Героновский треугольник

В геометрии , A геронов треугольник представляет собой треугольник , который имеет боковые длины и площади , которые все целые числа . ^[1]^[2] Геронские треугольники названы в честь Героя Александрии . ^[3] Этот термин иногда более широко применяется к треугольникам, стороны и площадь которых являются рациональными числами , ^[4] поскольку можно изменить масштаб сторон на общее кратное, чтобы получить треугольник, который является треугольником Герона в указанном выше смысле.

Свойства [ править ]

Любой прямоугольный треугольник, стороны которого равны тройке Пифагора, является треугольником Герона, поскольку длины сторон такого треугольника являются целыми числами , а его площадь также является целым числом, равным половине произведения двух более коротких сторон треугольника, при хотя бы одно из которых должно быть четным.

Треугольник со сторонами c , e и b + d и высотой a .

Примером непрямоугольного треугольника Герона является равнобедренный треугольник со сторонами 5, 5 и 6, площадь которого равна 12. Этот треугольник получается соединением двух копий прямоугольного треугольника со сторонами 3, 4, и 5 вдоль сторон длины 4. Этот подход в целом работает, как показано на рисунке рядом. Один берет тройку Пифагора ( a , b , c ), где c является наибольшим, затем другой ( a , d , e ), где e является наибольшим, строит треугольники с этими длинами сторон и соединяет их вместе по сторонам длины. а, чтобы получить треугольник с целыми длинами сторон c , e , b + d и площадью

A={\frac {1}{2}}(b+d)a

(половина основания, умноженная на высоту).

Если а четно, то площадь А - целое число. Менее очевидно то, что если a нечетное, то A по-прежнему целое, так как b и d должны быть четными, что делает b + d четным.

Некоторые треугольники Герона не могут быть получены путем соединения двух прямоугольных треугольников с целыми сторонами, как описано выше. Например, треугольник Герона 5, 29, 30 с площадью 72 не может быть построен из двух целочисленных треугольников Пифагора, поскольку ни одна из его высот не является целым числом. Также никакой примитивный треугольник Пифагора не может быть построен из двух меньших целочисленных треугольников Пифагора. ^[5]^{: с.17} Такие треугольники Герона известны как неразложимые . ^[5] Однако, если разрешены пифагоровы тройки с рациональными значениями, не обязательно целыми числами, то всегда существует разложение на прямоугольные треугольники с рациональными сторонами, ^[6]потому что каждая высота треугольника Герона рациональна (поскольку она равна удвоенной площади целого числа, деленной на основание целого числа). Таким образом, треугольник Герона со сторонами 5, 29, 30 может быть построен из рациональных треугольников Пифагора со сторонами 7/5, 24/5, 5 и 143/5, 24/5, 29. Обратите внимание, что тройка Пифагора с рациональными значениями просто масштабированная версия тройки с целочисленными значениями.

Другие свойства треугольников Герона следующие:

