Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Антипараллелограмм

В геометрии , А. Н. антипараллелограмм представляет собой тип самопересекающегося четырехугольника . Подобно параллелограмму , антипараллелограмм имеет две противоположные пары сторон равной длины, но стороны более длинной пары пересекают друг друга, как в механизме ножниц . Антипараллелограммы также называют контрпараллелограммами [1] или скрещенными параллелограммами . [2]

Антипараллелограмм - это частный случай скрещенного четырехугольника , у которого, как правило, неравные стороны. [3] Особой формой антипараллелограмма является скрещенный прямоугольник , в котором два противоположных края параллельны.

Свойства [ править ]

У каждого антипараллелограмма есть ось симметрии, проходящая через точку пересечения. Из-за этой симметрии он имеет две пары равных углов, а также две пары равных сторон. [2] Вместе с воздушными змеями и равнобедренными трапециями антипараллелограммы образуют один из трех основных классов четырехугольников с осью симметрии. Выпуклая оболочка из антипараллелограмм является равнобедренной трапецией, и каждый антипараллелограмм может быть образован из непараллельных сторон и диагоналей равнобедренной трапеции. В качестве особого случая антипараллелограмм также может быть образован из диагоналей и любой пары сторон прямоугольника . [4]

Каждый антипараллелограмм представляет собой вписанный четырехугольник , что означает, что все его четыре вершины лежат на одной окружности .

В многогранниках [ править ]

Небольшой rhombihexacron , многогранник с antiparallelograms (образованный парами в одной плоскости треугольников) , как его грани.

Несколько невыпуклый равномерная многогранники , в том числе тетрагемигексаэдр , cubohemioctahedron , octahemioctahedron , небольшой rhombihexahedron , небольшой icosihemidodecahedron и небольшой dodecahemidodecahedron , имеют antiparallelograms как их фигуры вершин , поперечные сечения , образованные разрезанием многогранника плоскостью, проходящей рядом с вершиной, перпендикулярно ось между вершиной и центром. [5]

Для однородных многогранников этого типа, у которых грани не проходят через центральную точку многогранника, двойственный многогранник имеет антипараллелограммы в качестве граней; примеры двойных однородных многогранников с гранями антипараллелограмма включают малый ромбигексакрон , большой ромбигексакрон , малый ромбидодекакрон , большой ромбидодекакрон , малый додецикосакрон и большой додецикосакрон . Антипараллелограммы, образующие грани этих двойственных однородных многогранников, являются теми же антипараллелограммами, которые образуют вершинную фигуру исходного однородного многогранника.

Октаэдр Брикара, построенный в виде двойной пирамиды над антипараллелограммом.

Одна из форм неоднородного, но изгибаемого многогранника , октаэдр Брикара , может быть построена как двойная пирамида над антипараллелограммом. [6]

Связи с четырьмя стержнями [ править ]

Антипараллелограмм использовался как форма четырехзвенной связи , в которой четыре жестких балки фиксированной длины (четыре стороны антипараллелограмма) могут вращаться относительно друг друга в соединениях, размещенных в четырех вершинах антипараллелограмма. В этом контексте его также называют связкой «бабочка» или « бабочка» . Как соединение, он имеет точку нестабильности, в которой он может быть преобразован в параллелограмм и наоборот.

Фиксация короткой кромки антипараллелограммного рычага заставляет точку пересечения очертить эллипс .

Если одно из коротких (непересеченных) краев рычажного механизма антипараллелограмма зафиксировано на месте, а оставшееся звено перемещается свободно, то точка пересечения антипараллелограмма очерчивает эллипс , в фокусах которого находятся концы фиксированного ребра. Другой движущийся короткий край антипараллелограмма имеет в качестве своих концов фокусы другого движущегося эллипса, образованного от первого путем отражения по касательной линии через точку пересечения. [2] [7]

Как для параллелограммных, так и для антипараллелограммных рычажных механизмов, если один из длинных (скрещенных) краев рычажного механизма закреплен в качестве основы, свободные суставы перемещаются по равным кругам, но в параллелограмме они перемещаются в одном направлении с равными скоростями, находясь в Антипараллелограмм они движутся в противоположных направлениях с неодинаковыми скоростями. [8] Как обнаружил Джеймс Ватт , если длинная сторона антипараллелограмма зафиксирована таким образом, он образует вариант соединения Ватта , а середина незафиксированного длинного края будет образовывать лемнискату или кривую в виде восьмерки. Для антипараллелограмма, образованного сторонами и диагоналями квадрата, это лемниската Бернулли . [9]

