Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В математике , в геометрии циклогон - это кривая , очерченная вершиной многоугольника, которая катится без скольжения по прямой . [1] [2] Нет никаких ограничений на природу многоугольника. Это может быть правильный многоугольник, например равносторонний треугольник или квадрат. Многоугольник даже не обязательно должен быть выпуклым: это может быть даже многоугольник в форме звезды. В более общем плане также учитывались кривые, очерченные не вершинами, а точками. В таких случаях предполагается, что точка отслеживания жестко прикреплена к многоугольнику. Если точка трассировки находится за пределами многоугольника, то кривая называется вытянутым циклогоном., а если он лежит внутри многоугольника, он называется свернутым циклогоном .

В пределе, когда число сторон увеличивается до бесконечности, циклогон становится циклоидой . [3]

У циклогона есть интересное свойство относительно его площади. [3] Пусть A обозначает площадь области над линией и под одной из дуг, пусть P обозначает площадь катящегося многоугольника, и пусть C обозначает площадь диска, который описывает многоугольник. Для каждого циклогона, порожденного правильным многоугольником,

Примеры [ править ]

Циклогоны, образованные равносторонним треугольником и квадратом [ править ]

Анимация, показывающая создание одной дуги циклогона равносторонним треугольником, когда треугольник катится по прямой без проскальзывания.
Анимация, показывающая создание одной дуги циклогона квадратом, когда квадрат катится по прямой без проскальзывания.

 

Вытяжной циклогон, образованный равносторонним треугольником [ править ]

Анимация, показывающая прорисовку вытянутого циклогона в виде равностороннего треугольника, который катится по прямой без пропусков. Точка отслеживания X находится вне круга треугольника.

 

Свернуть циклогон, образованный равносторонним треугольником [ править ]

Анимация, показывающая обводку свернувшегося циклогона в виде равностороннего треугольника, который катится по прямой без пропусков. Точка отслеживания Y находится внутри круга треугольника.

Циклогоны, порожденные четырехугольниками [ править ]

Циклогон, порожденный выпуклым четырехугольником
Циклогон, порожденный невыпуклым четырехугольником
Циклогон, порожденный звездообразным четырехугольником

Обобщенные циклогоны [ править ]

Циклогон получается, когда многоугольник катится по прямой. Предположим, что правильный многоугольник перекатывается через край другого многоугольника. Предположим также, что точка отслеживания - это не точка на границе многоугольника, а, возможно, точка внутри многоугольника или вне многоугольника, но лежащая в плоскости многоугольника. В этой более общей ситуации, пусть кривая проходит через точку z на правильном многоугольном диске с n сторонами, катящимися по другому правильному многоугольному диску с m сторонами. Предполагается, что ребра двух правильных многоугольников имеют одинаковую длину. Точка z, жестко прикрепленная к n-угольнику, очерчивает арку, состоящую из n дуг окружности, прежде чем периодически повторять узор. Эта кривая называется трохогоном - эпитрохогоном.если n-угольник катится вне m-угольника, и гипотрохогон, если он катится внутри m-угольника. Трохогон изогнут, если z находится внутри n-угольника, и вытянут (с петлями), если z находится вне n-угольника. Если z находится в вершине, он отслеживает эпициклогон или гипоциклогон. [4]

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

  1. ^ Том М. Апостол, Мамикон Мнацаканян (2012). Новые горизонты в геометрии . Математическая ассоциация Америки. п. 68 . ISBN 9780883853542.
  2. ^ Кен Кэвинесс. «Циклогоны» . Демонстрационный проект Вольфрама . Проверено 23 декабря 2015 года . CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
  3. ^ а б Апостол Т.М., Мнацаканян М.А. (1999). «Циклоидальные области без зубного камня» (PDF) . Математические горизонты . 7 (1): 12–16. Архивировано из оригинального (PDF) 30 января 2005 года . Проверено 23 декабря 2015 года . CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
  4. ^ Том М. Apostopl и Мамикона А. Mnatsaknian (сентябрь 2002). «Обобщенные циклогоны» (PDF) . Математические горизонты . Архивировано из оригинального (PDF) 30 января 2005 года . Проверено 23 декабря 2015 года . CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )