Кардиоидный

Кардиоида, создаваемая катящимся кругом по кругу с тем же радиусом

Кардиоидной (от греческого καρδία «сердца») является плоской кривой прослежена точкой по периметру круга , который катится вокруг неподвижной окружности того же радиуса. Его также можно определить как эпициклоиду с одним острием . Это также тип синусоидальной спирали , и обратная кривая из параболы с фокусом в центре инверсии. ^[1]

Название было придумано де Кастийоном в 1741 году ^[2], но было предметом изучения за десятилетия до этого. ^[3] Названный в честь своей сердцевидной формы, он больше похож на очертание поперечного сечения круглого яблока без стебля.

Кардиоидный микрофон демонстрирует акустический паттерн пикапа , что, когда рентгенографические в двух измерениях, напоминает кардиоиду (любая 2d плоскости , содержащей 3d прямой линию тела микрофона). В трех измерениях кардиоида имеет форму яблока с центром вокруг микрофона, который является «стеблем» яблока.

Уравнения [ править ]

Создание кардиоиды и используемой системы координат

Пусть быть общим радиусом из двух генераторных окружностей с серединами , угол прокатки и происхождение отправной точкой (смотри рисунок). Один получает${\ displaystyle a}$${\ displaystyle (-a, 0), (a, 0)}$${\ displaystyle \ varphi}$

• параметрическое представление :

${\ Displaystyle х (\ varphi) = 2a (1- \ соз \ varphi) \ cdot \ соз \ varphi \,}$

${\ Displaystyle у (\ varphi) = 2a (1- \ соз \ varphi) \ cdot \ sin \ varphi \, \ qquad 0 \ leq \ varphi <2 \ pi}$

и отсюда представление в

• полярные координаты :

${\ Displaystyle г (\ varphi) = 2a (1- \ соз \ varphi)}$.

Вводя замены, и после удаления квадратного корня получаем неявное представление в${\ Displaystyle \ соз \ varphi = х / г}$${\ displaystyle r = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}$

• декартовы координаты :

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}+4ax(x^{2}+y^{2})-4a^{2}y^{2}\,=\,0}$ .

Доказательство параметрического представления [ править ]

Доказательство может быть установлено с использованием комплексных чисел и их общего описания как комплексной плоскости . Катящееся движение черного круга по синему можно разделить на два вращения. В комплексной плоскости поворот вокруг точки (начала координат) на угол может быть выполнен путем умножения точки (комплексного числа) на . Следовательно${\displaystyle 0}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle z}$${\displaystyle e^{i\varphi }}$

Вращение точки вокруг это ,${\displaystyle \Phi _{+}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle :\quad z\mapsto \quad a+(z-a)e^{i\varphi }}$

вращение вокруг точки является: .${\displaystyle \Phi _{-}}$${\displaystyle -a}$${\displaystyle z\mapsto -a+(z+a)e^{i\varphi }}$

Точка кардиоиды создается путем вращения начала координат вокруг точки и последующего поворота вокруг на тот же угол :${\displaystyle p(\varphi )}$${\displaystyle a}$${\displaystyle -a}$${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle p(\varphi )=\Phi _{-}(\Phi _{+}(0))=\Phi _{-}(a-ae^{i\varphi })=-a+(a-ae^{i\varphi }+a)e^{i\varphi }=a\;(-e^{i2\varphi }+2e^{i\varphi }-1)}$.

