Ромб

Ромб
Два ромба
Тип	четырехугольник , параллелограмм , воздушный змей
Ребра и вершины	4
Символ Шлефли	{} + {} {2 α }
Диаграмма Кокстера
Группа симметрии	Двугранный (D 2 ), [2], (* 22), порядок 4
Площадь	${\ Displaystyle К = {\ гидроразрыва {п \ cdot q} {2}}}$ (половина произведения диагоналей)
Двойной многоугольник	прямоугольник
Характеристики	выпуклый , изотоксальный

Ромб имеет квадрат как частный случай и является частным случаем воздушного змея и параллелограмма .

В плоскости евклидовой геометрии , A ромб (множественные число ромбов или ромбы ) представляет собой четырехугольник , чьи четырех сторон все имеют одинаковую длину. Другое название - равносторонний четырехугольник , поскольку равносторонний означает, что все его стороны равны по длине. Ромб часто называют ромбом после масти ромбов на игральных картах, которая напоминает проекцию восьмигранного ромба или ромб , хотя первый иногда конкретно относится к ромбу с углом 60 ° (который некоторые авторы называют калиссоном послефранцузское сладкое ^[1] - также см. Полиамонд ), а последнее иногда относится конкретно к ромбу с углом 45 °.

Каждый ромб простой (не самопересекающийся) и является частным случаем параллелограмма и воздушного змея . Ромб с прямыми углами - это квадрат . ^{[2] [3]}

Этимология

Слово «ромб» происходит от греческого μβος ( ромбы ), что означает нечто вращающееся ^[4], которое происходит от глагола ῥέμβω ( rhembō ), означающего «вращаться и вращаться». ^[5] Это слово использовали как Евклид, так и Архимед , которые использовали термин «твердый ромб» для обозначения двуконуса , двух правильных круговых конусов, имеющих общее основание. ^[6]

Поверхность, которую мы сегодня называем ромбом, представляет собой поперечное сечение биконуса на плоскости, проходящей через вершины двух конусов.

Характеристики

Простой (не самопересекающийся ) четырехугольник является ромбом тогда и только тогда , когда он представляет собой любое одно из следующих условий : ^{[7] [8]}

• параллелограмм , в котором диагональ делит пополам внутренний угол
• параллелограмм, у которого не менее двух последовательных сторон равны по длине
• параллелограмм, в котором диагонали перпендикулярны ( ортодиагональный параллелограмм)
• четырехугольник с четырьмя сторонами одинаковой длины (по определению)
• четырехугольник, в котором диагонали перпендикулярны и делят друг друга пополам
• четырехугольник, в котором каждая диагональ делит пополам два противоположных внутренних угла
• четырехугольник ABCD , обладающая точкой Р в его плоскости таким образом, что четыре треугольника ABP , BCP , CDP и DAP все конгруэнтен ^[9]
• четырехугольник ABCD, в котором вписанные окружности в треугольники ABC , BCD , CDA и DAB имеют общую точку ^[10]

Основные свойства

Каждый ромб имеет две диагонали, соединяющие пары противоположных вершин, и две пары параллельных сторон. Используя равные треугольники , можно доказать, что ромб симметричен по каждой из этих диагоналей. Отсюда следует, что любой ромб обладает следующими свойствами:

• Противоположные углы ромба имеют равную меру.
• Две диагонали ромба перпендикулярны ; то есть ромб - это ортодиагональный четырехугольник .
• Его диагонали делят пополам противоположные углы.

Первое свойство означает, что каждый ромб является параллелограммом . Таким образом, ромб обладает всеми свойствами параллелограмма : например, противоположные стороны параллельны; смежные углы являются дополнительными ; две диагонали делят друг друга пополам ; любая линия, проходящая через середину, делит область пополам; а сумма квадратов сторон равна сумме квадратов диагоналей ( закон параллелограмма ). Таким образом, обозначая общую сторону как a и диагонали как p и q , в каждом ромбе

${\ displaystyle \ displaystyle 4a ^ {2} = p ^ {2} + q ^ {2}.}$

Не каждый параллелограмм является ромбом, хотя любой параллелограмм с перпендикулярными диагоналями (второе свойство) является ромбом. В общем, любой четырехугольник с перпендикулярными диагоналями, одна из которых является линией симметрии, является воздушным змеем . Каждый ромб - это воздушный змей, а любой четырехугольник, который одновременно является воздушным змеем и параллелограммом, является ромбом.

Ромб - это касательный четырехугольник . ^[11] То есть он имеет вписанную окружность , касающуюся всех четырех сторон.

Диагонали

Длину диагоналей p = AC и q = BD можно выразить через сторону ромба a и один угол при вершине α как

${\ displaystyle p = a {\ sqrt {2 + 2 \ cos {\ alpha}}}}$

и

${\ displaystyle q = a {\ sqrt {2-2 \ cos {\ alpha}}}.}$

Эти формулы являются прямым следствием закона косинусов .

