Обратная кривая

Зеленая кардиоида получается инвертированием красной параболы через пунктирный круг .

В инверсивной геометрии , обратные кривой данный кривой C представляет собой результат применения обратной операции по C . В частности, относительно фиксированной окружности с центром O и радиусом k обратная точка Q - это точка P, для которой P лежит на луче OQ и OP · OQ = k ² . Обратной по отношению к кривой C является то локус Р , как Q пробегает C . Точка Oв этой конструкции называется центром инверсии , окружность - окружностью инверсии , а k - радиусом инверсии .

Дважды примененная инверсия является тождественным преобразованием, поэтому обратная кривая по отношению к той же окружности является исходной кривой. Точки на окружности инверсии фиксируются инверсией, так что инверсия сама собой.

Уравнения [ править ]

Точка, обратная точке ( x , y ) относительно единичной окружности, равна ( X , Y ), где

${\ displaystyle X = {\ frac {x} {x ^ {2} + y ^ {2}}}, \ qquad Y = {\ frac {y} {x ^ {2} + y ^ {2}}} ,}$

или эквивалентно

${\ displaystyle x = {\ frac {X} {X ^ {2} + Y ^ {2}}}, \ qquad y = {\ frac {Y} {X ^ {2} + Y ^ {2}}} .}$

Таким образом, кривая, обратная кривой, определяемой f ( x , y ) = 0, относительно единичной окружности, равна

${\displaystyle f\left({\frac {X}{X^{2}+Y^{2}}},{\frac {Y}{X^{2}+Y^{2}}}\right)=0.}$

Отсюда ясно, что обращение алгебраической кривой степени n относительно окружности дает алгебраическую кривую степени не выше 2 n .

Аналогично, обратная кривая определяется параметрически уравнениями

${\displaystyle x=x(t),\qquad y=y(t)}$

относительно единичной окружности задается параметрически как

${\displaystyle {\begin{aligned}X=X(t)&={\frac {x(t)}{x(t)^{2}+y(t)^{2}}},\\Y=Y(t)&={\frac {y(t)}{x(t)^{2}+y(t)^{2}}}.\end{aligned}}}$

Это означает, что круговая обратная рациональной кривой также рациональна.

В более общем смысле, кривая, обратная кривой, определяемой f ( x , y ) = 0, относительно окружности с центром ( a , b ) и радиусом k равна

${\displaystyle f\left(a+{\frac {k^{2}(X-a)}{(X-a)^{2}+(Y-b)^{2}}},b+{\frac {k^{2}(Y-b)}{(X-a)^{2}+(Y-b)^{2}}}\right)=0.}$

Обратная кривая, заданная параметрически

${\displaystyle x=x(t),\qquad y=y(t)}$

относительно того же круга задается параметрически как

${\displaystyle {\begin{aligned}X=X(t)&=a+{\frac {k^{2}{\bigl (}x(t)-a{\bigr )}}{{\bigl (}x(t)-a{\bigr )}^{2}+{\bigl (}y(t)-b{\bigr )}^{2}}},\\Y=Y(t)&=b+{\frac {k^{2}{\bigl (}y(t)-b{\bigr )}}{{\bigl (}x(t)-a{\bigr )}^{2}+{\bigl (}y(t)-b{\bigr )}^{2}}}.\end{aligned}}}$

В полярных координатах уравнения проще, когда круг инверсии является единичным кругом. Точка, обратная точке ( r , θ ) относительно единичной окружности, есть ( R , Θ ), где

${\displaystyle R={\frac {1}{r}},\qquad \Theta =\theta .}$

Таким образом, обратная к кривой f ( r , θ ) = 0 определяется выражением f (1/р, Θ ) = 0 , и обратная кривой г = г ( θ ) является г =1/г ( θ ).

Градусы [ править ]

Как отмечалось выше, обратная по отношению к окружности кривая степени n имеет степень не выше 2 n . Степень равна 2 n, если исходная кривая не проходит через точку инверсии или не является круговой , что означает, что она содержит круговые точки (1, ± i , 0) , если рассматривать ее как кривую в комплексной проективной плоскости. В общем, инверсия по отношению к произвольной кривой может дать алгебраическую кривую с пропорционально большей степенью.