Отсюда можно получить параметрическое представление выше:

${\displaystyle {\begin{array}{cclcccc}x(\varphi )&=&a\;(-\cos(2\varphi )+2\cos \varphi -1)&=&2a(1-\cos \varphi )\cdot \cos \varphi &&\\y(\varphi )&=&a\;(-\sin(2\varphi )+2\sin \varphi )&=&2a(1-\cos \varphi )\cdot \sin \varphi &.&\end{array}}}$

(Были использованы следующие формулы . См. Тригонометрические функции .)${\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi ,\ (\cos \varphi )^{2}+(\sin \varphi )^{2}=1,\ \cos 2\varphi =(\cos \varphi )^{2}-(\sin \varphi )^{2},\;\sin 2\varphi =2\sin \varphi \cos \varphi }$

Свойства показателя [ править ]

Для кардиоиды, как определено выше, верны следующие формулы:

• область ,${\displaystyle A=6\pi a^{2}}$
• длина дуги и${\displaystyle L=16a}$
• радиус кривизны ${\displaystyle \rho (\varphi )={\tfrac {8}{3}}a\sin {\tfrac {\varphi }{2}}\ .}$

Доказательства этого утверждения используют в обоих случаях полярное представление кардиоиды. Подходящие формулы см. В полярной системе координат (длина дуги) и полярной системе координат (площадь).

доказательство формулы площади

${\displaystyle A=2\cdot {\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }{(r(\varphi ))^{2}}\;d\varphi =\int _{0}^{\pi }{4a^{2}(1-\cos \varphi )^{2}}\;d\varphi =\cdots =4a^{2}\cdot {\tfrac {3}{2}}\pi =6\pi a^{2}}$ .

доказательство формулы длины дуги

${\displaystyle L=2\int _{0}^{\pi }{\sqrt {r(\varphi )^{2}+(r'(\varphi ))^{2}}}\;d\varphi =\cdots =8a\int _{0}^{\pi }{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}(1-\cos \varphi )}}\;d\varphi =8a\int _{0}^{\pi }\sin({\tfrac {\varphi }{2}})d\varphi =16a}$ .

Доказательство радиуса кривизны

Радиус кривизны кривой в полярных координатах с уравнением равен (s. Кривизна )${\displaystyle \rho }$${\displaystyle r=r(\varphi )}$

${\displaystyle \rho (\varphi )={\frac {\left[r(\varphi )^{2}+{\dot {r}}(\varphi )^{2}\right]^{3/2}}{r(\varphi )^{2}+2{\dot {r}}(\varphi )^{2}-r(\varphi ){\ddot {r}}(\varphi )}}\ .}$

Для кардиоиды получают${\displaystyle r(\varphi )=2a(1-\cos \varphi )=4a\sin ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}}}$

${\displaystyle \rho (\varphi )=\cdots ={\frac {[16a^{2}\sin ^{2}{\frac {\varphi }{2}}]^{\frac {3}{2}}}{24a^{2}\sin ^{2}{\frac {\varphi }{2}}}}={\frac {8}{3}}a\sin {\frac {\varphi }{2}}\ .}$

Свойства [ править ]

Аккорды через куспид [ править ]

• C1: хорды, проходящие через острие кардиоиды, имеют одинаковую длину .${\displaystyle 4a}$
• С2: В серединах этих аккордов через параболический лежат по периметру неподвижной окружности генератора (смотрите рисунок).

доказательство для C1

Точки находятся на хорде через куспид (= начало координат). Следовательно${\displaystyle P:p(\varphi ),\;Q:p(\varphi +\pi )}$

${\displaystyle |PQ|=r(\varphi )+r(\varphi +\pi )}$

${\displaystyle =2a(1-\cos \varphi )+2a(1-\cos(\varphi +\pi ))=\cdots =4a}$ .

доказательство для C2

Для доказательства используется представление в комплексной плоскости (см. Выше). По очкам

${\displaystyle P:\ p(\varphi )=a\;(-e^{i2\varphi }+2e^{i\varphi }-1)}$

${\displaystyle Q:\ p(\varphi +\pi )=a\;(-e^{i2(\varphi +\pi )}+2e^{i(\varphi +\pi )}-1)=a\;(-e^{i2\varphi }-2e^{i\varphi }-1)}$,

середина хорды является${\displaystyle PQ}$

${\displaystyle M:\ {\tfrac {1}{2}}(p(\varphi )+p(\varphi +\pi ))=\cdots =-a-ae^{i2\varphi }}$

который лежит по периметру окружности со средней точкой и радиусом (см. рисунок).${\displaystyle -a}$${\displaystyle a}$

Кардиоида как обратная кривая параболы [ править ]

• Кардиоида - это обратная кривая параболы с фокусом в центре инверсии (см. График)

В примере, показанном на графике, образующие окружности имеют радиус . Следовательно, кардиоида имеет полярное представление${\displaystyle a={\tfrac {1}{2}}}$

${\displaystyle r(\varphi )=1-\cos \varphi }$

и его обратная кривая

${\displaystyle r(\varphi )={\frac {1}{1-\cos \varphi }}}$,

которая представляет собой параболу (s. парабола в полярных координатах ) с уравнением в декартовых координатах.${\displaystyle x={\tfrac {1}{2}}(y^{2}-1)}$

Замечание: Не всякая обратная кривая параболы является кардиоидой. Например, если парабола перевернута через круг, центр которого находится в вершине параболы, то результатом будет циссоида Диокла .

Кардиоида как огибающая карандаша кругов [ править ]

В предыдущем разделе, если дополнительно инвертировать касательные параболы, получается пучок окружностей, проходящий через центр инверсии (начало координат). Подробное рассмотрение показывает: Середины окружностей лежат на периметре неподвижной образующей окружности. (Образующая окружность - обратная кривая директрисы парабол.)

Это свойство приводит к следующему простому способу рисования кардиоиды:

1) Выберите круг и точку по его периметру,${\displaystyle c}$${\displaystyle O}$

2) нарисуйте круги, содержащие центры , и${\displaystyle O}$${\displaystyle c}$

3) нарисуйте конверт этих кругов.

доказательство с условием конверта

Огибающая пучка неявно заданных кривых

${\displaystyle F(x,y,t)=0}$

с параметром состоит из таких точек, которые являются решениями нелинейной системы${\displaystyle t}$${\displaystyle (x,y)}$

• ${\displaystyle F(x,y,t)=0,\quad F_{t}(x,y,t)=0\;}$( состояние конверта ).

( означает частную производную для параметра .${\displaystyle F_{t}}$${\displaystyle t}$

Позвольте быть круг с серединой и радиусом . Затем имеет параметрическое представление . Пучок окружностей с центрами в содержащей точке можно неявно представить как${\displaystyle c}$${\displaystyle (-1,0)}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle c}$${\displaystyle (-1+\cos t,\sin t)}$${\displaystyle c}$${\displaystyle O=(0,0)}$

${\displaystyle F(x,y,t)=(x+1-\cos t)^{2}+(y-\sin t)^{2}-(2-2\cos t)=0}$,

что эквивалентно

${\displaystyle F(x,y,t)=x^{2}+y^{2}+2x\;(1-\cos t)-2y\;\sin t=0\;.}$

Второе условие конверта:

${\displaystyle F_{t}(x,y,t)=2x\;\sin t-2y\;\cos t=0}$.

Несложно проверить, что точки кардиоиды с параметрическим представлением

${\displaystyle x(t)=2(1-\cos t)\cos t,\quad y(t)=2(1-\cos t)\sin t}$

выполнить нелинейную систему выше. Параметр идентичен параметру угла кардиоиды.${\displaystyle t}$

Кардиоида как огибающая карандаша линий [ править ]

Аналогичный и простой метод рисования кардиоиды использует карандаш из линий . Это связано с Л. Кремона :

1. Нарисуйте круг, разделите его периметр на равные части с помощью точек (см. Рисунок) и пронумеруйте их последовательно.${\displaystyle 2N}$
2. Нарисуйте аккорды: . (то есть: вторая точка перемещается с двойной скоростью.)${\displaystyle (1,2),(2,4),....,(n,2n),....,(N,2N),(N+1,2),(N+2,4),....,}$
3. Огибающая этих аккордов кардиоида.

