 | Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . ( ноябрь 2019 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон ) |
В геометрии , многоугольники связаны в пары называемых двойственными , где вершины одного соответствуют краям других.
Свойства [ править ]
Регулярные многоугольники являются самодвойственны .
Двойник изогонального (вершинно-транзитивного) многоугольника является изотоксальным (реберно-транзитивным) многоугольником. Например, (изогональный) прямоугольник и (изотоксальный) ромб двойственны.
В циклическом многоугольнике более длинные стороны соответствуют большим внешним углам в двойном ( касательный многоугольник ), а более короткие стороны - меньшим углам. [ необходимая цитата ] Далее, совпадающие стороны в исходном многоугольнике дают конгруэнтные углы в двойном, и наоборот. Например, двойник очень острого равнобедренного треугольника - это тупой равнобедренный треугольник.
В конструкции Дормана Люка каждая грань двойственного многогранника является двойственным многоугольником соответствующей вершинной фигуры .
Двойственность в четырехугольниках [ править ]
В качестве примера угловой двойственности многоугольников мы сравним свойства циклического и касательного четырехугольника . [1]
| Циклический четырехугольник | Тангенциальный четырехугольник |
|---|---|
| Описанный круг | Вписанный круг |
| Биссектрисы сторон параллельны в центре описанной окружности. | Биссектрисы углов параллельны в центре |
| Суммы двух пар противоположных углов равны | Суммы двух пар противоположных сторон равны |
Эта двойственность, возможно, еще более очевидна при сравнении равнобедренной трапеции с воздушным змеем .
| Равнобедренная трапеция | летающий змей |
|---|---|
| Две пары равных смежных углов | Две пары равных смежных сторон |
| Одна пара равных противоположных сторон | Одна пара равных противоположных углов |
| Ось симметрии через одну пару противоположных сторон | Ось симметрии через одну пару противоположных углов |
| Описанный круг | Вписанный круг |
Виды двойственности [ править ]
Исправление [ править ]
Простейшее качественное построение двойного многоугольника - это операция исправления , при которой края многоугольника обрезаются до вершин в центре каждого исходного ребра. Между этими новыми вершинами образуются новые ребра.
Эта конструкция необратима. То есть многоугольник, созданный при его двойном применении, в целом не похож на исходный многоугольник.
Полярное возвратно-поступательное движение [ править ]
Этот раздел нуждается в расширении . Вы можете помочь, добавив к нему . ( Декабрь 2008 г. ) |
Как и в случае двойных многогранников, можно взять круг (будь то вписанный круг , описанный круг или, если оба существуют, их средний круг ) и совершить в нем полярное возвратно-поступательное движение .
Проективная двойственность [ править ]
При проективной двойственности двойственный к точке является линией, а к прямой - точкой - таким образом, двойственный к многоугольнику является многоугольником, причем ребра оригинала соответствуют вершинам двойственного и наоборот.
С точки зрения двойственной кривой , где каждой точке кривой сопоставляется точка, двойственная к ее касательной в этой точке, проективную двойственную кривую можно интерпретировать следующим образом:
- каждая точка на стороне многоугольника имеет одну и ту же касательную линию, которая совпадает с самой стороной - таким образом, все они отображаются в одну и ту же вершину в двойном многоугольнике.
- в вершине «касательные линии» к этой вершине - это все прямые, проходящие через эту точку с углом между двумя ребрами - двойные точки к этим линиям тогда являются ребром в двойном многоугольнике.
Комбинаторно [ править ]
Комбинаторно можно определить многоугольник как набор вершин, набор ребер и отношение инцидентности (которое соприкасается вершинами и ребрами): две смежные вершины определяют ребро, а два смежных ребра определяют вершину. Тогда двойственный многоугольник получается простым переключением вершин и ребер.
Таким образом, для треугольника с вершинами {A, B, C} и ребрами {AB, BC, CA} двойственный треугольник имеет вершины {AB, BC, CA} и ребра {B, C, A}, где B соединяет AB & BC и так далее.
Это не особенно плодотворный путь, поскольку комбинаторно существует одно семейство многоугольников (заданное числом сторон); геометрическая двойственность многоугольников более разнообразна, как и комбинаторные двойственные многогранники .
См. Также [ править ]
- Двойная кривая
- Двойной многогранник
- Самодвойственный многоугольник
Ссылки [ править ]
- Перейти ↑ Michael de Villiers, Some Adventures in Euclidean Geometry , ISBN 978-0-557-10295-2 , 2009, p. 55.
Внешние ссылки [ править ]
- Апплет Dual Polygon от Дона Хэтча