В частности, если C является p -круговой степенью n , и если центр инверсии является особенностью порядка q на C , то обратная кривая будет ( n - p - q ) -круговой кривой степени 2 n - 2. p - q, а центр инверсии - особенность порядка n - 2 p на обратной кривой. Здесь q = 0, если кривая не содержит центра инверсии, и q = 1если центр инверсии - неособая точка на нем; Аналогично круговые точки, (1, ± я , 0) , являются особенности порядка р на С . Значение k можно исключить из этих соотношений, чтобы показать, что набор p -круговых кривых степени p + k , где p может меняться, но k - фиксированное положительное целое число, инвариантен относительно инверсии.

Примеры [ править ]

Применяя вышеуказанное преобразование к лемнискате Бернулли

${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=a^{2}\left(x^{2}-y^{2}\right)}$

дает нам

${\displaystyle a^{2}\left(u^{2}-v^{2}\right)=1,}$

уравнение гиперболы; поскольку инверсия - это бирациональное преобразование, а гипербола - рациональная кривая, это показывает, что лемниската также является рациональной кривой, то есть кривой нулевого рода .

Если применить преобразование к кривой Ферма x ⁿ + y ⁿ = 1 , где n нечетно, мы получим

${\displaystyle \left(u^{2}+v^{2}\right)^{n}=u^{n}+v^{n}.}$

Любая рациональная точка на кривой Ферма имеет соответствующую рациональную точку на этой кривой, что дает эквивалентную формулировку Великой теоремы Ферма .

Частные случаи [ править ]

Для простоты круг инверсии в следующих случаях будет единичным кругом. Результаты для других кругов инверсии можно найти путем переноса и увеличения исходной кривой.

Линии [ править ]

Для прямой, проходящей через начало координат, полярное уравнение θ = θ _0, где θ ₀ фиксировано. Это остается неизменным при инверсии.

Полярное уравнение для прямой, не проходящей через начало координат, имеет вид

${\displaystyle r\cos \left(\theta -\theta _{0}\right)=a}$

а уравнение обратной кривой имеет вид

${\displaystyle r=a\cos \left(\theta -\theta _{0}\right)}$

который определяет круг, проходящий через начало координат. Повторное применение инверсии показывает, что обратная сторона круга, проходящего через начало координат, является линией.

Круги [ править ]

В полярных координатах общее уравнение для окружности, не проходящей через начало координат (другие случаи уже рассмотрены), имеет вид

${\displaystyle r^{2}-2r_{0}r\cos \left(\theta -\theta _{0}\right)+r_{0}^{2}-a^{2}=0,\qquad (a>0,\ r>0,\ a\neq r_{0})}$

где a - радиус, а ( r ₀ , θ ₀ ) - полярные координаты центра. Тогда уравнение обратной кривой имеет вид

${\displaystyle 1-2r_{0}r\cos \left(\theta -\theta _{0}\right)+\left(r_{0}^{2}-a^{2}\right)r^{2}=0,}$

или же

${\displaystyle r^{2}-{\frac {2r_{0}}{r_{0}^{2}-a^{2}}}r\cos \left(\theta -\theta _{0}\right)+{\frac {1}{r_{0}^{2}-a^{2}}}=0.}$

Это уравнение круга с радиусом

${\displaystyle A={\frac {a}{\left|r_{0}^{2}-a^{2}\right|}}}$

и центр, полярные координаты которого равны

${\displaystyle \left(R_{0},\Theta _{0}\right)=\left({\frac {r_{0}}{r_{0}^{2}-a^{2}}},\theta _{0}\right).}$

Обратите внимание, что R ₀ может быть отрицательным.

Если исходный круг пересекается с единичным кругом, то центры двух кругов и точка пересечения образуют треугольник со сторонами 1, a , r _0, это прямоугольный треугольник, то есть радиусы находятся под прямым углом, именно тогда, когда

${\displaystyle r_{0}^{2}=a^{2}+1.}$

Но из приведенных выше уравнений исходный круг совпадает с обратным кругом именно тогда, когда

${\displaystyle r_{0}^{2}-a^{2}=1.}$

Таким образом, обратная окружность является той же самой окружностью тогда и только тогда, когда она пересекает единичную окружность под прямым углом.

Подводя итоги и обобщая этот и предыдущий разделы:

1. Обратной стороной линии или круга является линия или круг.
2. Если исходная кривая является линией, то обратная кривая пройдет через центр инверсии. Если исходная кривая проходит через центр инверсии, то перевернутая кривая будет линией.
3. Перевернутая кривая будет такой же, как и исходная, точно тогда, когда кривая пересекает круг инверсии под прямым углом.