доказательство

В следующем рассмотрении используются тригонометрические формулы для . Для простоты вычислений доказательство дано для кардиоиды с полярным представлением (см. Раздел Кардиоиды в различных положениях ).${\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta ,\ \sin \alpha +\sin \beta ,\ 1+\cos 2\alpha ,\ \cos 2\alpha ,\sin 2\alpha }$${\displaystyle r=2(1{\color {red}+}\cos \varphi )}$

уравнение касательной

из кардиоида с полярным представлением :${\displaystyle r=2(1+\cos \varphi )}$

Из параметрического представления

${\displaystyle x(\varphi )=2(1+\cos \varphi )\cos \varphi ,}$

${\displaystyle y(\varphi )=2(1+\cos \varphi )\sin \varphi }$

получается нормальный вектор . Уравнение касательной :${\displaystyle {\vec {n}}=({\dot {y}},-{\dot {x}})^{T}}$${\displaystyle {\dot {y}}(\varphi )\cdot (x-x(\varphi ))-{\dot {x}}(\varphi )\cdot (y-y(\varphi ))=0}$

${\displaystyle (\cos 2\varphi +\cos \varphi )\cdot x\ +\ (\sin 2\varphi +\sin \varphi )\cdot y=2(1+\cos \varphi )^{2}\ .}$

С помощью тригонометрических формул и последующего деления на уравнение касательной можно переписать в виде:${\displaystyle \cos {\tfrac {1}{2}}\varphi }$

• ${\displaystyle \cos({\tfrac {3}{2}}\varphi )\cdot x+\sin({\tfrac {3}{2}}\varphi )\cdot y=4(\cos {\tfrac {1}{2}}\varphi )^{3}\quad 0<\varphi <2\pi ,\ \varphi \neq \pi .}$

уравнение хорды

из круга с средней точкой и радиусом : Для уравнения секущей линии , проходящей две точки один получает:${\displaystyle (1,0)}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle (1+3\cos \theta ,3\sin \theta ),\ (1+3\cos {\color {red}2}\theta ,3\sin {\color {red}2}\theta ))}$

${\displaystyle (\sin \theta -\sin 2\theta )\cdot x\ +\ (\cos 2\theta -\sin \theta )\cdot y=-2\cos \theta -\sin 2\theta \ .}$

С помощью тригонометрических формул и последующего деления на уравнение секущей линии можно переписать:${\displaystyle \sin {\tfrac {1}{2}}\theta }$

• ${\displaystyle \cos({\tfrac {3}{2}}\theta )\cdot x+\sin({\tfrac {3}{2}}\theta )\cdot y=4(\cos {\tfrac {1}{2}}\theta )^{3}\quad 0<\theta <2\pi .}$

Несмотря на то, что два угла имеют разное значение (см. Рисунок), одна и та же линия имеет значение. Следовательно, любая секущая окружности, определенная выше, также является касательной к кардиоиде:${\displaystyle \varphi ,\theta }$${\displaystyle \varphi =\theta }$

• Кардиоида - это огибающая хорд круга.

Замечание:
Доказательство можно провести с помощью условий огибающей (см. Предыдущий раздел) неявного пучка кривых:

${\displaystyle F(x,y,t)=\cos {\tfrac {3}{2}}t\cdot x\ +\ \sin {\tfrac {3}{2}}t\cdot y-4(\cos {\tfrac {1}{2}}t)^{3}=0\ }$ - пучок секущих окружности (см. выше) и

${\displaystyle F_{t}(x,y,t)=-{\tfrac {3}{2}}\sin {\tfrac {3}{2}}t\cdot x\ +\ {\tfrac {3}{2}}\cos {\tfrac {3}{2}}t\cdot y+3\cos {\tfrac {1}{2}}t\sin t=0\ .}$

Для фиксированного параметра t оба уравнения представляют собой линии. Их точка пересечения

${\displaystyle x(t)=2(1+\cos t)\cos t,\quad y(t)=2(1+\cos t)\sin t}$,

которая является точкой кардиоиды с полярным уравнением ${\displaystyle r=2(1+\cos t).}$

Кардиоид как каустик : источник света, световой луч , отраженный луч${\displaystyle Z}$${\displaystyle {\vec {s}}}$${\displaystyle {\vec {r}}}$

Кардиоида как каустика круга [ править ]

Соображения, сделанные в предыдущем разделе, доказывают, что каустика круга с источником света по периметру круга является кардиоидой.

• Если на плоскости есть источник света в точке по периметру круга, который отражает любой луч, то отраженные лучи внутри круга являются касательными к кардиоиде.${\displaystyle Z}$

доказательство

Как и в предыдущем разделе, круг может иметь середину и радиус . Его параметрическое представление${\displaystyle (1,0)}$${\displaystyle 3}$

${\displaystyle c(\varphi )=(1+3\cos \varphi ,3\sin \varphi )\ .}$

Касательная в точке окружности имеет вектор нормали . Следовательно, отраженный луч имеет вектор нормали (см. График) и содержит точку . Отраженный луч является частью линии с уравнением (см. Предыдущий раздел)${\displaystyle C:\ k(\varphi )}$${\displaystyle {\vec {n}}_{t}=(\cos \varphi ,\sin \varphi )^{T}}$${\displaystyle {\vec {n}}_{r}=(\cos {\color {red}{\tfrac {3}{2}}}\varphi ,\sin {\color {red}{\tfrac {3}{2}}}\varphi )^{T}}$${\displaystyle C:\ (1+3\cos \varphi ,3\sin \varphi )}$

${\displaystyle \cos {\tfrac {3}{2}}\varphi \cdot x\ +\ \sin {\tfrac {3}{2}}\varphi \cdot y=4(\cos {\tfrac {1}{2}}\varphi )^{3}\ ,}$

который является касательной к кардиоиде с полярным уравнением

${\displaystyle r=2(1+\cos \varphi )}$

из предыдущего раздела.

Замечание: Для таких соображений обычно пренебрегают многократными отражениями от круга.

Кардиоида как педальная кривая круга [ править ]

Кардиоидное поколение Cremona не следует путать со следующим поколением:

Позвольте быть круг и точка на периметре этого круга. Верно следующее:${\displaystyle k}$${\displaystyle O}$

• Ступни перпендикуляров от точки на касательных окружности являются точками кардиоиды.${\displaystyle O}$${\displaystyle k}$

Следовательно, кардиоида - это особая педальная изгиба круга.

доказательство

В декартовой системе координат окружность может иметь середину и радиус . Касательная в точке окружности имеет уравнение${\displaystyle k}$${\displaystyle (2a,0)}$${\displaystyle 2a}$${\displaystyle (2a+2a\cos \varphi ,2a\sin \varphi )}$

${\displaystyle (x-2a)\cdot \cos \varphi +y\cdot \sin \varphi =2a\ .}$

Основание перпендикуляра от точки на касательной - это точка с еще неизвестным расстоянием до начала координат . Вставка точки в уравнение касательной дает${\displaystyle O}$${\displaystyle (r\cos \varphi ,r\sin \varphi )}$${\displaystyle r}$${\displaystyle O}$

${\displaystyle (r\cos \varphi -2a)\cos \varphi +r\sin ^{2}\varphi =2a\quad \rightarrow \quad r=2a(1+\cos \varphi )}$

что является полярным уравнением кардиоиды.