Периметр треугольника Герона всегда является четным числом. ^[7] Таким образом, каждый треугольник Герона имеет нечетное число сторон четной длины, ^[8]^{: стр. 3} и каждый примитивный треугольник Герона имеет ровно одну четную сторону.
Полупериметр s треугольника Герона со сторонами a , b и c никогда не может быть простым. Это видно из того факта, что s (s − a) (s − b) (s − c) должен быть полным квадратом, и если s - простое число, то один из других членов должен иметь множитель s, но это невозможно, так как все эти члены меньше s .
Площадь треугольника Герона всегда делится на 6. ^[7]
Все высоты треугольника Герона рациональны. ^[9] Это можно увидеть из того факта, что площадь треугольника равна половине одной стороны, умноженной на высоту с этой стороны, а треугольник Герона имеет целые стороны и площадь. Некоторые треугольники Герона имеют три нецелочисленных высоты, например острый (15, 34, 35) с площадью 252 и тупой (5, 29, 30) с площадью 72. Любой треугольник Герона с одной или несколькими нецелыми высотами может можно увеличить на коэффициент, равный наименьшему общему кратному знаменателей высот, чтобы получить аналогичный треугольник Герона с тремя целыми высотами.
Треугольники Герона, не имеющие целой высоты ( неразложимые и непифагоровы), имеют стороны, которые делятся на простые числа вида 4 k +1. ^[5] Однако у разложимых треугольников Герона должны быть две стороны, которые являются гипотенузой треугольников Пифагора. Следовательно, все треугольники Герона, не являющиеся пифагоровыми, имеют по крайней мере две стороны, которые делятся на простые числа вида 4 k +1. Остались только треугольники Пифагора. Следовательно, у всех треугольников Герона есть хотя бы одна сторона, которая делится на простые числа вида 4 k +1. Наконец, если треугольник Герона имеет только одну сторону, делящуюся на простые числа вида 4 k+1 он должен быть пифагорейским со стороной, так как гипотенуза и гипотенуза должны делиться на 5 .
Все внутренние перпендикулярные биссектрисы треугольника Герона рациональны: для любого треугольника они задаются формулами и, где стороны имеют размер a ≥ b ≥ c, а площадь равна A ; ^[10] в треугольнике Герона все a , b , c и A являются целыми числами. $p_{a}={\tfrac {2aA}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}},$ $p_{b}={\tfrac {2bA}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}},$ $p_{c}={\tfrac {2cA}{a^{2}-b^{2}+c^{2}}},$
Равносторонних треугольников Герона нет. ^[9]
Не существует треугольников Герона со стороной 1 или 2. ^[11]
Существует бесконечное количество примитивных треугольников Герона с одной стороной, равной a, при условии, что a> 2. ^[11]
Не существует треугольников Герона, стороны которых образуют геометрическую прогрессию . ^[12]
Если любые две стороны (но не три) треугольника Герона имеют общий множитель, этот множитель должен быть суммой двух квадратов. ^[13]
Каждый угол треугольника Герона имеет рациональный синус. Это следует из формулы площади $Area = (1/2) ab sin C$ , в которой площадь и стороны a и b являются целыми числами, и, что эквивалентно, для других углов.
Каждый угол треугольника Герона имеет рациональный косинус. Это следует из закона косинусов , $c 2 = a 2 + b 2 - 2 ab cos C$ , в котором стороны a , b и c являются целыми числами, и, что эквивалентно, для других углов.
Поскольку все треугольники Герона имеют рациональные синусы и косинусы углов, это означает, что каждый наклонный угол треугольника Герона имеет рациональную касательную, котангенс, секанс и косеканс. Кроме того, половина каждого угла имеет рациональную касательную, потому что $tan C / 2 = sin C / (1 + cos C)$ , что эквивалентно для других углов.
Не существует треугольников Герона, три внутренних угла которых образуют арифметическую прогрессию. Это потому, что все плоские треугольники с углами в арифметической прогрессии должны иметь один угол 60 °, который не имеет рационального синуса. ^[14]
Любой квадрат, вписанный в треугольник Герона, имеет рациональные стороны: для общего треугольника вписанный квадрат на стороне длины a имеет длину, где A - площадь треугольника; ^[15] в треугольнике Герона и A, и a являются целыми числами. ${\tfrac {2Aa}{a^{2}+2A}}$
Каждый треугольник Герона имеет рациональный внутренний радиус (радиус вписанной в него окружности): для общего треугольника внутренний радиус - это отношение площади к половине периметра, и оба они рациональны в треугольнике Герона.
Каждый треугольник имеет Heronian рациональной описанную окружность (радиус его окружность): Для общего треугольника равна описанная окружность один-четвертый продукт сторон , разделенных на области; в треугольнике Герона стороны и площадь являются целыми числами.
В треугольнике Герона расстояние от центра тяжести до каждой стороны является рациональным, потому что для всех треугольников это расстояние является отношением удвоенной площади к трехкратной длине стороны. ^[16] Это можно обобщить, заявив, что все центры, связанные с треугольниками Герона, барицентрические координаты которых являются рациональными отношениями, имеют рациональное расстояние до каждой стороны. Эти центры включают Окружность , ортоцентр , девять пунктов центр , симедиан точку , точку Gergonne и точку Nagel . ^[17]
Все треугольники Герона могут быть помещены на решетку с каждой вершиной в точке решетки. ^[18]

Точная формула для всех треугольников Герона [ править ]

Индийский математик Брахмагупта (598–668 гг. Н.э.) вывел параметрическое решение таким образом, что каждый треугольник Герона имеет стороны, пропорциональные: ^[19]^[20]

a=n(m^{2}+k^{2})

b=m(n^{2}+k^{2})

c=(m+n)(mn-k^{2})

{\text{Semiperimeter}}=s=(a+b+c)/2=mn(m+n)

{\text{Area}}=mnk(m+n)(mn-k^{2})

{\text{Inradius}}=k(mn-k^{2})

s-a=n(mn-k^{2})

s-b=m(mn-k^{2})

s-c=(m+n)k^{2}

для целых чисел m , n и k, где:

\gcd {(m,n,k)}=1

mn>k^{2}\geq 1

m\geq n\geq 1

.

Коэффициент пропорциональности , как правило , рациональный ^р / _д , где д = НОД ( а, б, в ) уменьшает сгенерированные герон треугольника к его примитивному и р масштабируется этим примитив до требуемого размера. Например, если взять m = 36, n = 4 и k = 3, получится треугольник с a = 5220, b = 900 и c = 5400, который похож на треугольник Герона 5, 29, 30, а используемый коэффициент пропорциональности имеет p = 1 и q = 180.

Препятствием для вычислительного использования параметрического решения Брахмагупты является знаменатель q коэффициента пропорциональности. q может быть определено только путем вычисления наибольшего общего делителя трех сторон (gcd ( a, b, c )) и вносит элемент непредсказуемости в процесс генерации. ^[20] Самый простой способ создания списков треугольников Герона - это создать все целочисленные треугольники с максимальной длиной стороны и проверить целую площадь.

Более быстрые алгоритмы были получены Курцем (2008) .

Существует бесконечно много примитивных и неразложимых непифагоровых треугольников Герона с целыми значениями внутреннего радиуса и всех трех эксрадиусов , включая те, которые были порождены ^[21]^{: Thm. 4}

a=25n^{2}+5n-5=5(5n^{2}+n-1),

b=25n^{3}-5n^{2}-7n+3=(5n+3)(5n^{2}-4n+1),

c=25n^{3}+20n^{2}-2n-4=(5n-2)(5n^{2}+6n+2),

A=(5n-2)(5n+3)(5n^{2}+n-1),

r=5n-2,

r_{a}=5n+3,

r_{b}=5n^{2}+n-1,

r_{c}=A=(5n-2)(5n+3)(5n^{2}+n-1).

Существует бесконечно много треугольников Герона, которые могут быть размещены на решетке так, что не только вершины находятся в точках решетки, как это справедливо для всех треугольников Герона, но, кроме того, центры вписанной и вневписанной окружностей находятся в точках решетки. ^[21]^{: Thm. 5}

См. Также формулы для треугольников Герона с одним углом, равным удвоенному другому , треугольников Герона со сторонами в арифметической прогрессии и равнобедренных треугольников Герона .

Второй подход [ править ]

Треугольник с обозначенными длинами сторон и внутренними углами. Заглавные буквы

A

,

B

и

C

- это углы, а строчные буквы

a

,

b

и

c

- противоположные стороны.

Касательная к половине любого внутреннего угла треугольника Герона обязательно рациональна; см. свойства выше. Эти половинные углы положительны, и их сумма составляет 90 ° ( $π / 2$ радиан), потому что внутренние углы $(A, B, C) в$ сумме составляют 180 ° ( $π$ радиан). Начнем с выбора $r = tan (A / 2)$ и $s = tan (B / 2)$ в качестве любых положительных рациональных чисел, удовлетворяющих $rs <1$ . Предел 1 гарантирует, что угол $A / 2 + B / 2$ будет меньше 90 ° и, следовательно, угол $C / 2$ будет положительным. Значение $t = tan (C / 2)$ также будет положительным рациональным числом, потому что

t=\tan(C/2)=\cot(90^{\circ }-C/2)=\cot(A/2+B/2)={\frac {1-\tan(A/2)\tan(B/2)}{\tan(A/2)+\tan(B/2)}}={\frac {1-rs}{r+s}}\,.

