Кассини овал

Три овала Кассини, различающиеся диапазоном, в который попадает параметр e : 0 < e <1 (зеленый); е = 1 (красный); 1 < e < (синий). Не показано: e ≥ (выпуклый).${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$

Кассиня овальная форма является квартик плоского кривой определяются как набор (или локус ) точек в плоскости таким образом, что произведение расстояний до двух фиксированных точек постоянно. Этому можно противопоставить эллипс , для которого сумма расстояний постоянна, а не произведение. Овалы Кассини - это частный случай полиномиальных лемнискат, когда используемый полином имеет степень 2.

Овалы Кассини названы в честь астронома Джованни Доменико Кассини , изучавшего их в 1680 году. ^[1] Кассини считал, что Солнце движется вокруг Земли по одному из этих овалов, а Земля находится в одном из фокусов овала. ^{[ необходима цитата ]} Другие имена включают кассинианские овалы , кассинианские кривые и овалы Кассини .

Формальное определение [ править ]

Овал Кассини: для любого положения P на кривой${\ displaystyle | PP_ {1} | \ cdot | PP_ {2} | = b ^ {2}}$

• Овал Кассини представляет собой набор точек, таким образом, что для любой точки множества, то продукт расстояний до двух фиксированных точек , является константой, обычно обозначаются :${\ displaystyle P}$${\ displaystyle | PP_ {1} |, \ | PP_ {2} |}$${\ Displaystyle P_ {1}, \; P_ {2}}$${\ displaystyle b ^ {2}, \ b> 0,}$

${\ Displaystyle \ {P \ mid | PP_ {1} | \ cdot | PP_ {2} | = b ^ {2} \} \.}$

Как и в случае с эллипсом, неподвижные точки называются фокусами овала Кассини.${\ displaystyle P_ {1}, P_ {2}}$

Уравнения [ править ]

Если фокусы - это ( a , 0) и (- a , 0), то уравнение кривой имеет вид

${\displaystyle ((x-a)^{2}+y^{2})((x+a)^{2}+y^{2})=b^{4}.\,}$

При расширении это становится

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2a^{2}(x^{2}-y^{2})+a^{4}=b^{4}.\,}$

Эквивалентное полярное уравнение

${\displaystyle r^{4}-2a^{2}r^{2}\cos 2\theta =b^{4}-a^{4}.\,}$

Форма [ править ]

Некоторые овалы Кассини. ( Б =  0.6A , 0.8A , , 1.2a , 1.4a , 1.6a )

Кривая с точностью до подобия зависит от e  =  b / a . При e  <1 кривая состоит из двух разъединенных петель, каждая из которых содержит фокус. Когда e  = 1, кривая представляет собой лемнискату Бернулли, имеющую форму боковой восьмерки с двойной точкой (в частности, кранодой ) в начале координат. ^{[2] [3]} Когда e  > 1, кривая представляет собой единую связанную петлю, охватывающую оба фокуса. Он имеет форму арахиса для и выпуклый для . ^[4] Предельный случай a → 0 (следовательно, e →${\displaystyle 1<e<{\sqrt {2}}}$${\displaystyle e\geq {\sqrt {2}}}$${\displaystyle \infty }$), в этом случае фокусы совпадают друг с другом, представляет собой круг .

Кривая всегда имеет точки пересечения x в точке ± c, где c ²  =  a ²  +  b ² . Когда e  <1, есть два дополнительных реальных x -перехвата, а когда e  > 1 есть два реальных y- перехвата, все остальные x и y- перехватчики являются мнимыми. ^[5]

Кривая имеет двойные точки в круговых точках на бесконечности , другими словами, кривая является двукруглой . Эти точки являются бифлекными узлами, что означает, что кривая имеет две различные касательные в этих точках, и каждая ветвь кривой имеет там точку перегиба. Из этой информации и формул Плюккера можно вывести числа Плюккера для случая e  ≠ 1: степень = 4, класс = 8, количество узлов = 2, количество точек возврата = 0, количество двойных касательных = 8, количество точки перегиба = 12, род = 1. ^[6]

Касательные в точках окружности задаются формулой x  ±  iy  =  ± a, которые имеют действительные точки пересечения в ( ± a , 0). Таким образом, фокусы на самом деле являются фокусами в смысле, определенном Плюккером. ^[7] Круглые точки - это точки перегиба, поэтому это тройные фокусы. Когда e  1, кривая имеет восьмой класс, что означает, что всего должно быть восемь реальных фокусов. Шесть из них были учтены в двух тройных очагах, а остальные два - в

${\displaystyle (\pm a{\sqrt {1-e^{4}}},0)\quad (e<1)}$

${\displaystyle (0,\pm a{\sqrt {e^{4}-1}})\quad (e>1).}$

Таким образом, дополнительные фокусы находятся на оси x, когда кривая имеет две петли, и на оси y, когда кривая имеет одну петлю. ^[8]

Овалы Кассини и ортогональные траектории [ править ]

Овалы Кассини и их ортогональные траектории (гиперболы)