Замечание: Если точка не находится на периметре круга , получается лимит Паскаля .${\displaystyle O}$${\displaystyle k}$

Эволюция кардиоиды [ править ]

Эволютное кривой представляет собой геометрическое место центров кривизны. Подробно: Для кривой с радиусом кривизны эволюция имеет представление${\displaystyle {\vec {x}}(s)={\vec {c}}(s)}$${\displaystyle \rho (s)}$

${\displaystyle {\vec {X}}(s)={\vec {c}}(s)+\rho (s){\vec {n}}(s).}$

с соответствующим образом ориентированным блоком normal.${\displaystyle {\vec {n}}(s)}$

При кардиоиде получают:

• Эволютная из кардиоидной является еще кардиоидной одна треть , как больших (с. Рисунок).

доказательство

Для кардиоиды с параметрическим представлением

${\displaystyle x(\varphi )=2a(1-\cos \varphi )\cos \varphi =4a\sin ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}}\cos \varphi \ ,}$

${\displaystyle y(\varphi )=2a(1-\cos \varphi )\sin \varphi =4a\sin ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}}\sin \varphi }$

единица нормальная

${\displaystyle {\vec {n}}(\varphi )=(-\sin {\tfrac {3}{2}}\varphi ,\cos {\tfrac {3}{2}}\varphi )}$

и радиус кривизны

${\displaystyle \rho (\varphi )={\tfrac {8}{3}}a\sin {\tfrac {\varphi }{2}}\ .}$

Следовательно, параметрические уравнения эволюции имеют вид

${\displaystyle X(\varphi )=4a\sin ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}}\cos \varphi -{\tfrac {8}{3}}a\sin {\tfrac {\varphi }{2}}\cdot \sin {\tfrac {3}{2}}\varphi =\cdots ={\tfrac {4}{3}}a\cos ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}}\cos \varphi -{\tfrac {4}{3}}a\ ,}$

${\displaystyle Y(\varphi )=4a\sin ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}}\sin \varphi +{\tfrac {8}{3}}a\sin {\tfrac {\varphi }{2}}\cdot \cos {\tfrac {3}{2}}\varphi \ =\cdots ={\tfrac {4}{3}}a\cos ^{2}{\tfrac {\varphi }{2}}\sin \varphi \ .}$

Эти уравнения описывают кардиоиду втрое меньшего размера, повернутую на 180 градусов и смещенную по оси x на .${\displaystyle -{\tfrac {4}{3}}a}$

(Были использованы тригонометрические формулы: )${\displaystyle \sin {\tfrac {3}{2}}\varphi =\sin {\tfrac {\varphi }{2}}\cos \varphi +\cos {\tfrac {\varphi }{2}}\sin \varphi \ ,\ \cos {\tfrac {3}{2}}\varphi =\cdots ,\ \sin \varphi =2\sin {\tfrac {\varphi }{2}}\cos {\tfrac {\varphi }{2}}\ ,\ \cos \varphi =\cdots \ .}$

Ортогональные траектории [ править ]

Ортогональная траектория из пучка кривых является кривой , которая пересекает любые кривой карандаш ортогональна. Для кардиоидов верно следующее:

• Ортогональные траектории пучка кардиоидов с уравнениями

${\displaystyle r=2a(1-\cos \varphi )\ ,\;a>0\ ,\ }$

кардиоиды с уравнениями

${\displaystyle r=2b(1+\cos \varphi )\ ,\;b>0\ .}$

(Второй карандаш можно рассматривать как отражение на оси Y первого. См. Диаграмму.)