Мы можем вычислить синус любого угла, используя формулу . Мы используем Закон синусов, чтобы заключить, что длины сторон пропорциональны синусам внутренних углов: $\sin \theta ={\frac {2\tan(\theta /2)}{1+\tan ^{2}(\theta /2)}}$

(a,b,c)\propto \left({\frac {2r}{1+r^{2}}},{\frac {2s}{1+s^{2}}},{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right).

Значения $a$ , $b$ и $c$ рациональны, потому что значения $r$ , $s$ и $t$ рациональны. Целочисленные значения для длин сторон могут быть получены путем умножения длин сторон на целое число, которое очищает знаменатели.

Когда также бывает, что $r$ , $s$ или $t$ равны 1, тогда соответствующий внутренний угол будет прямым углом, и три стороны также будут определять тройку Пифагора .

Примеры [ править ]

Список примитивных целочисленных треугольников Герона, отсортированных по площади и, если это то же самое, по периметру , начинается, как в следующей таблице. «Примитивный» означает, что наибольший общий делитель трех длин сторон равен 1.

Область	Периметр	длина стороны b + d	длина стороны e	длина стороны c
6	12	5	4	3
12	16	6	5	5
12	18	8	5	5
24	32	15	13	4
30	30	13	12	5
36	36	17	10	9
36	54	26	25	3
42	42	20	15	7
60	36	13	13	10
60	40	17	15	8
60	50	24	13	13
60	60	29	25	6
66	44 год	20	13	11
72	64	30	29	5
84	42	15	14	13
84	48	21 год	17	10
84	56	25	24	7
84	72	35 год	29	8
90	54	25	17	12
90	108	53	51	4
114	76	37	20	19
120	50	17	17	16
120	64	30	17	17
120	80	39	25	16
126	54	21 год	20	13
126	84	41 год	28 год	15
126	108	52	51	5
132	66	30	25	11
156	78	37	26	15
156	104	51	40	13
168	64	25	25	14
168	84	39	35 год	10
168	98	48	25	25
180	80	37	30	13
180	90	41 год	40	9
198	132	65	55	12
204	68	26	25	17
210	70	29	21 год	20
210	70	28 год	25	17
210	84	39	28 год	17
210	84	37	35 год	12
210	140	68	65	7
210	300	149	148	3
216	162	80	73	9
234	108	52	41 год	15
240	90	40	37	13
252	84	35 год	34	15
252	98	45	40	13
252	144	70	65	9
264	96	44 год	37	15
264	132	65	34	33
270	108	52	29	27
288	162	80	65	17
300	150	74	51	25
300	250	123	122	5
306	108	51	37	20
330	100	44 год	39	17
330	110	52	33	25
330	132	61	60	11
330	220	109	100	11
336	98	41 год	40	17
336	112	53	35 год	24
336	128	61	52	15
336	392	195	193	4
360	90	36	29	25
360	100	41 год	41 год	18
360	162	80	41 год	41 год
390	156	75	68	13
396	176	87	55	34
396	198	97	90	11
396	242	120	109	13

Списки примитивных треугольников Герона, стороны которых не превышают 6 000 000, можно найти в «Списках примитивных треугольников Герона» . Саша Курц, Байройтский университет, Германия . Проверено 29 марта 2016 года .

Равные треугольники [ править ]

Фигура называется ровной, если ее площадь равна периметру. Ровных треугольников Герона ровно пять: с длинами сторон (5,12,13), (6,8,10), (6,25,29), (7,15,20) и (9,10 , 17). ^[22]^[23]

Почти равносторонние треугольники Герона [ править ]

Поскольку площадь равностороннего треугольника с рациональными сторонами является иррациональным числом , ни один равносторонний треугольник не является героновским. Однако существует уникальная последовательность треугольников Герона, которые являются «почти равносторонними», поскольку три стороны имеют форму n - 1, n , n + 1. Метод генерации всех решений этой задачи на основе цепных дробей был описан в 1864 от Эдварда Sang , ^[24] , а в 1880 году Рейнхольд Hoppe дала выражение замкнутой формы для решений. ^[25]Первые несколько примеров этих почти равносторонних треугольников перечислены в следующей таблице (последовательность A003500 в OEIS ):

Длина стороны			Область	Inradius
п - 1	п	п + 1	Область	Inradius
3	4	5	6	1
13	14	15	84	4
51	52	53	1170	15
193	194	195	16296	56
723	724	725	226974	209
2701	2702	2703	3161340	780
10083	10084	10085	44031786	2911
37633	37634	37635	613283664	10864

Последующие значения n можно найти, умножив предыдущее значение на 4, а затем вычтя предыдущее значение (52 = 4 × 14 - 4, 194 = 4 × 52 - 14 и т. Д.), Таким образом:

n_{t}=4n_{t-1}-n_{t-2}\,,

где t обозначает любую строку в таблице. Это последовательность Лукаса . В качестве альтернативы формула генерирует все n . Аналогично, пусть A = площадь и y = радиус, тогда $(2+{\sqrt {3}})^{t}+(2-{\sqrt {3}})^{t}$

{\big (}(n-1)^{2}+n^{2}+(n+1)^{2}{\big )}^{2}-2{\big (}(n-1)^{4}+n^{4}+(n+1)^{4}{\big )}=(6ny)^{2}=(4A)^{2}

где { n , y } - решения n ² - 12 y ² = 4. Небольшое преобразование n = 2x дает обычное уравнение Пелла x ² - 3 y ² = 1, решения которого затем могут быть получены из регулярного продолжения дробное разложение для √ 3 . ^[26]

Переменная n имеет вид , где k равно 7, 97, 1351, 18817,…. Числа в этой последовательности обладают тем свойством, что k последовательных целых чисел имеют целое стандартное отклонение . ^[27] $n={\sqrt {2+2k}}$

См. Также [ править ]

Героновский тетраэдр
Брахмагупта четырехугольник
Пентагон Роббинса
Целочисленный треугольник # треугольники Герона

Ссылки [ править ]

↑ Карлсон, Джон Р. (1970), «Определение треугольников Герона» (PDF) , Fibonacci Quarterly , 8 : 499–506
^ Beauregard, Raymond A .; Suryanarayan, ER (январь 1998), "The Brahmagupta Треугольники" (PDF) , Колледж Математика Journal , 29 (1): 13-17, DOI : 10,2307 / 2687630 , JSTOR 2687630
^ Педди, Джон. (2013). История визуальной магии в компьютерах: как создаются красивые изображения в САПР, 3D, VR и AR . Лондон: Спрингер. С. 25–26. ISBN 978-1-4471-4932-3. OCLC 849634980 .CS1 maint: date and year (link)
^ Вайсштейн, Эрик В. "Треугольник Герона" . MathWorld .
^ a b c Ю, Пол (2008), Треугольники Герона, которые нельзя разложить на два целых прямоугольных треугольника (PDF) , 41-е заседание Флоридской секции математической ассоциации Америки
^ Серпинские, Wacław (2003) [1962], Пифагор Треугольники , Dover Publications, Inc., ISBN 978-0-486-43278-6
^ a b Friche, январь (2 января 2002 г.). «О симплексах цапли и целочисленных вложениях». Публикация Эрнст-Мориц-Арндт Университета Грейсвальда. arXiv : math / 0112239 . Cite journal requires |journal= (help)
^ Бухгольц, RH; Макдугалл, Дж. А. (2001). «Циклические многоугольники с рациональными сторонами и площадью». CiteSeerX Университет Пенсильвании: 3. CiteSeerX 10.1.1.169.6336 . Cite journal requires |journal= (help)
^ a b Сомос, М. (декабрь 2014 г.). «Рациональные треугольники» . Проверено 4 ноября 2018 .
^ Митчелл, Дуглас В. (2013), "Серединные перпендикулярные направления сторон треугольника", Forum Geometricorum 13, 53-59: Теорема 2.
^ a b Карлсон, Джон Р. (1970). «Определение треугольников Герона» (PDF) . Государственный колледж Сан-Диего. Cite journal requires |journal= (help)
^ Бухгольц, RH; Макдугалл, Дж. А. (1999). «Четырехугольники цапли со сторонами в арифметической или геометрической прогрессии» . Бюллетень Австралийского математического общества . 59 (2): 263–269. DOI : 10.1017 / s0004972700032883 .
^ Блихфельдта, КВ (1896-1897). «О треугольниках с рациональными сторонами и с рациональными площадями». Анналы математики . 11 (1/6): 57–60. DOI : 10.2307 / 1967214 . JSTOR 1967214 .
^ Зелатор, К., "Углы треугольника и стороны в прогрессии и диофантово уравнение x 2 + 3y 2 = z 2 ", Cornell Univ. архив , 2008 г.
^ Бейли, Герберт и DeTemple, Дуэйн, "Квадраты вписанных углов и треугольники", Математика Журнал 71 (4), 1998, 278-284.
^ Кларк Кимберлинг, "Неравенства трехлинейных расстояний для симедианной точки, центроида и других центров треугольника", Forum Geometricorum , 10 (2010), 135−139. http://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201015index.html
^ Энциклопедия Кларк Кимберлинг о Triangle центров «Энциклопедия Triangle центров» . Архивировано из оригинала на 2012-04-19 . Проверено 17 июня 2012 .
^ Ю, П., "геронов треугольник являются решетчатые треугольники", American Mathematical Monthly 108 (2001), 261-263.
^ Кармайкл, RD, 1914, "Диофантов анализ", стр.11-13; в RD Кармайкл, 1959, Теория чисел и диофантовый анализ , Dover Publications, Inc.
^ a b Курц, Саша (2008). «О порождении героновских треугольников» . Сердика Журнал вычислительной техники . 2 (2): 181–196. arXiv : 1401.6150 . Bibcode : 2014arXiv1401.6150K . Руководство по ремонту 2473583 . .
^ a b Чжоу, Ли, "Примитивные треугольники Герона с целыми Inradius и Exradii", Forum Geometricorum 18, 2018, 71-77. http://forumgeom.fau.edu/FG2018volume18/FG201811.pdf
^ Диксон, Леонард Юджин (2005), История теории чисел, Том II: Диофантов анализ , Dover Publications, стр. 199, ISBN 9780486442334
^ Марковиц, L. (1981), "Площадь = Периметр", Математика Учитель , 74 (3): 222-3, DOI : 10,5951 / MT.74.3.0222
^ Санг, Эдвард (1864), "К теории commensurables", Труды Королевского общества Эдинбурга , 23 (3): 721-760, DOI : 10,1017 / s0080456800020019. См., В частности, стр. 734 .
↑ Gould, HW (февраль 1973), «Треугольник с целыми сторонами и площадью» (PDF) , Fibonacci Quarterly , 11 (1): 27–39 .
^ Ричардсон, Уильям Х. (2007), Super-Heronian Triangles
^ Интернет-энциклопедия целочисленных последовательностей, OEIS : A011943 .

Внешние ссылки [ править ]

Вайсштейн, Эрик В. «Треугольник Герона» . MathWorld .
Интернет-энциклопедия целочисленных последовательностей Heronian
Wm. Фитч Чейни-младший (январь 1929 г.), "Heronian Triangles", Amer. Математика. Ежемесячно , 36 (1): 22-28, DOI : 10,1080 / 00029890.1929.11986902 , JSTOR 2300173
С. ш. Кожегельдинов (1994), "О фундаментальных треугольниках Герона", Матем. Примечания , 55 (2): 151-6, DOI : 10.1007 / BF02113294 , S2CID 115233024

[1] Карлсон, Джон Р. (1970), «Определение треугольников Герона» (PDF) , Fibonacci Quarterly , 8 : 499–506

[2] Beauregard, Raymond A .; Suryanarayan, ER (январь 1998), "The Brahmagupta Треугольники" (PDF) , Колледж Математика Journal , 29 (1): 13-17, DOI : 10,2307 / 2687630 , JSTOR 2687630

[3] Педди, Джон. (2013). История визуальной магии в компьютерах: как создаются красивые изображения в САПР, 3D, VR и AR . Лондон: Спрингер. С. 25–26. ISBN 978-1-4471-4932-3. OCLC 849634980 .CS1 maint: date and year (link)

[4] Вайсштейн, Эрик В. "Треугольник Герона" . MathWorld .

