Ортогональная траектория

Концентрические окружности с ортогональными траекториями (1. пример)

Параболы с ортогональными траекториями (2. пример)

В математике ортогональная траектория представляет собой кривую, которая пересекает любые кривую данный пучок (плоские) кривых ортогональны .

Например, ортогональные траектории пучка концентрических окружностей - это прямые, проходящие через их общий центр (см. Диаграмму).

Подходящие методы для определения ортогональных траекторий предоставляются путем решения дифференциальных уравнений . Стандартный метод устанавливает обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка и решает его путем разделения переменных . Оба шага могут быть трудными или даже невозможными. В таких случаях необходимо применять численные методы.

Ортогональные траектории используются в математике, например, как изогнутые системы координат (т.е. эллиптические координаты ) или появляются в физике как электрические поля и их эквипотенциальные кривые .

Если траектория пересекает данные кривые под произвольным (но фиксированным) углом, получается изогональная траектория .

Определение ортогональной траектории [ править ]

В декартовых координатах [ править ]

Обычно предполагается, что пучок кривых неявно задается уравнением

(0) 1. пример 2. пример${\ Displaystyle: \ F (х, y, с) = 0, \ qquad}$${\ displaystyle: \ x ^ {2} + y ^ {2} -c = 0 \, \ qquad}$${\ Displaystyle у = cx ^ {2} \ \ leftrightarrow \ y-cx ^ {2} = 0 \,}$

где - параметр карандаша. Если карандаш задается явно с помощью уравнения , можно изменить представление в неявном одном: . Для дальнейшего рассмотрения предполагается, что все необходимые производные существуют.${\ displaystyle c}$${\ Displaystyle у = е (х, с)}$${\ displaystyle yf (x, c) = 0}$

Шаг 1.

Дифференцирование неявно для выходов${\ displaystyle x}$

(1) в 1. примере 2. Пример${\ displaystyle: \ F_ {x} (x, y, c) + F_ {y} (x, y, c) \; y '= 0, \ qquad}$${\ Displaystyle: \ 2x + 2yy '= 0 \, \ qquad}$${\ displaystyle: \ y'-2cx = 0 \.}$

Шаг 2.

Теперь предполагается, что уравнение (0) может быть решено для параметра , который, таким образом, может быть исключен из уравнения (1). Получается дифференциальное уравнение первого порядка${\ displaystyle c}$

(2) в 1. примере 2. примере${\ Displaystyle: \ Y '= е (х, у), \ qquad}$${\displaystyle :\ y'=-{\frac {x}{y}}\ ,\qquad }$${\displaystyle :\ y'=2{\frac {y}{x}}\ ,}$

которое выполняется данным пучком кривых.

Шаг 3.

Поскольку наклон ортогональной траектории в точке является отрицательной мультипликативной обратной величиной наклона данной кривой в этой точке, ортогональная траектория удовлетворяет дифференциальному уравнению первого порядка ${\displaystyle (x,y)}$

(3) в 1. примере 2. Пример${\displaystyle :\ y'=-{\frac {1}{f(x,y)}}\ ,\qquad }$${\displaystyle :\ y'=y/x\ ,\qquad }$${\displaystyle :\ y'=-{\frac {x}{2y}}\ .}$

Шаг 4.

Это дифференциальное уравнение можно (будем надеяться) решить подходящим методом.
Для обоих примеров подходит разделение переменных . Решения:
в примере 1 - линии, а в примере 2 - эллипсы.${\displaystyle y=mx,\ m\in \mathbb {R} }$
${\displaystyle x^{2}+2y^{2}=d,\ d>0\ .}$

В полярных координатах [ править ]

Если пучок кривых неявно представлен в полярных координатах как

(0p) ${\displaystyle :\ F(r,\varphi ,c)=0}$

определяется, как и в декартовом случае, дифференциальное уравнение без параметров

(1p) ${\displaystyle :\ F_{r}(r,\varphi ,c)+F_{\varphi }(r,\varphi ,c)\;\varphi '=0,\qquad }$

(2p) ${\displaystyle :\ \varphi '=f(r,\varphi )}$

карандаша. Тогда дифференциальное уравнение ортогональных траекторий имеет вид (см. Redheffer & Port, с. 65, Heuser, с. 120)

(3п) ${\displaystyle :\ \varphi '=-{\frac {1}{{\color {red}r^{2}}f(r,\varphi )}}\ .}$

Ортогональные кардиоиды

Пример: Кардиоиды :