Inradius

Внутренний радиус (радиус круга, вписанного в ромб), обозначаемый r , может быть выражен через диагонали p и q как ^[11]

${\ displaystyle r = {\ frac {p \ cdot q} {2 {\ sqrt {p ^ {2} + q ^ {2}}}}},}$

или с точки зрения длины стороны a и любого угла при вершине α или β как

${\ displaystyle r = {\ frac {a \ sin \ alpha} {2}} = {\ frac {a \ sin \ beta} {2}}.}$

Площадь

Что касается всех параллелограммов, площадь K ромба равна произведению его основания и его высоты ( h ). Основание - это просто любая сторона длиной a :

${\ Displaystyle К = а \ cdot ч.}$

Площадь также может быть выражена как квадрат основания, умноженный на синус любого угла:

${\ Displaystyle К = а ^ {2} \ CDOT \ грех \ альфа = а ^ {2} \ CDOT \ грех \ бета,}$

или по высоте и углу при вершине:

${\ Displaystyle К = {\ гидроразрыва {ч ^ {2}} {\ грех \ альфа}},}$

или как половину произведения диагоналей p , q :

${\ Displaystyle К = {\ гидроразрыва {п \ cdot q} {2}},}$

или как произведение полупериметра на радиус круга, вписанного в ромб (inradius):

${\ displaystyle K = 2a \ cdot r.}$

Другой способ, аналогичный параллелограммам, состоит в том, чтобы рассматривать две смежные стороны как векторы, образующие бивектор , поэтому площадь - это величина бивектора (величина векторного произведения двух векторов), которая является определителем двух Декартовы координаты векторов: K = x ₁ y ₂ - x ₂ y ₁ . ^[12]

Двойные свойства

Двойной многоугольник ромба представляет собой прямоугольник : ^[13]

• У ромба все стороны равны, а у прямоугольника все углы равны.
• У ромба противоположные углы равны, а у прямоугольника равны противоположные стороны.
• Ромб имеет вписанную окружность, в то время как прямоугольник имеет окружность .
• Ромб имеет ось симметрии через каждую пару противоположных углов при вершине, в то время как прямоугольник имеет ось симметрии через каждую пару противоположных сторон.
• Диагонали ромба пересекаются под равными углами, а диагонали прямоугольника равны по длине.
• Фигура, образованная соединением середин сторон ромба, представляет собой прямоугольник , и наоборот.

Декартово уравнение

Стороны ромба с центром в начале координат и диагоналями, каждая из которых приходится на ось, состоят из всех точек ( x, y ), удовлетворяющих

${\ displaystyle \ left | {\ frac {x} {a}} \ right | \! + \ left | {\ frac {y} {b}} \ right | \! = 1.}$

Вершины находятся в точках и Это частный случай суперэллипса с показателем 1.${\ displaystyle (\ pm a, 0)}$${\ displaystyle (0, \ pm b).}$

Другие свойства

• Одним из пяти типов двумерных решеток является ромбическая решетка, также называемая центрированной прямоугольной решеткой .
• Идентичные ромбики могут мозаику 2D-плоскости тремя различными способами, включая, для ромба 60 °, мозаику ромбовидной формы .

• Трехмерные аналоги ромба включают бипирамиду и биконус .
• Некоторые многогранники имеют ромбические грани, например ромбический додекаэдр и трапециевидный додекаэдр .

Как грани многогранника

Ромбоэдр (также называемый ромбические шестигранники) представляет собой трехмерную фигуру как параллелепипеда (также называемый прямоугольный параллелепипед), за исключением того, что ее 3 пары параллельных граней до 3 -х типов ромбов вместо прямоугольников.

Ромбический додекаэдр является выпуклым многогранник с 12 конгруэнтными ромбами как его грани .

Ромбический триаконтаэдр является выпуклым многогранник с 30 золотыми ромбами (ромбы, диагонали которого находится в золотая пропорция ) в качестве его граней.

Большое ромбический триаконтаэдр является невыпуклым равногранным , isotoxal полиэдр с 30 пересекающимися ромбическими гранями.

Ромбический hexecontahedron является плеяде'ученым из ромбического триаконтаэдра. Он невыпуклый с 60 золотыми ромбическими гранями с икосаэдрической симметрией .

Ромбическое enneacontahedron многогранник , состоящий из 90 ромбических граней, причем три, пять, шесть или ромбов встречи в каждой вершине. В нем 60 широких ромбов и 30 тонких.

Trapezo-ромбический додекаэдр представляет собой выпуклый многогранник с 6 ромбическими и 6 трапециевидным лицом.

Ромбические Икосаэдр многогранник состоит из 20 ромбических граней, из которых три, четыре или пять встречаются в каждой вершине. Он имеет 10 граней на полярной оси и 10 граней, следующих за экватором.

Смотрите также

• Меркель-Рауте
• Ромб Михаэлиса в анатомии человека
• Ромбовид , параллелепипед или параллелограмм, который не является ни ромбом, ни прямоугольником.
• Ромбическая антенна
• Ромбические шахматы
• Флаг департамента Северный Сантандер в Колумбии, содержащий четыре звезды в форме ромба
• Суперэллипс (включает ромб с закругленными углами)

Рекомендации

внешняя ссылка

Найдите ромб в Викисловаре, бесплатном словаре.

Викискладе есть медиафайлы по теме ромби .

• Параллелограмм и ромб - Анимированный курс (Построение, Окружность, Площадь)
• Определение ромба, Math Open Reference с интерактивным апплетом.
• Область ромба, Math Open Reference - показывает три различных способа вычисления площади ромба с помощью интерактивного апплета.