Неснижаемая фракция

Несократимая дробь (или фракция в младших членах , простейшая форма или снижение фракции ) является фракцией , в которой числитель и знаменатель целых числа , которые не имеют другие общие делителей , чем 1 (и -1, когда отрицательные числа считаются). ^[1] Другими словами, фракция / _б неприводимо тогда и только тогда , когда и б являются взаимно простыми , то есть, если и б имеют наибольший общий делитель , равный 1. В высших математике, « неприводимая дробь » может также относиться к рациональным дробям , в которых числитель и знаменатель являются взаимно простыми многочленами . ^[2] Каждое положительное рациональное число может быть представлено в виде неприводимой дроби ровно одним способом. ^[3]

Иногда бывает полезно эквивалентное определение: если a , b - целые числа, то дробь ^a ⁄ _b неприводима тогда и только тогда, когда не существует другой равной дроби ^c ⁄ _d такой, что | c | <| а | или | d | <| b |, где | а | означает абсолютную величину от . ^[4] (Две фракций / _б и ^с / _г являются равны или эквивалентны тогда и только тогда , когда объявление= до н.э. )

Например, ¹ ⁄ ₄ , ⁵ ⁄ ₆ и ⁻¹⁰¹ ⁄ ₁₀₀ - все неприводимые дроби. С другой стороны, ² ⁄ ₄ можно уменьшить, поскольку оно равно ¹ ⁄ ₂ , а числитель ¹ ⁄ ₂ меньше числителя ² ⁄ ₄ .

Сокращаемую дробь можно уменьшить, разделив числитель и знаменатель на общий множитель. Его можно полностью свести к наименьшим членам, если оба разделить на их наибольший общий делитель . ^[5] Чтобы найти наибольший общий делитель, можно использовать алгоритм Евклида или разложение на простые множители . Обычно предпочтение отдается алгоритму Евклида, поскольку он позволяет сокращать дроби со слишком большими числителями и знаменателями, чтобы их можно было легко разложить на множители. ^[6]

Примеры [ править ]

${\ displaystyle {\ frac {120} {90}} = {\ frac {12} {9}} = {\ frac {4} {3}} \ ,.}$

На первом этапе оба номера были разделены на 10, что является фактором , общим для 120 и 90. На втором этапе, они были разделены на 3. Окончательный результат, ⁴ / ₃ , несократимая дробь , так как 4 и 3 имеют нет общих факторов, кроме 1.

Исходная дробь также могла быть уменьшена за один шаг, используя наибольший общий делитель 90 и 120, который равен 30 (то есть НОД (90,120) = 30). Поскольку 120/30 = 4 и 90/30 = 3 , получается

${\ displaystyle {\ frac {120} {90}} = {\ frac {4} {3}}.}$

Какой метод быстрее "вручную" зависит от дроби и легкости, с которой обнаруживаются общие факторы. В случае, если знаменатель и числитель остаются слишком большими, чтобы гарантировать, что они взаимно просты при проверке, в любом случае необходимо вычисление наибольшего общего делителя, чтобы гарантировать, что дробь действительно несократима.

Уникальность [ править ]

Каждое рациональное число имеет уникальное представление в виде неприводимой дроби с положительным знаменателем ^[3] ( хотя оба они неприводимы). Уникальность является следствием уникальных простых множителей целых чисел, так как предполагает объявление = Ьс и поэтому обе стороны последних должны разделять же простые множители, но и доля не простые множителями , так что множество простых факторов (с кратностью) являются подмножество тех из и наоборот значение и .${\ displaystyle {\ tfrac {2} {3}} = {\ tfrac {-2} {- 3}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {a} {b}} = {\ tfrac {c} {d}}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle a = c}$${\ displaystyle b = d}$

Приложения [ править ]

Тот факт, что любое рациональное число имеет уникальное представление в виде неприводимой дроби, используется в различных доказательствах иррациональности квадратного корня из 2 и других иррациональных чисел. Например, в одном доказательстве отмечается, что если бы квадратный корень из 2 можно было представить как отношение целых чисел, то он, в частности, имел бы полностью сокращенное представление, где a и b - наименьшие возможные; но учитывая, что это равняется квадратному корню из 2, то же самое (поскольку перекрестное умножение на показывает, что они равны). Поскольку последнее является отношением меньших целых чисел, это противоречие.${\ displaystyle {\ tfrac {a} {b}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {a} {b}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {2b-a} {ab}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {a} {b}}}$, поэтому предположение о том, что квадратный корень из двух представлен как отношение двух целых чисел, неверно.

Обобщение [ править ]

Понятие неприводимой дроби обобщается на поле дробей любой уникальной области факторизации : любой элемент такого поля может быть записан как дробь, в которой знаменатель и числитель взаимно просты, путем деления обоих на их наибольший общий делитель. ^[7] Это особенно относится к рациональным выражениям.над полем. Неприводимая дробь для данного элемента уникальна с точностью до умножения знаменателя и числителя на один и тот же обратимый элемент. В случае рациональных чисел это означает, что любое число имеет две неприводимые дроби, связанные изменением знака числителя и знаменателя; эту двусмысленность можно устранить, потребовав, чтобы знаменатель был положительным. В случае рациональных функций знаменатель может аналогичным образом быть моническим многочленом . ^[8]

См. Также [ править ]

• Аномальное отмена , ошибочная арифметическая процедура, которая производит правильную несократимую дробь путем отмены цифр исходной нередуцированной формы
• Диофантово приближение , приближение действительных чисел рациональными числами.

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Приведенная фракция» . MathWorld .