Доказательство:
для кривой, заданной функцией в полярных координатах , выполняется следующая связь с декартовыми координатами:${\displaystyle r(\varphi )}$

${\displaystyle x(\varphi )=r(\varphi )\cos \varphi \ ,\qquad }$ ${\displaystyle y(\varphi )=r(\varphi )\sin \varphi \qquad }$

а для производных

${\displaystyle {\frac {dx}{d\varphi }}=r'(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi \ ,\qquad }$${\displaystyle {\frac {dy}{d\varphi }}=r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi \ .}$

Разделив второе уравнение на первое, получим декартов наклон касательной к кривой в точке :${\displaystyle (r(\varphi ),\varphi )}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi }{r'(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi }}.}$

Для кардиоидов с уравнениями и соответственно получаем:${\displaystyle r=2a(1-\cos \varphi )\;}$${\displaystyle r=2b(1+\cos \varphi )\ }$

${\displaystyle {\frac {dy_{a}}{dx}}={\frac {\cos \varphi -\cos 2\varphi }{\sin 2\varphi -\sin \varphi }}\quad }$ и ${\displaystyle \quad {\frac {dy_{b}}{dx}}=-{\frac {\cos \varphi +\cos 2\varphi }{\sin 2\varphi +\sin \varphi }}\ .}$

(Наклон любой кривой зависит только от параметров, а не от них  !) Следовательно${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle a,b}$

${\displaystyle {\frac {dy_{a}}{dx}}\cdot {\frac {dy_{b}}{dx}}=\cdots =-{\frac {\cos ^{2}\varphi -\cos ^{2}2\varphi }{\sin ^{2}2\varphi -\sin ^{2}\varphi }}=-{\frac {-1+\cos ^{2}\varphi +1-\cos ^{2}2\varphi }{\sin ^{2}2\varphi -\sin ^{2}\varphi }}=-1\ .}$

Это означает: любая кривая первого пучка пересекает любую кривую второго пучка ортогонально.

На разных позициях [ править ]

Выбор других положений кардиоиды в системе координат приводит к другим уравнениям. На рисунке показаны 4 наиболее распространенных положения кардиоиды и их полярные уравнения.

В комплексном анализе [ править ]

В комплексном анализе , то изображение любого круга через начало координат при отображении является кардиоидой. Одно из применений этого результата состоит в том, что граница центральной компоненты периода 1 множества Мандельброта является кардиоидой, задаваемой уравнением${\displaystyle z\to z^{2}}$

${\displaystyle c\,=\,{\frac {1-\left(e^{it}-1\right)^{2}}{4}}.\,}$

Набор Мандельброта содержит бесконечное количество слегка искаженных копий самого себя, и центральная лампочка любой из этих уменьшенных копий является приблизительной кардиоидой.

Каустики [ править ]

Некоторые каустики могут принимать форму кардиоидов. Катакостика круга относительно точки на окружности - это кардиоида. Кроме того, катакустика конуса относительно лучей, параллельных образующей, представляет собой поверхность, поперечное сечение которой является кардиоидой. Это видно, как на фотографии справа, в конической чашке, частично заполненной жидкостью, когда свет светит издалека и под углом, равным углу конуса. ^[4] Форма кривой на дне цилиндрической чашки - это половина нефроида , который выглядит очень похоже.

См. Также [ править ]

• Лимасон
• Нефроид
• Дельтовидная
• Жезл Витгенштейна
• Кардиоидный микрофон
• Лемниската Бернулли
• Рамочная антенна
• Радиопеленгатор
• Радиопеленгация
• Яги антенна
• Джованни Сальвемини

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• RC Yates (1952). «Кардиоидный». Справочник по кривым и их свойствам . Анн-Арбор, Мичиган: Дж. У. Эдвардс. стр. 4 и след.
• Уэллс Д. (1991). Словарь любопытной и интересной геометрии Penguin . Нью-Йорк: Книги Пингвина. С.  24–25 . ISBN 0-14-011813-6.

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме кардиоидов .

• "Кардиоида" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. , "Кардиоида" , архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс.
• Сердечный жевали кардиоидные в вырез в-узел
• Вайстейн, Эрик В. «Кардиоида» . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Эпициклоида - 1-лабчатая» . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. "Кривая сердца" . MathWorld .
• Xah Lee, Cardioid (1998) (На этом сайте представлен ряд альтернативных конструкций) .
• Ян Вассенаар, Кардиоид , (2005)