Ортогональные траектории данного пучка кривых - это кривые, которые ортогонально пересекают все данные кривые. Например, ортогональные траектории пучка софокусных эллипсов - это софокусные гиперболы с одинаковыми фокусами. Для овалов Кассини:

• В ортогональные траектории кривых Кассини с фокусами являются равносторонние гиперболы , содержащие с тем же центром, овалов Кассини (смотри рисунок).${\displaystyle P_{1},P_{2}}$${\displaystyle P_{1},P_{2}}$

Доказательство:
для простоты выбираем . ${\displaystyle P_{1}=(1,0),\;P_{2}=(-1,0)}$

Овалы Кассини имеют уравнение

${\displaystyle f(x,y)\;=\;(x^{2}+y^{2})^{2}-2(x^{2}-y^{2})+1-b^{4}=0.}$

В равносторонние гиперболы (их асимптоты имеют прямоугольную форму) , содержащие с центром может быть описана уравнением${\displaystyle (1,0),(-1,0)}$${\displaystyle (0,0)}$

${\displaystyle x^{2}-y^{2}-\lambda xy-1=0,\quad \lambda \in \mathbb {R} .}$

Эти конические секции не имеют общих точек с осью y и пересекают ось x в точке . Их дискриминанты показывают, что эти кривые являются гиперболами. Более подробное исследование показывает, что гиперболы имеют прямоугольную форму. Для получения нормалей, не зависящих от параметра, более удобно следующее неявное представление: ${\displaystyle (\pm 1,0)}$${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle g(x,y)\;=\;{\frac {x^{2}-y^{2}-1}{xy}}-\lambda ={\frac {x}{y}}-{\frac {y}{x}}-{\frac {1}{xy}}-\lambda =0\;.}$

Несложный расчет показывает, что для всех . Следовательно, овалы Кассини и гиперболы пересекаются ортогонально.${\displaystyle \operatorname {grad} f(x,y)\cdot \operatorname {grad} g(x,y)=0}$${\displaystyle (x,y),\;x\neq 0\neq y}$

Примечание:
изображение, изображающее овалы Кассини и гиперболы, выглядит как эквипотенциальные кривые двух равных точечных зарядов вместе с линиями генерируемого электрического поля. Но для потенциала двух равных точечных зарядов есть . (См. Неявную кривую .)${\displaystyle {\frac {1}{|PP_{1}|}}+{\frac {1}{|PP_{2}|}}={\text{constant}}}$

Примеры [ править ]

Вторая лемниската множества Мандельброта - овал Кассини, определяемый уравнением . Его фокусы находятся в точках c на комплексной плоскости, на орбитах которых каждое второе значение z равно нулю, то есть значениям 0 и -1.${\displaystyle L_{2}=\{c:\operatorname {abs} (c^{2}+c)=ER\}\,}$

Овалы кассини на торах [ править ]

Овалы Кассини выглядят как плоские сечения торов , но только когда

• плоскость сечения параллельна оси тора, а расстояние от нее до оси равно радиусу образующей окружности (см. рисунок).

Пересечение тора с уравнением

${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-r^{2}\right)^{2}=4R^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)}$

и самолет дает${\displaystyle y=r}$

${\displaystyle \left(x^{2}+z^{2}+R^{2}\right)^{2}=4R^{2}\left(x^{2}+r^{2}\right).}$

После частичного разрешения первой скобки получается уравнение

${\displaystyle \left(x^{2}+z^{2}\right)^{2}-2R^{2}(x^{2}-z^{2})=4R^{2}r^{2}-R^{4},}$

что является уравнением овала Кассини с параметрами .${\displaystyle b^{2}=2Rr,\;a=R}$

Обобщения [ править ]

Метод Кассини легко обобщить на кривые и поверхности с произвольным набором определяющих точек:

• ${\displaystyle |PP_{1}|\cdot |PP_{2}|\cdots |PP_{n}|=b^{n}\ .}$

описывает в плоском случае неявную кривую, а в трехмерном пространстве - неявную поверхность .

• кривая с 3 определяющими точками

• поверхность с 6 определяющими точками

См. Также [ править ]

• Двухцентровые биполярные координаты

Ссылки [ править ]

Библиография

• Дж. Деннис Лоуренс (1972). Каталог специальных плоских кривых . Dover Publications . С.  5, 153–155 . ISBN 0-486-60288-5.
• RC Yates (1952). Справочник по кривым и их свойствам . Анн-Арбор, Мичиган: Дж. У. Эдвардс. стр. 8 и след.
• А.Б. Бассет (1901). Элементарный трактат о кубических и четвертых кривых . Лондон: Дейтон Белл и Ко, стр. 162 и сл  .
• Лоуден, Д.Ф., "Семейства овалов и их ортогональные траектории", Mathematical Gazette 83, ноябрь 1999 г., стр. 410–420.

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме овала Кассини .

• «Овал Кассини» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Описание MacTutor
• Вайсштейн, Эрик В. «Овалы Кассини» . MathWorld .
• 2Dcurves.com описание
• Известные кривые "MacTutor History of Mathematics"