должен иметь нечетный результат только с одним из них, делимым на .${\displaystyle 2mnp}$${\displaystyle p=m^{2}+2n^{2}}$${\displaystyle 6}$${\displaystyle m=1}$${\displaystyle n=1,}$${\displaystyle p=3,}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle 3}$

Треугольники Герона с целыми inradius и exradii [ править ]

Существует бесконечно много разложимых и бесконечно много неразложимых примитивных треугольников Герона ( непифагорова ) с целыми радиусами вписанной и каждой вневписанной окружностей . ^{[19] : Thms. 3 и 4} Семейство разложимых

${\displaystyle a=4n^{2},\quad \quad b=(2n+1)(2n^{2}-2n+1),\quad \quad c=(2n-1)(2n^{2}+2n+1),}$

${\displaystyle r=2n-1,\quad \quad r_{a}=2n+1,\quad \quad r_{b}=2n^{2},\quad \quad r_{c}={\text{Area}}=2n^{2}(2n-1)(2n+1);}$

а семейство неразложимых дается выражением

${\displaystyle a=5(5n^{2}+n-1),\quad \quad b=(5n+3)(5n^{2}-4n+1),\quad \quad c=(5n-2)(5n^{2}+6n+2),}$

${\displaystyle r=5n-2,\quad \quad r_{a}=5n+3,\quad \quad r_{b}=5n^{2}+n-1,\quad \quad r_{c}={\text{Area}}=(5n-2)(5n+3)(5n^{2}+n-1).}$

Героновские треугольники как грани тетраэдра [ править ]

Существуют тетраэдры с целочисленным объемом и треугольниками Герона в качестве граней . В одном примере один край 896, противоположный край 190 и четыре других края 1073; две грани имеют площадь 436800, а два других имеют площадь 47120, а объем равен 62092800. ^{[10] : с.107}

Треугольники Герона в двумерной решетке [ править ]

Двумерная решетка - это регулярный массив изолированных точек, где, если какая-либо одна точка выбрана как декартово начало координат (0, 0), то все остальные точки находятся в ( x, y ), где x и y изменяются по всем положительным и отрицательным целым числам . Решетчатый треугольник - это любой треугольник, нарисованный внутри двумерной решетки, все вершины которого лежат в точках решетки. По теореме Пика решетчатый треугольник имеет рациональную площадь, которая либо является целым числом, либо имеет знаменатель 2. Если решетчатый треугольник имеет целые стороны, то он хероновский с целой площадью. ^[20]

Кроме того, было доказано, что все треугольники Герона можно нарисовать в виде решетчатых треугольников. ^{[21] [22]} Следовательно, целочисленный треугольник является хероновским тогда и только тогда, когда его можно нарисовать как решетчатый треугольник.

Существует бесконечно много примитивных треугольников Герона (непифагорова), которые можно разместить на целочисленной решетке со всеми вершинами, центром и всеми тремя эксцентрами в точках решетки. Два семейства таких треугольников - это те, с параметризацией, приведенной выше, в треугольниках Эрона с целыми числами inradius и exradii . ^{[19] : Thm. 5}

Целочисленные автомедианные треугольники [ править ]

Автомедианный треугольник - это треугольник, медианы которого имеют те же пропорции (в обратном порядке), что и стороны. Если x , y и z - три стороны прямоугольного треугольника, отсортированные в порядке возрастания по размеру, и если 2 x  <  z , то z , x  +  y и y  -  x - три стороны автомедианного треугольника. Например, правый треугольник с длинами сторон 5, 12 и 13 могут быть использованы таким образом , чтобы сформировать наименьший нетривиальным (то есть, не-равностороннего ) треугольника automedian целым числом, с длиной стороны 13, 17, и 7. ^{[ 23]}

Следовательно, используя формулу Евклида , которая генерирует примитивные треугольники Пифагора, можно генерировать примитивные целочисленные автомедианные треугольники как

${\displaystyle a=|m^{2}-2mn-n^{2}|}$

${\displaystyle b=m^{2}+2mn-n^{2}}$

${\displaystyle c=m^{2}+n^{2}}$

с и взаимно простых и нечетной, и   (если количество знаков внутри абсолютных отрицательное значение) или   (если это величина положительна) , чтобы удовлетворить неравенство треугольника .${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m+n}$${\displaystyle n<m<n{\sqrt {3}}}$${\displaystyle m>(2+{\sqrt {3}})n}$

Важной характеристикой автомедианного треугольника является то, что квадраты его сторон образуют арифметическую прогрессию . Конкретно так .${\displaystyle c^{2}-a^{2}=b^{2}-c^{2}}$${\displaystyle 2c^{2}=a^{2}+b^{2}}$

Целочисленные треугольники с определенными угловыми свойствами [ править ]

