Равнобедренная трапеция

Равнобедренная трапеция
Равнобедренная трапеция с осью симметрии
Тип	четырехугольник , трапеция
Ребра и вершины	4
Группа симметрии	Dih 2 , [], (*), порядок 2
Двойной многоугольник	летающий змей
Характеристики	выпуклый , циклический

В евклидовой геометрии , равнобедренной трапеции ( равнобедренной трапеции в британском английском ) является выпуклым четырехугольником с линией симметрии рассекает одну пару противоположных сторон. Это частный случай трапеции . В качестве альтернативы его можно определить как трапецию, в которой обе опоры и оба базовых угла имеют одинаковую меру. ^[1] Обратите внимание, что непрямоугольный параллелограмм не является равнобедренной трапецией из-за второго условия или из-за отсутствия линии симметрии. В любой равнобедренной трапеции две противоположные стороны (основания) параллельны, а две другие стороны (ноги) имеют одинаковую длину (свойства, общие с параллелограммом ). Диагонали тоже одинаковой длины. Базовые углы равнобедренной трапеции равны в меру (на самом деле есть две пары равных базовых углов, где один базовый угол является дополнительным углом базового угла у другого базового угла).

Особые случаи [ править ]

Частные случаи равнобедренных трапеций

Прямоугольники и квадраты обычно считаются частными случаями равнобедренных трапеций, хотя некоторые источники исключают их. ^[2]

Другой частный случай - это трапеция с 3 равными сторонами , иногда известная как трехсторонняя трапеция ^[3] или трехобедренная трапеция . ^[4] Их также можно увидеть отделенными от правильных многоугольников с 5 или более сторонами как усечение 4 последовательных вершин.

Самопересечения [ править ]

Любой четырехугольник без самопересечения с ровно одной осью симметрии должен быть либо равнобедренной трапецией, либо воздушным змеем . ^[5] Однако, если пересечения разрешены, набор симметричных четырехугольников должен быть расширен, чтобы включить также скрещенные равнобедренные трапеции, скрещенные четырехугольники, у которых скрещенные стороны имеют равную длину, а другие стороны параллельны, а также антипараллелограммы , скрещенные четырехугольники в котором противоположные стороны имеют одинаковую длину.

Каждый антипараллелограмм имеет равнобедренную трапецию в качестве выпуклой оболочки и может быть образован из диагоналей и непараллельных сторон равнобедренной трапеции. ^[6]

Характеристики [ править ]

Если четырехугольник , как известно, на трапецию , это не достаточно просто проверить , что ноги имеют одинаковую длину для того , чтобы знать , что это равнобедренной трапеции, так как ромб является частным случаем трапеции с ноги одинаковой длины , но не является равнобедренной трапецией, поскольку в ней отсутствует линия симметрии, проходящая через середины противоположных сторон.

Любое из следующих свойств отличает равнобедренную трапецию от других трапеций:

• Диагонали одинаковой длины.
• Базовые углы имеют такую ​​же меру.
• Отрезок, соединяющий середины параллельных сторон, перпендикулярен им.
• Противоположные углы являются дополнительными, что, в свою очередь, означает, что равнобедренные трапеции являются циклическими четырехугольниками .
• Диагонали делят друг друга на отрезки попарно равной длины; с точки зрения рисунка ниже, AE = DE , BE = CE (и AE ≠ CE, если нужно исключить прямоугольники).

Углы [ править ]

В равнобедренной трапеции базовые углы попарно имеют одинаковую меру. На рисунке ниже углы ∠ ABC и ∠ DCB - тупые углы одной и той же меры, а углы ∠ BAD и ∠ CDA - острые углы также той же меры.

Поскольку прямые AD и BC параллельны, углы, примыкающие к противоположным основаниям, являются дополнительными , то есть углы ∠ ABC + ∠ BAD = 180 °.

Диагонали и высота [ править ]

В диагонали равнобедренной трапеции имеют одинаковую длину; то есть каждая равнобедренная трапеция является равнодиагональным четырехугольником . Причем диагонали делят друг друга в одинаковых пропорциях. Как показано на рисунке, диагонали AC и BD имеют одинаковую длину ( AC = BD ) и делят друг друга на сегменты одинаковой длины ( AE = DE и BE = CE ).

Соотношение , в котором каждая диагональ делится равно отношению длин параллельных сторон , что они пересекаются, то есть,

${\displaystyle {\frac {AE}{EC}}={\frac {DE}{EB}}={\frac {AD}{BC}}.}$

Длина каждой диагонали, согласно теореме Птолемея , задаваемый

${\displaystyle p={\sqrt {ab+c^{2}}}}$

где a и b - длины параллельных сторон AD и BC , а c - длина каждой стороны AB и CD .

Высота, согласно теореме Пифагора , определяется как

${\displaystyle h={\sqrt {p^{2}-\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {4c^{2}-(a-b)^{2}}}.}$

Расстояние от точки E до основания AD определяется выражением

${\displaystyle d={\frac {ah}{a+b}}}$

где a и b - длины параллельных сторон AD и BC , а h - высота трапеции.

Площадь [ править ]

Площадь равнобедренной (или любой) трапеции равна среднему значению длины основания и вершины ( параллельных сторон ), умноженному на высоту. На соседней диаграмме, если мы пишем AD = a и BC = b , а высота h - это длина отрезка прямой между AD и BC, который перпендикулярен им, тогда площадь K задается следующим образом:

${\displaystyle K={\frac {h}{2}}\left(a+b\right).}$

Если вместо высоты трапеции известна общая длина сторон AB = CD = c , то площадь может быть вычислена с использованием формулы Брахмагупты для площади вписанного четырехугольника, который с двумя равными сторонами упрощается до

${\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)^{2}}},}$

-где полупериметр трапеции. Эта формула аналогична формуле Герона для вычисления площади треугольника. Предыдущая формула для площади также может быть записана как${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+2c)}$

${\displaystyle K={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b)^{2}(a-b+2c)(b-a+2c)}}.}$

Circumradius [ править ]

Радиус описанной окружности определяется выражением ^[7]

${\displaystyle R=c{\sqrt {\frac {ab+c^{2}}{4c^{2}-(a-b)^{2}}}}.}$

В прямоугольнике, где a = b, это упрощается до .${\displaystyle R={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}}$

См. Также [ править ]

• Равнобедренная тангенциальная трапеция

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Некоторые инженерные формулы с участием равнобедренных трапеций