Геометрическая трансформация

В математике , А геометрическая трансформация любая биекция из множества себе (или к другому такому набору) с некоторыми геометрическим выступом основополагающим. ^[1] Более конкретно, это функция, область определения и диапазон которой являются наборами точек - чаще всего обеими или обоими - такими, что функция является инъективной, так что существует обратная ей . ^[2] К изучению геометрии можно подойти через изучение этих преобразований. ^[3]${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

Классификации [ править ]

Геометрические преобразования можно классифицировать по размерности их наборов операндов (таким образом, различая, скажем, плоские преобразования и пространственные преобразования). Их также можно классифицировать по сохраняемым свойствам:

• Смещения сохраняют расстояния и ориентированные углы (например, переводы ); ^[4]
• Изометрии сохраняют углы и расстояния (например, евклидовы преобразования ); ^{[5] [6]}
• Сходства сохраняют углы и соотношения между расстояниями (например, изменение размера); ^[7]
• Аффинные преобразования сохраняют параллелизм (например, масштабирование , сдвиг ); ^{[6] [8]}
• Проективные преобразования сохраняют коллинеарность ; ^[9]

Каждый из этих классов содержит предыдущий. ^[9]

• Преобразования Мёбиуса с использованием комплексных координат на плоскости (а также инверсия окружности ) сохраняют набор всех прямых и окружностей, но могут менять местами линии и окружности.

• 

  Исходное изображение (на основе карты Франции)

• 

  Изометрия

• Сходство

• Аффинное преобразование

• Проективное преобразование

• инверсия

• Диффеоморфизмы (бидифференцируемые преобразования) - это преобразования, аффинные в первом порядке; они содержат предыдущие как частные случаи и могут быть дополнительно уточнены. ^[10]
• Конформные преобразования сохраняют углы и являются, в первую очередь, подобиями.
• Эквиареальные преобразования , сохранение областей в плоском случае или объемов в трехмерном случае. ^[11] и являются в первом порядке аффинными преобразованиями определителя 1.
• Гомеоморфизмы (бинепрерывные преобразования) сохраняют окрестности точек.

• Конформное преобразование

• Эквиареальная трансформация

• Диффеоморфизм

• Гомеоморфизм

Преобразования одного типа образуют группы, которые могут быть подгруппами других групп преобразований.

Противоположные групповые действия [ править ]

Многие геометрические преобразования выражаются линейной алгеброй. Биективные линейные преобразования являются элементами общей линейной группы . Линейное преобразование несингулярно. Для вектора - строки V , то матричное произведение VA дает другой вектор - строку ш = VA .

Транспонирования из вектора - строки V представляет собой вектор - столбец v ^Т , а tranpose приведенного выше равенства Здесь ^Т обеспечивает левое действие на векторы - столбцы.${\ displaystyle w ^ {T} = (vA) ^ {T} = A ^ {T} v ^ {T}.}$

В геометрии трансформации есть композиции AB . Начиная с вектора-строки v , правое действие составного преобразования будет w = vAB . После транспонирования

${\ displaystyle w ^ {T} = (vAB) ^ {T} = (AB) ^ {T} v ^ {T} = B ^ {T} A ^ {T} v ^ {T}.}$

Таким образом, для AB соответствующее действие левой группы равно. При изучении противоположных групп проводится различие между противоположными групповыми действиями, поскольку единственные группы, для которых эти противоположности равны, являются коммутативными группами.${\ displaystyle B ^ {T} A ^ {T}.}$

См. Также [ править ]

• Программа Эрланген
• Отражение
• Жесткое преобразование
• Вращение
• Топология
• Матрица трансформации

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с преобразованиями (геометрия) .

• Адлер, Ирвинг (2012) [1966], Новый взгляд на геометрию , Довер, ISBN 978-0-486-49851-5
• Dienes, ZP ; Голдинг, EW (1967). Геометрия через преобразования (3 тома): геометрия искажения , геометрия конгруэнтности , а также группы и координаты . Нью-Йорк: Гердер и Гердер.
• Дэвид Ганс - Преобразования и геометрии .
• Гильберт, Дэвид ; Кон-Фоссен, Стефан (1952). Геометрия и воображение (2-е изд.). Челси. ISBN 0-8284-1087-9.
• Джон МакКлири - Геометрия с отличительной точки зрения .
• Моденов П.С.; Пархоменко А.С. (1965). Геометрические преобразования (2 тома): евклидовы и аффинные преобразования и проективные преобразования . Нью-Йорк: Academic Press.
• А. Н. Прессли - Элементарная дифференциальная геометрия .
• Яглом И.М. (1962, 1968, 1973, 2009). Геометрические преобразования (4 т.). Случайный дом (I, II и III), MAA (I, II, III и IV).