Целочисленные треугольники с биссектрисой рационального угла [ править ]

Семейство треугольников с целыми сторонами и рациональной биссектрисой угла A задается формулой ^[24]${\displaystyle a,b,c}$${\displaystyle d}$

${\displaystyle a=2(k^{2}-m^{2}),\,}$

${\displaystyle b=(k-m)^{2},\,}$

${\displaystyle c=(k+m)^{2},\,}$

${\displaystyle d={\tfrac {2km(k^{2}-m^{2})}{k^{2}+m^{2}}},\,}$

с целыми числами .${\displaystyle k>m>0}$

Целочисленные треугольники с целыми n -секторами всех углов [ править ]

Существует бесконечно много непохожих треугольников, в которых три стороны и биссектрисы каждого из трех углов являются целыми числами. ^[25]

Существует бесконечно много непохожих треугольников, в которых три стороны и два трисектора каждого из трех углов являются целыми числами. ^[25]

Однако для n > 3 не существует треугольников, в которых три стороны и ( n –1) n -сектора каждого из трех углов являются целыми числами. ^[25]

Целочисленные треугольники с одним углом и заданным рациональным косинусом [ править ]

Некоторые целочисленные треугольники с одним углом в вершине A и заданным рациональным косинусом h / k ( h <0 или> 0; k > 0) задаются формулой ^[26]

${\displaystyle a=p^{2}-2pqh+q^{2}k^{2},}$

${\displaystyle b=p^{2}-q^{2}k^{2},}$

${\displaystyle c=2qk(p-qh),}$

где p и q - любые взаимно простые положительные целые числа такие, что p> qk .

Целочисленные треугольники с углом 60 ° (углы в арифметической прогрессии) [ править ]

Все целые треугольники с углом 60 ° имеют свои углы в арифметической прогрессии. Все такие треугольники пропорциональны: ^[6]

${\displaystyle a=4mn\,}$

${\displaystyle b=3m^{2}+n^{2}\,}$

${\displaystyle c=2mn+|3m^{2}-n^{2}|\,}$

с взаимно простыми целыми числами m , n и 1 ≤  n  ≤  m или 3 m  ≤  n . Отсюда все примитивные решения могут быть получены делением a , b и c на их наибольший общий делитель.

Целочисленные треугольники с углом 60 ° также могут быть созданы с помощью ^[27]

${\displaystyle a=m^{2}-mn+n^{2}\,}$

${\displaystyle b=2mn-n^{2}\,}$

${\displaystyle c=m^{2}-n^{2}\,}$

с взаимно простыми целыми числами m , n с 0 <  n  <  m (угол 60 ° противоположен стороне длины a ). Отсюда все примитивные решения могут быть получены путем деления a , b и c на их наибольший общий делитель (например, решение равностороннего треугольника получается путем взятия m = 2 и n = 1, но это дает a = b = c = 3 , что не является примитивным решением). См. Также ^{[28] [29]}

Точнее, если , то иначе . Две разные пары и генерируют одну и ту же тройку. К сожалению, обе пары могут иметь gcd = 3, поэтому мы не можем избежать дублирования, просто пропустив этот случай. Вместо этого дубликатов можно избежать, перейдя только до . Нам все равно нужно разделить на 3, если gcd = 3. Единственное решение для указанных выше ограничений - для . С этим дополнительным ограничением все тройки могут быть сгенерированы однозначно.${\displaystyle m=-n\ (mod\ 3)}$${\displaystyle gcd(a,b,c)=3}$${\displaystyle gcd(a,b,c)=1}$${\displaystyle (m,n)}$${\displaystyle (m,m-n)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m/2}$${\displaystyle n=m/2}$${\displaystyle (3,3,3)\equiv (1,1,1)}$${\displaystyle m=2,n=1}$${\displaystyle n\leq m/2}$

Эйзенштейн тройной представляет собой набор целых чисел , которые являются длинами сторон треугольника , где один из углов равны 60 градусов.

Целочисленные треугольники с углом 120 ° [ править ]

Целочисленные треугольники с углом 120 ° могут быть созданы с помощью ^[30]

${\displaystyle a=m^{2}+mn+n^{2},\,}$

${\displaystyle b=2mn+n^{2},\,}$

${\displaystyle c=m^{2}-n^{2}\,}$

с взаимно простыми целыми числами m ,  n с 0 <  n  <  m (угол 120 ° противоположен стороне длины a ). Отсюда все примитивные решения могут быть получены делением a , b и c на их наибольший общий делитель. Наименьшее решение для m = 2 и n = 1 - треугольник со сторонами (3,5,7). Смотрите также. ^{[28] [29]}