[Yiu-5] Ю, Пол (2008), Треугольники Герона, которые нельзя разложить на два целых прямоугольных треугольника (PDF) , 41-е заседание Флоридской секции математической ассоциации Америки

[6] Серпинские, Wacław (2003) [1962], Пифагор Треугольники , Dover Publications, Inc., ISBN 978-0-486-43278-6

[Friche-7] Friche, январь (2 января 2002 г.). «О симплексах цапли и целочисленных вложениях». Публикация Эрнст-Мориц-Арндт Университета Грейсвальда. arXiv : math / 0112239 . Cite journal requires |journal= (help)

[Buchholz1-8] Бухгольц, RH; Макдугалл, Дж. А. (2001). «Циклические многоугольники с рациональными сторонами и площадью». CiteSeerX Университет Пенсильвании: 3. CiteSeerX 10.1.1.169.6336 . Cite journal requires |journal= (help)

[Somos-9] Сомос, М. (декабрь 2014 г.). «Рациональные треугольники» . Проверено 4 ноября 2018 .

[10] Митчелл, Дуглас В. (2013), "Серединные перпендикулярные направления сторон треугольника", Forum Geometricorum 13, 53-59: Теорема 2.

[Carlson-11] Карлсон, Джон Р. (1970). «Определение треугольников Герона» (PDF) . Государственный колледж Сан-Диего. Cite journal requires |journal= (help)

[Buchholz-12] Бухгольц, RH; Макдугалл, Дж. А. (1999). «Четырехугольники цапли со сторонами в арифметической или геометрической прогрессии» . Бюллетень Австралийского математического общества . 59 (2): 263–269. DOI : 10.1017 / s0004972700032883 .

[13] Блихфельдта, КВ (1896-1897). «О треугольниках с рациональными сторонами и с рациональными площадями». Анналы математики . 11 (1/6): 57–60. DOI : 10.2307 / 1967214 . JSTOR 1967214 .

[Zelator-14] Зелатор, К., "Углы треугольника и стороны в прогрессии и диофантово уравнение x 2 + 3y 2 = z 2 ", Cornell Univ. архив , 2008 г.

[15] Бейли, Герберт и DeTemple, Дуэйн, "Квадраты вписанных углов и треугольники", Математика Журнал 71 (4), 1998, 278-284.

[16] Кларк Кимберлинг, "Неравенства трехлинейных расстояний для симедианной точки, центроида и других центров треугольника", Forum Geometricorum , 10 (2010), 135−139. http://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201015index.html

[ck-17] Энциклопедия Кларк Кимберлинг о Triangle центров «Энциклопедия Triangle центров» . Архивировано из оригинала на 2012-04-19 . Проверено 17 июня 2012 .

[Yiu3-18] Ю, П., "геронов треугольник являются решетчатые треугольники", American Mathematical Monthly 108 (2001), 261-263.

[19] Кармайкл, RD, 1914, "Диофантов анализ", стр.11-13; в RD Кармайкл, 1959, Теория чисел и диофантовый анализ , Dover Publications, Inc.

[Kurz-20] Курц, Саша (2008). «О порождении героновских треугольников» . Сердика Журнал вычислительной техники . 2 (2): 181–196. arXiv : 1401.6150 . Bibcode : 2014arXiv1401.6150K . Руководство по ремонту 2473583 . .

[Yiu1-21] Чжоу, Ли, "Примитивные треугольники Герона с целыми Inradius и Exradii", Forum Geometricorum 18, 2018, 71-77. http://forumgeom.fau.edu/FG2018volume18/FG201811.pdf

[22] Диксон, Леонард Юджин (2005), История теории чисел, Том II: Диофантов анализ , Dover Publications, стр. 199, ISBN 9780486442334

[23] Марковиц, L. (1981), "Площадь = Периметр", Математика Учитель , 74 (3): 222-3, DOI : 10,5951 / MT.74.3.0222

[24] Санг, Эдвард (1864), "К теории commensurables", Труды Королевского общества Эдинбурга , 23 (3): 721-760, DOI : 10,1017 / s0080456800020019. См., В частности, стр. 734 .

[25] Gould, HW (февраль 1973), «Треугольник с целыми сторонами и площадью» (PDF) , Fibonacci Quarterly , 11 (1): 27–39 .

[26] Ричардсон, Уильям Х. (2007), Super-Heronian Triangles

[27] Интернет-энциклопедия целочисленных последовательностей, OEIS : A011943 .

[1]