Антипараллелограмм - важная особенность в конструкции инвертора Харта, рычажного механизма, который (как и рычаг Peaucellier – Lipkin ) может преобразовывать вращательное движение в прямолинейное движение. [10] Соединение в форме антипараллелограмма также может использоваться для соединения двух осей четырехколесного транспортного средства, уменьшая радиус поворота транспортного средства по сравнению с подвеской, которая позволяет вращаться только одной оси. [2] Пара вложенных антипараллелограммов использовалась в связи, определенной Альфредом Кемпе.как часть его теоремы универсальности, утверждающей, что любая алгебраическая кривая может быть начерчена сочленениями соответственно определенной связи. Кемпе назвал связь вложенного антипараллелограмма «мультипликатором», так как ее можно использовать для умножения угла на целое число. [1]

Антипараллелограмм укреплен, чтобы он не превратился в нормальный параллелограмм. Точки PQRS являются серединами сторон и коллинеарны, а X может находиться на любом расстоянии от серединного перпендикуляра к SQ. С этой связью AS 2 + SX 2 = AP 2 + PX 2 .

Без подкрепления рычажок антипараллелограмма можно превратить в нормальный параллелограмм. Его можно использовать для предотвращения этого, используя конструкцию Эбботта и Бартона 2004. Эту конструкцию можно использовать для решения проблемы в теореме универсальности Кемпе . [11]

Небесная механика [ править ]

В проблеме n тел , изучении движений точечных масс согласно закону всемирного тяготения Ньютона , важную роль играют центральные конфигурации , решения проблемы n тел, в которых все тела вращаются вокруг некоторой центральной точки как если бы они были жестко связаны друг с другом. Например, для трех тел существует пять решений этого типа, заданных пятью лагранжевыми точками. Для четырех тел с двумя парами тел, имеющих равные массы (но с непрерывно изменяющимся соотношением масс двух пар), численные данные показывают, что существует непрерывное семейство центральных конфигураций, связанных друг с другом движением связь антипараллелограмм. [12]

Ссылки [ править ]

  1. ^ a b Демейн, Эрик ; О'Рурк, Джозеф (2007), Геометрические алгоритмы складывания , Cambridge University Press, стр. 32–33, ISBN 978-0-521-71522-5.
  2. ^ a b c d Брайант, Джон; Сангвин, Кристофер Дж. (2008), «3.3 Перекрещенный параллелограмм» , Насколько круглый ваш круг? Где встречаются инженерия и математика , Princeton University Press, стр. 54–56, ISBN 978-0-691-13118-4.
  3. ^ Четырехугольники
  4. ^ Уитни, Уильям Дуайт; Смит, Бенджамин Эли (1911), Словарь и циклопедия Century, The Century co., Стр. 1547.
  5. ^ Кокстер, HSM ; Лонге-Хиггинс, MS ; Миллер, JCP (1954), "Равномерные многогранники", Философские труды Лондонского королевского общества. Серия А. физико - математических наук , 246 : 401-450, Bibcode : 1954RSPTA.246..401C , DOI : 10.1098 / rsta.1954.0003 , JSTOR 91532 , MR 0062446  .
  6. ^ Demaine, Эрик Д .; О'Рурк, Джозеф (2007), "23,2 Flexible многогранники", Геометрическая Складные алгоритмы: Взаимосвязи, оригами, многогранники ., Cambridge University Press, Cambridge, стр 345-348, DOI : 10,1017 / CBO9780511735172 , ISBN 978-0-521-85757-4, MR  2354878.
  7. ^ van Schooten, Frans (1646), De Organica Conicarum Sectionum In Plano Descriptione, Tractatus. Geometris, Opticis; Præsertim verò Gnomonicis et Mechanicis Utilis. Cui subnexa est Appendix, de Cubicarum Æquationum Resolutione (на латыни), стр. 49–50, 69–70.
  8. ^ Нортон, Роберт Л. (2003), Дизайн машин , McGraw-Hill Professional, стр. 51, ISBN 978-0-07-121496-4.
  9. ^ Bryant & Sangwin (2008) , стр. 58-59.
  10. ^ Дийксман, EA (1976), Геометрия движения механизмов , Cambridge University Press, стр. 203, ISBN 9780521208413.
  11. ^ Бартон, Тимоти Гуд (2008), Обобщение теоремы Кемпе об универсальности. (PDF)
  12. ^ Гребеников, Евгений А .; Ихсанов, Ерсайн В .; Прокопеня, Александр Н. (2006), "Числово-символьные вычисления в изучении центральных конфигураций в плоской ньютоновской задаче четырех тел", Компьютерная алгебра в научных вычислениях , Конспект лекций по вычисл. Наук,. 4194 , Берлин:. Springer, С. 192-204, DOI : 10.1007 / 11870814_16 , MR 2279793 .