Точнее, если , то иначе . Поскольку самая большая сторона a может быть сгенерирована только с помощью одной пары, каждая примитивная тройка может быть сгенерирована ровно двумя способами: один раз напрямую с gcd = 1 и один раз косвенно с gcd = 3. Следовательно, чтобы однозначно сгенерировать все примитивные тройки, можно просто добавить дополнительное условие. ^{[ необходима цитата ]}${\displaystyle m=n\ (mod\ 3)}$${\displaystyle gcd(a,b,c)=3}$${\displaystyle gcd(a,b,c)=1}$${\displaystyle (m,n)}$${\displaystyle m\neq n\ (mod\ 3)}$

Целочисленные треугольники с одним углом, равным произвольному рациональному числу, умноженному на другой угол [ править ]

Для положительной взаимно простых чисел ч и к , треугольник со следующими сторонами имеют углы , и и , следовательно , два угла в соотношении ч: K , а его стороны являются целыми числами: ^[31]${\displaystyle h\alpha }$${\displaystyle k\alpha }$${\displaystyle \pi -(h+k)\alpha }$

${\displaystyle a=q^{h+k-1}{\frac {\sin h\alpha }{\sin \alpha }}=q^{k}\cdot \sum _{0\leq i\leq {\frac {h-1}{2}}}(-1)^{i}{\binom {h}{2i+1}}p^{h-2i-1}(q^{2}-p^{2})^{i},}$

${\displaystyle b=q^{h+k-1}{\frac {\sin k\alpha }{\sin \alpha }}=q^{h}\cdot \sum _{0\leq i\leq {\frac {k-1}{2}}}(-1)^{i}{\binom {k}{2i+1}}p^{k-2i-1}(q^{2}-p^{2})^{i},}$

${\displaystyle c=q^{h+k-1}{\frac {\sin(h+k)\alpha }{\sin \alpha }}=\sum _{0\leq i\leq {\frac {h+k-1}{2}}}(-1)^{i}{\binom {h+k}{2i+1}}p^{h+k-2i-1}(q^{2}-p^{2})^{i},}$

где и p и q - любые взаимно простые целые числа такие, что .${\displaystyle \alpha =\cos ^{-1}{\frac {p}{q}}}$${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{h+k}}<{\frac {p}{q}}<1}$

Целочисленные треугольники с одним углом, дважды равным другому [ править ]

С противоположной стороной угла A и противоположной стороной угла B некоторые треугольники с B = 2A образуются по формуле ^[32]${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle a=n^{2},\,}$

${\displaystyle b=mn\,}$

${\displaystyle c=m^{2}-n^{2},\,}$

с целыми числами m , n такими, что 0 <  n  <  m  <2 n .

Все треугольники с B  = 2 A (целые или нет) имеют ^[33] .${\displaystyle a(a+c)=b^{2}}$

Целочисленные треугольники с одним углом, равным 3/2 другого [ править ]

Класс эквивалентности подобных треугольников с порожден ^[32]${\displaystyle \ B={\tfrac {3}{2}}A}$

${\displaystyle a=mn^{3},\,}$

${\displaystyle b=n^{2}(m^{2}-n^{2}),\,}$

${\displaystyle c=(m^{2}-n^{2})^{2}-m^{2}n^{2},\,}$

с такими целыми числами , что , где - золотое сечение .${\displaystyle \ m,n}$${\displaystyle \ 0<\varphi n<m<2n}$${\displaystyle \ \varphi }$ ${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.61803}$

Все треугольники с (с целыми сторонами или без) удовлетворяют .${\displaystyle \ B={\tfrac {3}{2}}A}$${\displaystyle \ (b^{2}-a^{2})(b^{2}-a^{2}+bc)=a^{2}c^{2}}$

Целочисленные треугольники с одним углом трижды другим [ править ]

Мы можем сгенерировать полный класс эквивалентности подобных треугольников, удовлетворяющих B = 3A, с помощью формул ^[34]

${\displaystyle a=n^{3},\,}$

${\displaystyle b=n(m^{2}-n^{2}),\,}$

${\displaystyle c=m(m^{2}-2n^{2}),\,}$

где и - такие целые числа, что .${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\sqrt {2}}n<m<2n}$

Все треугольники с B = 3A (с целыми сторонами или без) удовлетворяют .${\displaystyle ac^{2}=(b-a)^{2}(b+a)}$

Целочисленные треугольники с тремя рациональными углами [ править ]

Единственный целочисленный треугольник с тремя рациональными углами (рациональное число градусов или, что эквивалентно, рациональные доли полного поворота) - это равносторонний треугольник . ^[3] Это потому, что целые стороны подразумевают три рациональных косинуса по закону косинусов , а по теореме Нивена рациональный косинус совпадает с рациональным углом тогда и только тогда, когда косинус равен 0, ± 1/2 или ± 1. Единственные из них, дающие угол строго между 0 ° и 180 °, - это значение косинуса 1/2 с углом 60 °, значение косинуса -1/2 с углом 120 ° и значение косинуса 0 с углом 90 °. °. Единственная комбинация трех из них, позволяющая многократно использовать любой из них и в сумме 180 °, - это три угла по 60 °.

Целочисленные треугольники с целым отношением радиуса описанной окружности к внутреннему [ править ]

Условия известны в терминах эллиптических кривых для целого треугольника , чтобы иметь соотношение целого числа N от описанной окружности к inradius . ^{[35] [36]} Самый маленький случай, что из равностороннего треугольника , имеет N = 2. Во всех известных случаях N ≡ 2 (mod 8), то есть N –2 делится на 8.

Пары треугольников 5-Con [ править ]

Пара треугольников 5-Con - это пара треугольников, которые похожи, но не совпадают, и которые имеют три угла и две стороны. Примитивные целочисленные треугольники 5-Con, в которых четыре различных целочисленных стороны (две стороны, каждая из которых появляется в обоих треугольниках и одна другая сторона в каждом треугольнике) не имеют общего делителя, имеют тройки сторон

${\displaystyle (x^{3},x^{2}y,xy^{2})}$ и ${\displaystyle (x^{2}y,xy^{2},y^{3})}$

для положительных взаимно простых целых чисел x и y . Самый маленький пример - пара (8, 12, 18), (12, 18, 27), порожденная x = 2, y = 3.

Конкретные целочисленные треугольники [ править ]

• Единственный треугольник с последовательными целыми числами для сторон и площади имеет стороны (3, 4, 5) и площадь 6.
• Единственный треугольник с последовательными целыми числами для высоты и сторон имеет стороны (13, 14, 15) и высоту со стороны 14, равную 12.
• Треугольник (2, 3, 4) и его кратные - единственные треугольники с целыми сторонами в арифметической прогрессии и обладающие свойством дополнительного внешнего угла. ^{[37] [38] [39]} Это свойство утверждает, что если угол C тупой и если сегмент отброшен от B , пересекая перпендикулярно AC, продолженному в P, то ∠CAB = 2∠CBP.
• Треугольник (3, 4, 5) и его кратные - единственные целые прямоугольные треугольники со сторонами в арифметической прогрессии ^[39]
• Треугольник (4, 5, 6) и его кратные - единственные треугольники, у которых один угол равен двум другим и имеет целые стороны в арифметической прогрессии. ^[39]
• Треугольник (3, 5, 7) и его кратные - единственные треугольники с углом 120 ° и целыми сторонами в арифметической прогрессии. ^[39]
• Единственный целочисленный треугольник с площадью = полупериметр ^[40] имеет стороны (3, 4, 5).
• Единственные целочисленные треугольники с площадью = периметром имеют стороны ^{[40] [41]} (5, 12, 13), (6, 8, 10), (6, 25, 29), (7, 15, 20) и ( 9, 10, 17). Из них первые два, но не последние три, являются прямоугольными.
• Существуют целочисленные треугольники с тремя рациональными медианами . ^{[10] : с. 64} У самого маленького есть стороны (68, 85, 87). Другие включают (127, 131, 158), (113, 243, 290), (145, 207, 328) и (327, 386, 409).
• Равнобедренных пифагоровых треугольников нет. ^[16]
• Единственными примитивными треугольниками Пифагора, у которых квадрат периметра равен целому числу, кратному площади, являются (3, 4, 5) с периметром 12 и площадью 6 и с отношением квадрата периметра к площади 24; (5, 12, 13) с периметром 30 и площадью 30 и с отношением квадрата периметра к площади 30; и (9, 40, 41) с периметром 90 и площадью 180 и с отношением квадрата периметра к площади 45. ^[42]
• Существует единственная (с точностью до подобия) пара рационального прямоугольного треугольника и рационального равнобедренного треугольника, имеющих одинаковый периметр и одинаковую площадь. Уникальная пара состоит из треугольника (377, 135, 352) и треугольника (366, 366, 132). ^[43] Не существует пары таких треугольников, если требуется, чтобы они также были примитивными целыми треугольниками. ^[43] Авторы подчеркивают поразительный факт, что второе утверждение может быть доказано элементарной аргументацией (они делают это в своем приложении A), в то время как первое утверждение требует современной весьма нетривиальной математики.

См. Также [ править ]

• Пятиугольник Роббинса , циклический пятиугольник с целыми сторонами и целой площадью
• Кирпич Эйлера , кубоид с целыми ребрами и целыми диагоналями граней
• Тетраэдр # Целочисленные тетраэдры

Ссылки [ править ]