Лемниската Бернулли

Лемниската Бернулли и два ее очага F ₁ и F ₂

Лемниската Бернулли - это педальный изгиб прямоугольной гиперболы.

Синусоидальные спирали : равносторонняя гипербола ( n = −2 ), прямая ( n = −1 ), парабола ( n = -1/2), кардиоидный ( n =1/2), круг ( n = 1 ) и лемниската Бернулли ( n = 2 ), где r ⁿ = −1 ⁿ cos nθ в полярных координатах и их эквиваленты в прямоугольных координатах .

В геометрии , то лемниската Бернулли является плоским кривой определяется из двух заданных точек F ₁ и F ₂ , известный как фокусы , на расстояние 2 с друг от друга , как геометрическое место точек Р так , что PF ₁ · PF ₂ = гр ² . Кривая имеет форму, аналогичную цифре 8 и символу ∞ . Его название происходит от слова lemniscatus , что в переводе с латыни означает «украшенный висячими лентами». Это частный случай овала Кассини.и является рациональной алгебраической кривой степени 4.

Эта лемниската была впервые описана в 1694 году Якобом Бернулли как модификация эллипса , который представляет собой геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до каждой из двух фиксированных фокусных точек является постоянной . Кассиня овальная форма , напротив, представляет собой геометрическое место точек , для которых продукт этих расстояний постоянен. В случае, когда кривая проходит через точку на полпути между фокусами, овал является лемнискатой Бернулли.

Эта кривая может быть получена как обратное преобразование из гиперболы , с инверсией окружности с центром в центре гиперболы (биссектрисы его двух очагов). Его также можно нарисовать механической связью в форме связи Ватта , при этом длины трех стержней связи и расстояние между ее конечными точками выбраны так, чтобы образовать перекрестный параллелограмм . ^[1]

Уравнения [ править ]

Уравнения могут быть сформулированы в терминах фокусного расстояния C или полуширины а лемнискаты. Эти параметры связаны как${\ Displaystyle а = с {\ sqrt {2}}}$

• Его декартово уравнение (с точностью до сдвига и вращения):

  ${\ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2} = a ^ {2} (x ^ {2} -y ^ {2}) \,}$

  ${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=2c^{2}(x^{2}-y^{2})\,}$

• В виде параметрического уравнения :

  ${\displaystyle x={\frac {a\cos(t)}{1+\sin ^{2}(t)}};\qquad y={\frac {a\sin(t)\cos(t)}{1+\sin ^{2}(t)}}}$

• В полярных координатах :

  ${\displaystyle r^{2}=a^{2}\cos 2\theta \,}$

• Его уравнение в комплексной плоскости :

  ${\displaystyle |z-a||z+a|=a^{2}\,}$

• В двухцентровых биполярных координатах :

  ${\displaystyle rr'=a^{2}\,}$

• В рациональных полярных координатах :

  ${\displaystyle Q=2s-1\,}$

Длина дуги и эллиптические функции [ править ]

Определение длины дуги дуг лемнискаты приводит к эллиптическим интегралам , как это было обнаружено в восемнадцатом веке. Около 1800 г. эллиптические функции, инвертирующие эти интегралы, были изучены К.Ф. Гауссом (в значительной степени неопубликованные в то время, но ссылки в примечаниях к его Disquisitiones Arithmeticae ). В период решетки имеют очень специальной формы, будучи пропорциональны гауссовых целых чисел . По этой причине случай эллиптических функций с комплексным умножением на √ −1 в некоторых источниках называется лемнискатическим .

Используя эллиптический интеграл

${\displaystyle F(x){\stackrel {\text{def}}{{}={}}}\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\sqrt {1-t^{4}}}}}$

формулу длины дуги можно представить как${\displaystyle L}$

${\displaystyle L=2{\sqrt {2}}c\int _{-1}^{1}{\frac {dt}{\sqrt {1-t^{4}}}}=4{\sqrt {2}}cF(1)={\frac {\Gamma (1/4)^{2}}{\sqrt {\pi }}}c\approx 7{.}416\cdot c}$.

Углы [ править ]

Следующая теорема об углах, встречающихся в лемнискате, принадлежит немецкому математику Герхарду Кристофу Герману Фехтманну , который описал ее в 1843 году в своей диссертации о лемнискатах. ^[2]

F ₁ и F ₂ - это фокусы лемнискаты, O - это середина отрезка F ₁ F _2, а P - любая точка на лемнискате за пределами линии, соединяющей F ₁ и F ₂ . Нормальным п лемнискаты в Р пересекает линию , соединяющую F ₁ и F ₂ в R . Теперь внутренний угол треугольника OPR в точке О составляет одну треть от внешнего угла треугольника в R . Кроме того, внутренний угол наР в два раза превышает внутренний угол на O .

Другие свойства [ править ]

• Лемниската симметрична линии, соединяющей ее фокусы F ₁ и F _2, а также срединному перпендикуляру отрезка F ₁ F ₂ .
• Лемниската симметрична середине отрезка F ₁ F ₂ .
• Площадь, ограниченная лемнискатой, составляет 2 на ² .
• Лемниската является окружность инверсии из гиперболы и наоборот.
• Две касательные в средней точке O ортогональны, и каждая из них образует угол с линией, соединяющей F ₁ и F ₂ .${\displaystyle {\tfrac {\pi }{4}}}$
• Плоское сечение стандартного тора, касающееся его внутреннего экватора, является лемнискатой.

Приложения [ править ]

Динамика на этой кривой и ее более обобщенных вариантах изучается в квазиодномерных моделях.

См. Также [ править ]

• Лемниската Бут
• Лемниската Джероно
• Постоянная Гаусса
• Лемнискатическая эллиптическая функция
• Кассини овал

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Дж. Деннис Лоуренс (1972). Каталог специальных плоских кривых . Dover Publications. С.  4–5, 121–123, 145, 151, 184 . ISBN 0-486-60288-5.

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме лемнискаты Бернулли .

• Вайсштейн, Эрик В. «Лемниската» . MathWorld .
• "Лемниската Бернулли" в архиве истории математики MacTutor
• «Лемниската Бернулли» в MathCurve.
• Coup d'œil sur la lemniscate de Bernoulli (на французском языке)