(0p) (на схеме: синий)${\displaystyle :\ F(r,\varphi ,c)=r-c(1+\cos \varphi )=0,\ c>0\ .\ }$

(1p) ${\displaystyle :\ F_{r}(r,\varphi ,c)+F_{\varphi }(r,\varphi ,c)\;\varphi '=1+c\sin \varphi \;\varphi '=0,\qquad }$

Исключение дает дифференциальное уравнение данного пучка:${\displaystyle c}$

(2p) ${\displaystyle :\ \varphi '=-{\frac {1+\cos \varphi }{r\sin \varphi }}}$

Следовательно, дифференциальное уравнение ортогональных траекторий имеет вид:

(3п) ${\displaystyle :\ \varphi '={\frac {\sin \varphi }{r(1+\cos \varphi )}}}$

После решения этого дифференциального уравнения путем разделения переменных получаем

${\displaystyle r=d(1-\cos \varphi )\ ,\ d>0\ ,}$

который описывает пучок кардиоидов (красный на схеме), симметричный данному пучку.

Изогональная траектория [ править ]

Кривая, которая пересекает любую кривую данного пучка (плоских) кривых под фиксированным углом , называется изогональной траекторией .${\displaystyle \alpha }$

Между наклоном изогональной траектории и наклоном кривой пучка в точке выполняется соотношение:${\displaystyle \eta '}$${\displaystyle y'}$${\displaystyle (x,y)}$

${\displaystyle \eta '={\frac {y'+\tan(\alpha )}{1-y'\tan(\alpha )}}\ .}$

Это соотношение обусловлено формулой для . Ведь получается условие ортогональности траектории.${\displaystyle \tan(\alpha +\beta )}$${\displaystyle \alpha \rightarrow 90^{\circ }}$

Для определения изогональной траектории необходимо настроить 3. шаг приведенной выше инструкции:

3. ступенька (изог. Традж.)

Дифференциальное уравнение изогональной траектории имеет вид:

• (3i) ${\displaystyle :\ y'={\frac {f(x,y)+\tan(\alpha )}{1-f(x,y)\;\tan(\alpha )}}\ .}$

Изогональные траектории концентрических окружностей для ${\displaystyle \alpha =45^{\circ }}$

Для 1. примера (концентрические окружности) и угла получаем${\displaystyle \alpha =45^{\circ }}$

(3i) ${\displaystyle :\ y'={\frac {-x/y+1}{1+x/y}}\ .}$

Это особый вид дифференциального уравнения, которое можно преобразовать путем подстановки в дифференциальное уравнение, которое можно решить путем разделения переменных . После обращения замены получаем уравнение решения: ${\displaystyle z=y/x}$

${\displaystyle \arctan {\frac {y}{x}}+{\frac {1}{2}}\ln(x^{2}+y^{2})=C\ .}$

Введение полярных координат приводит к простому уравнению

${\displaystyle C-\varphi =\ln(r)\ ,}$

который описывает логарифмические спирали (см. диаграмму).

Численные методы [ править ]

В случае, если дифференциальное уравнение траекторий не может быть решено теоретическими методами, необходимо решить его численно, например методами Рунге – Кутта .

См. Также [ править ]

• Кассини овал
• Конфокальные конические сечения
• Траектория
• Аполлоновские окружности , пары семейств окружностей, ортогональных друг другу.

Ссылки [ править ]

• А. Джеффри: Высшая инженерная математика , Hartcourt / Academic Press, 2002, ISBN  0-12-382592-X , стр. 233.
• С.Б. Рао: Дифференциальные уравнения , University Press, 1996, ISBN 81-7371-023-6 , стр. 95. 
• Р.М. Редхеффер, Д. Порт: Дифференциальные уравнения: теория и приложения , Jones & Bartlett, 1991, ISBN 0-86720-200-9 , стр. 63. 
• Х. Хойзер: Gewöhnliche Differentialgleichungen , Vieweg + Teubner, 2009, ISBN 978-3-8348-0705-2 , стр. 120. 
• Тененбаум, Моррис; Поллард, Гарри (2012), Обычные дифференциальные уравнения , Dover Books on Mathematics, Courier Dover, p. 115, ISBN 9780486134642.

Внешние ссылки [ править ]

• Изучение ортогональных траекторий - апплет, позволяющий рисовать семейства кривых и их ортогональные траектории.
• mathcurve: ПОЛЕВЫЕ ЛИНИИ, ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ЛИНИИ, ДВОЙНАЯ ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА