Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
«Триамонд» перенаправляется сюда. Для кристаллической структуры см график Лавеса .

Полиамонд (также polyamond или просто iamond ) представляет собой ПОЛИФОРМ основание которого форма представляет собой равносторонний треугольник . Слово полиамонд является обратно-образованием из алмаза , потому что это слово часто используется для описания формы пары равносторонних треугольников размещены базы на базу, а начальный «ди» выглядит как греческий префикс значение «дву-» ( хотя алмаз на самом деле происходит от греческого ἀδάμας - также основание слова «адамант»). Название было предложено занимающимся математикой писателем Томасом Х. О'Бейрном в New Scientist. 1961 г. номер 1, стр.164.

Подсчет [ править ]

Основной комбинаторный вопрос : сколько существует различных полиалмазов с данным числом ячеек? Как полимино , полиамонд может быть либо свободным или односторонний. Свободные полиалмазы инвариантны как при отражении, так и при перемещении и вращении. Односторонние полиалмазы различают блики.

Количество бесплатных n ромбов для n = 1, 2, 3, ... составляет:

1, 1, 1, 3, 4, 12, 24, 66, 160, ... (последовательность A000577 в OEIS ).

Количество свободных полиалмазов с отверстиями дается OEIS :  A070764 ; количество свободных полиалмазов без отверстий дается OEIS :  A070765 ; количество закрепленных полиалмазов определяется OEIS :  A001420 ; количество односторонних полиалмазов дано OEIS :  A006534 .

ИмяКоличество формФормы
Мониамонд1
Полиалонд-1-1.svg
Алмазный1
Полиалонд-2-1.svg
Триамонд1
Полиалонд-3-1.svg
Тетриамонд3
Полиалонд-4-2.svgПолиалонд-4-1.svgПолиалонд-4-3.svg
Пятиугольник4
Полиалонд-5-1.svgПолиалонд-5-2.svgПолиалонд-5-3.svgПолиалонд-5-4.svg
Шестиугольник12
Полиалонд-6-1.svgПолиалонд-6-2.svgПолиалонд-6-3.svgПолиалонд-6-4.svgПолиалонд-6-5.svgПолиалонд-6-6.svgПолиалонд-6-7.svgПолиалонд-6-8.svgПолиалонд-6-9.svg

Некоторые авторы также называют ромб ( ромб с углом 60 °) калиссоном в честь французской сладости аналогичной формы. [1] [2]

Симметрии [ править ]

Возможные симметрии - это зеркальная симметрия, 2-, 3- и 6-кратная симметрия вращения, каждая из которых сочетается с зеркальной симметрией.

2-кратная вращательная симметрия с зеркальной симметрией и без нее требует как минимум 2 и 4 треугольников соответственно. Шестикратная вращательная симметрия с зеркальной симметрией и без нее требует не менее 6 и 18 треугольников соответственно. Для асимметрии требуется не менее 5 треугольников. 3-кратная вращательная симметрия без зеркальной симметрии требует не менее 7 треугольников.

В случае только зеркальной симметрии мы можем различить, что ось симметрии совмещена с сеткой или повернута на 30 ° (требуется как минимум 4 и 3 треугольника соответственно); то же самое для 3-кратной вращательной симметрии в сочетании с зеркальной симметрией (требуется как минимум 18 и 1 треугольник соответственно).

Обобщения [ править ]

Как полимино , но в отличии от polyhexes , полиамонд имеет трех- мерных аналоги, образованного путем объединения тетраэдров . Однако политетраэдры не мозаичны с 3-мя пространствами, как полиалмазы с 2-мя пространствами.

Тесселяции [ править ]

Каждый многоугольник порядка 8 или меньше покрывает плоскость, за исключением V-семиугольника. [3]

Переписка с полигексами [ править ]

Пятиугольник с наложенным соответствующим пентагексом.

Каждый полиалмаз соответствует полигексу , как показано справа. И наоборот, каждый полигекс также является полиалмазом, потому что каждая шестиугольная ячейка полигекса представляет собой объединение шести смежных равносторонних треугольников. (Обратите внимание, однако, что ни одно соответствие не является однозначным.)

В популярной культуре [ править ]

Набор из 22 полиалмазов, от порядка 1 до порядка 6, составляет форму игровых фишек в настольной игре Blokus Trigon , где игроки пытаются выложить на плоскости как можно больше полиалмазов в соответствии с правилами игры.

См. Также [ править ]

  • Треугольная черепица
  • Ромбильная плитка
  • Плитка сфинкса

Внешние ссылки [ править ]

  • Вайсштейн, Эрик В. «Полиамонд» . MathWorld .
  • Полиалмазы на Poly Pages . Полиалмазные мозаики.
  • VERHEXT - игра-головоломка 1960-х годов Хайнца Хабера, основанная на шестиугольниках ( Архивировано 3 марта 2016 года, в Wayback Machine )

Ссылки [ править ]

  1. ^ Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер Б. (31 декабря 2015 г.). Математическая космическая одиссея: твердотельная геометрия в 21 веке . ISBN 9781614442165.
  2. ^ Дэвид, Гай; Томей, Карлос (1989). «Проблема Калиссонов» . Американский математический ежемесячник . 96 (5): 429–431. DOI : 10.1080 / 00029890.1989.11972212 . JSTOR 2325150 . 
  3. ^ «Все полиалмазы восьмого или меньшего порядка, за исключением одного из гептиалмазов, будут тесселять плоскость. Исключение составляет V-образный шестиугольник. Гарднер (6-я книга, стр. 248) поставил проблему идентификации этого семиалмаза воспроизведено доказательство невозможности Грегори. Однако в сочетании с другими гептиалмазами или другими полиалмазами можно получить мозаику с использованием этого V-образного шестиугольника ".