Параболы с центром инверсии в вершине [ править ]

Уравнение параболы с точностью до подобия переносится так, что вершина находится в начале координат, и вращается так, чтобы ось была горизонтальной, x = y ² . В полярных координатах это становится

${\displaystyle r={\frac {\cos \theta }{\sin ^{2}\theta }}.}$

Тогда обратная кривая имеет уравнение

${\displaystyle r={\frac {\sin ^{2}\theta }{\cos \theta }}=\sin \theta \tan \theta }$

который является циссоида диокла .

Конические сечения с центром инверсии в фокусе [ править ]

Полярное уравнение конического сечения с одним фокусом в начале координат с точностью до подобия

${\displaystyle r={\frac {1}{1+e\cos \theta }},}$

где e - эксцентриситет. Тогда обратная к этой кривой будет

${\displaystyle r=1+e\cos \theta ,}$

которое является уравнением лимака Паскаля . Когда e = 0, это круг инверсии. Когда 0 < e <1, исходная кривая представляет собой эллипс, а обратная кривая - простая замкнутая кривая с узлом в начале координат. Когда e = 1, исходная кривая представляет собой параболу, а обратная кривая - кардиоида, имеющая острие в начале координат. Когда e > 1, исходная кривая представляет собой гиперболу, а обратная кривая образует две петли с кранодой в начале координат.

Эллипсы и гиперболы с центром инверсии в вершине [ править ]

Общее уравнение эллипса или гиперболы имеет вид

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}\pm {\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.}$

Если перевести это так, чтобы начало координат было одной из вершин, получим

${\displaystyle {\frac {(x-a)^{2}}{a^{2}}}\pm {\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

и перестановка дает

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{2a}}\pm {\frac {ay^{2}}{2b^{2}}}=x}$

или, изменяя константы,

${\displaystyle cx^{2}+dy^{2}=x.}$

Обратите внимание, что приведенная выше парабола теперь вписывается в эту схему, если положить c = 0 и d = 1 . Уравнение обратного

${\displaystyle {\frac {cx^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}+{\frac {dy^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}}$

или же

${\displaystyle x\left(x^{2}+y^{2}\right)=cx^{2}+dy^{2}.}$

Это уравнение описывает семейство кривых, называемых раковинами де Слуза . Это семейство включает, помимо циссоиды Диокла, перечисленной выше, трисектрису Маклорена ( d = -c/3) и правый строфоид ( d = - c ).

Эллипсы и гиперболы с центром инверсии в центре [ править ]

Обращение уравнения эллипса или гиперболы

${\displaystyle cx^{2}+dy^{2}=1}$

дает

${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=cx^{2}+dy^{2}}$

который является гиппопедом . При d = - c это лемниската Бернулли .

Коники с произвольным центром инверсии [ править ]

Применяя формулу степени выше, обратная коника (кроме круга) является круговой кубикой, если центр инверсии находится на кривой, и бициркулярной квартикой в ​​противном случае. Коники рациональны, поэтому обратные кривые тоже рациональны. Наоборот, любая рациональная круговая кубическая или рациональная бициркулярная квартика является обратной конике. Фактически, любая такая кривая должна иметь реальную особенность, и если взять эту точку как центр инверсии, обратная кривая будет конической по формуле степени. ^{[1] [2]}

Аналлагматические кривые [ править ]

Anallagmatic кривой является тот , который инвертирует в себя. Примеры включают круг , кардиоиду , овал Кассини , строфоид и трисектрису Маклорена .

См. Также [ править ]

• Инверсивная геометрия
• Инверсия кривых и поверхностей (немецкий)

Ссылки [ править ]

• Стаббс, JW (1843). «О применении нового метода к геометрии кривых и кривых поверхностей». Философский журнал . Series 3. 23 : 338–347.
• Лоуренс, Дж. Деннис (1972). Каталог специальных плоских кривых . Dover Publications. С.  43–46, 121 . ISBN 0-486-60288-5.
• Вайсштейн, Эрик В. «Обратная кривая» . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Аналлагматическая кривая» . MathWorld .
• «Инверсия» в Визуальном словаре специальных плоских кривых
• "Inverse d'une Courbe par Rapport à un Point" в Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables

Внешние ссылки [ править ]

• Определение в списке известных кривых MacTutor . На этом сайте также есть примеры обратных кривых и Java-апплет для изучения обратных кривых каждой кривой в указателе.