Конфокальные конические сечения

Карандаши конфокальных эллипсов и гипербол

В геометрии два конических участка называются конфокальными , если они имеют одинаковые фокусы . Поскольку эллипсы и гиперболы обладают двумя фокусами, существуют конфокальные эллипсы , конфокальные гиперболы и конфокальные смеси эллипсов и гипербол. В смеси софокусных эллипсов и гипербол любой эллипс пересекает любую гиперболу ортогонально (под прямым углом). Параболы обладают только одним фокусом, поэтому, по соглашению, конфокальные параболы имеют одинаковый фокус ита же ось симметрии. Следовательно, любая точка не на оси симметрии лежит на двух софокусных параболах, которые пересекаются ортогонально (см. Ниже ).

Формальное распространение концепции софокусных коник на поверхности приводит к софокусным квадрикам .

Конфокальные эллипсы [ править ]

Эллипс, который не является кругом, однозначно определяется его фокусами и точкой не на большой оси (см. Определение эллипса как геометрическое место точек). Карандаш конфокальных эллипсов с фокусами можно описать уравнением${\ Displaystyle F_ {1}, \; F_ {2}}$${\ Displaystyle F_ {1} = (c, 0), \; F_ {2} = (- c, 0)}$

• ${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {a ^ {2} -c ^ {2}}} = 1 \, \ quad a> c \,}$

с большой полуосью в качестве параметра. ( Линейный эксцентриситет однозначно определяется фокусами.) Поскольку точка эллипса однозначно определяет параметр ,${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle c}$${\ displaystyle a}$

• любые два эллипса карандаша не имеют общих точек.

Конфокальные гиперболы [ править ]

Гипербола однозначно определяется своими фокусами и точкой не на осях симметрии . Пучок софокусных гипербол с фокусами описывается уравнением${\ Displaystyle F_ {1}, \; F_ {2}}$${\ Displaystyle F_ {1} = (c, 0), \; F_ {2} = (- c, 0)}$

• ${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} - {\ frac {y ^ {2}} {c ^ {2} -a ^ {2}}} = 1 \, \ quad 0 <a <c \,}$

с полуосью в качестве параметра. (Линейный эксцентриситет однозначно определяется фокусами.) Поскольку точка гиперболы однозначно определяет параметр ,${\ displaystyle a}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle a}$

• любые две гиперболы карандаша не имеют общих точек.

Конфокальные эллипсы и гиперболы [ править ]

Общее представление [ править ]

Из предыдущих представлений софокусных эллипсов и гипербол можно получить общее представление: Уравнение

• ${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ frac {y ^ {2}} {a ^ {2} -c ^ {2}}} = 1}$

описывает эллипс, если , и гиперболу, если .${\ displaystyle c <a}$${\ Displaystyle 0 <а <с}$

В литературе встречается и другое распространенное представление:

• ${\ displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2} - \ lambda}} + {\ frac {y ^ {2}} {b ^ {2} - \ lambda}} = 1 \, }$

с полуосями данного эллипса (следовательно , даны фокусы ) и является параметром пучка. Для одного получаются конфокальные эллипсы (это так ) и для конфокальных гипербол с общими фокусами .${\ displaystyle a, b}$${\ Displaystyle F_ {1}, \; F_ {2}}$${\ displaystyle \ lambda}$
${\ Displaystyle \ лямбда <Ь ^ {2}}$${\displaystyle a^{2}-\lambda -(b^{2}-\lambda )=c^{2}}$
${\displaystyle b^{2}<\lambda <a^{2}}$${\displaystyle F_{1},\;F_{2}}$

Кривые пределов [ править ]

В позиции пучок конфокальных кривых имеет левостороннюю предельную кривую (бесконечный плоский эллипс), отрезок линии на оси x и правостороннюю предельную кривую (бесконечная плоская гипербола), два интервала . Следовательно:${\displaystyle \lambda =b^{2}}$${\displaystyle [-e,e]}$${\displaystyle (-\infty ,-e],[e,\infty )}$

• Предельные кривые в положении имеют два общих фокуса .${\displaystyle \lambda =b^{2}}$${\displaystyle \ F_{1}=(-e,0),F_{2}=(e,0)\ }$

Это свойство проявляется в трехмерном случае (см. Ниже) в аналогичном и приводит к определению фокальных кривых (бесконечного множества фокусов) софокусных квадрик.

Конфокальные эллипсы и гиперболы пересекаются перпендикулярно: доказательство

Двойная ортогональная система [ править ]

Рассматривая пучки софокусных эллипсов и гипербол (см. Свинцовую диаграмму), из геометрических свойств нормали и касательной в точке ( нормаль к эллипсу и касательная к гиперболе делятся пополам угол между прямыми к фокусам):

• Любой эллипс пучка ортогонально пересекает любую гиперболу (см. Диаграмму).

Следовательно, плоскость может быть покрыта ортогональной сеткой софокусных эллипсов и гипербол.

Эту ортогональную сеть можно использовать как основу эллиптической системы координат .

Конфокальные параболы [ править ]

Параболы обладают только одним фокусом. Параболу можно рассматривать как предельную кривую пучка софокусных эллипсов (гипербол), где один фокус фиксируется, а второй перемещается в бесконечность. Если выполнить это преобразование для сети софокусных эллипсов и гипербол, то получится сеть из двух пучков софокусных парабол.

Уравнение описывает параболу с началом координат как фокусом и осью x как осью симметрии. Рассмотрим два карандаша парабол:${\displaystyle y^{2}=2p(x+p/2)=2px+p^{2}}$

• ${\displaystyle y^{2}=2px+p^{2}\ ,\quad p>0\ ,}$параболы открываются вправо и

${\displaystyle y^{2}=-2qx+q^{2}\ ,\quad q>0\ ,}$параболы открываются влево

с общим фокусом .${\displaystyle F=(0,0)}$

Из определения параболы получаем

• параболы, открывающиеся вправо (влево), не имеют общих точек.

Из расчета следует, что,

• любая парабола, открывающаяся вправо, ортогонально пересекает любую параболу, открывающуюся влево (см. диаграмму). Точки пересечения есть .${\displaystyle y^{2}=2px+p^{2}}$${\displaystyle y^{2}=-2qx+q^{2}}$${\displaystyle ({\tfrac {q-p}{2}},\pm {\sqrt {pq}})\ }$

( являются нормальными векторами в точках пересечения. Их скалярное произведение равно .)${\displaystyle {\vec {n}}_{1}=\left(p,\mp {\sqrt {pq}}\right)^{T},\ {\vec {n}}_{2}=\left(q,\pm {\sqrt {pq}}\right)^{T})}$${\displaystyle 0}$

Аналогично конфокальным эллипсам и гиперболам, плоскость может быть покрыта ортогональной сеткой парабол.

Сеть конфокальной параболы можно рассматривать как образ сетки линий , параллельных осям координат и содержащиеся в правой половине комплексной плоскости с помощью конформного отображения (см Внешние ссылки).${\displaystyle w=z^{2}}$

Теорема Грейвса: построение софокусных эллипсов струной [ править ]

В 1850 году ирландский епископ Лимерик Чарльз Грейвс доказал и опубликовал следующий метод построения софокусных эллипсов с помощью струны: ^[1]

• Если окружить данный эллипс E замкнутой цепочкой, которая длиннее окружности данного эллипса, и нарисовать кривую, подобную построению эллипса садовником (см. Диаграмму), то получится эллипс, конфокальный с E.

Доказательство этой теоремы использует эллиптические интегралы и содержится в книге Клейна. Отто Штауде распространил этот метод на построение софокусных эллипсоидов (см. Книгу Клейна).

Если эллипс E схлопывается до отрезка , получается небольшая вариация метода садовника, рисующего эллипс с фокусами .${\displaystyle F_{1}F_{2}}$${\displaystyle F_{1},F_{2}}$

Конфокальные квадрики [ править ]

Конфокальные квадрики: (красный), (синий), (фиолетовый)
${\displaystyle a=1,\;b=0.8,\;c=0.6,\ }$
${\displaystyle \lambda _{1}=0.1}$${\displaystyle \ \lambda _{2}=0.5}$${\displaystyle \lambda _{3}=0.8}$

Типы в зависимости от ${\displaystyle \lambda }$

Определение [ править ]

Идея софокусных квадрик является формальным расширением концепции софокусных конических сечений на квадрики в трехмерном пространстве ^[2]

Зафиксируйте три действительных числа с помощью . Уравнение${\displaystyle a,b,c}$${\displaystyle a>b>c>0}$

• ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}-\lambda }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}-\lambda }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}-\lambda }}=1}$ описывает

эллипсоида , если ,${\displaystyle \lambda <c^{2}}$

гиперболоид из одного листа , если (на схеме: синий),${\displaystyle c^{2}<\lambda <b^{2}}$

гиперболоид из двух листов , если это .${\displaystyle b^{2}<\lambda <a^{2}}$

Ибо нет решений.${\displaystyle a^{2}<\lambda }$

(В этом контексте параметр является не линейный эксцентриситет эллипса!)${\displaystyle c}$

Фокальные кривые [ править ]

${\displaystyle c^{2}=0.36,\ b^{2}=0.64,\quad }$вверху: (эллипсоид, красный), (1с. гиперб., синий), (1с. гиперб., синий), (2с. гиперб., фиолетовый) внизу: ограничить поверхности между типами${\displaystyle \lambda =}$
${\displaystyle 0.3575}$${\displaystyle \ 0.3625}$
${\displaystyle 0.638}$${\displaystyle \ 0.642}$

Предельные поверхности для :${\displaystyle \lambda \to c^{2}}$

Изменяя эллипсоиды, увеличивая параметр таким образом, чтобы он приближался к значению снизу, мы получаем бесконечный плоский эллипсоид. Точнее: область xy-плоскости, которая состоит из эллипса с уравнением и его дважды покрытой внутренней части (на диаграмме: внизу, слева, красный цвет).${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle c^{2}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}-c^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}-c^{2}}}=1}$

Изменяя однополостные гиперболоиды, уменьшая параметр таким образом, чтобы он приближался к значению сверху, получаем бесконечный плоский гиперболоид. Точнее: область xy-плоскости, которая состоит из того же эллипса и его дважды покрытой внешней стороны (на схеме: внизу слева, синий цвет). Это означает: две предельные поверхности имеют точки эллипса. ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle c^{2}}$${\displaystyle E}$

${\displaystyle E:{\frac {x^{2}}{a^{2}-c^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}-c^{2}}}=1}$

в общем.

Предельные поверхности для :${\displaystyle \lambda \to b^{2}}$

Аналогичные соображения по позиции дают:${\displaystyle \lambda =b^{2}}$

Две предельные поверхности (на схеме: нижняя, правая, синяя и пурпурная) в позиции имеют гиперболу.${\displaystyle b^{2}}$

${\displaystyle H:\ {\frac {x^{2}}{a^{2}-b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{b^{2}-c^{2}}}=1}$

в общем.

Фокусные кривые:

Легко проверяется, что фокусы эллипса являются вершинами гиперболы и наоборот. Это означает: эллипс и гипербола - пара фокусных коник .${\displaystyle E}$${\displaystyle H}$

Реверс: Поскольку любая квадрика пучка софокусных квадрик, определяемых посредством, может быть построена методом булавок и струн (см. Эллипсоид ), фокальные коники играют роль бесконечного множества фокусов и называются фокальными кривыми пучка софокусных квадрик. ^{[3] [4] [5]}${\displaystyle a,b,c}$${\displaystyle E,H}$

Трехчастная ортогональная система [ править ]

Аналогично случаю конфокальных эллипсов / гипербол:

• Любая точка с лежит ровно на одной поверхности любого из трех типов софокусных квадрик.${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})\in \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle x_{0}\neq 0,\;y_{0}\neq 0,\;z_{0}\neq 0}$

Три квадрики через точку пересекаются там ортогонально (см. Внешнюю ссылку).${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$

Пример функции ${\displaystyle f(\lambda )}$

Доказательство о существовании и единственности трех квадрик через точку:
Для точки с Позволять . Эта функция имеет три вертикальные асимптоты и в любом из открытых интервалов является непрерывной и монотонно возрастающей функцией. Из поведения функции вблизи ее вертикальных асимптот и из одного вывода (см. Диаграмму): функция имеет ровно 3 нуля с${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$${\displaystyle x_{0}\neq 0,y_{0}\neq 0,z_{0}\neq 0}$${\displaystyle f(\lambda )={\frac {x_{0}^{2}}{a^{2}-\lambda }}+{\frac {y_{0}^{2}}{b^{2}-\lambda }}+{\frac {z_{0}^{2}}{c^{2}-\lambda }}-1}$ ${\displaystyle c^{2}<b^{2}<a^{2}}$${\displaystyle (-\infty ,c^{2}),\;(c^{2},b^{2}),\;(b^{2},a^{2}),\;(a^{2},\infty )}$${\displaystyle \lambda \to \pm \infty }$
${\displaystyle f}$${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}}$${\displaystyle {\color {red}\lambda _{1}}<c^{2}<{\color {red}\lambda _{2}}<b^{2}<{\color {red}\lambda _{3}}<a^{2}\ .}$

Доказательство из ортогональности поверхностей:
Использование пучков функций с параметром софокусных квадрики могут быть описаны . Для любых двух пересекающихся квадрик одна попадает в общую точку${\displaystyle F_{\lambda }(x,y,z)={\frac {x^{2}}{a^{2}-\lambda }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}-\lambda }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}-\lambda }}}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle F_{\lambda }(x,y,z)=1}$${\displaystyle F_{\lambda _{i}}(x,y,z)=1,\;F_{\lambda _{k}}(x,y,z)=1}$${\displaystyle (x,y,z)}$

${\displaystyle 0=F_{\lambda _{i}}(x,y,z)-F_{\lambda _{k}}(x,y,z)=\dotsb }$

${\displaystyle \ =(\lambda _{i}-\lambda _{k})\left({\frac {x^{2}}{(a^{2}-\lambda _{i})(a^{2}-\lambda _{k})}}+{\frac {y^{2}}{(b^{2}-\lambda _{i})(b^{2}-\lambda _{k})}}+{\frac {z^{2}}{(c^{2}-\lambda _{i})(c^{2}-\lambda _{k})}}\right)\ .}$

Из этого уравнения для скалярного произведения градиентов в общей точке получаем

${\displaystyle \operatorname {grad} F_{\lambda _{i}}\cdot \operatorname {grad} F_{\lambda _{k}}=4\;\left({\frac {x^{2}}{(a^{2}-\lambda _{i})(a^{2}-\lambda _{k})}}+{\frac {y^{2}}{(b^{2}-\lambda _{i})(b^{2}-\lambda _{k})}}+{\frac {z^{2}}{(c^{2}-\lambda _{i})(c^{2}-\lambda _{k})}}\right)=0\ ,}$

что доказывает ортогональность.

Эллипсоид с линиями кривизны как кривые пересечения с конфокальными гиперболоидами
${\displaystyle a=1,\;b=0.8,\;c=0.6}$

Приложения:
В силу теоремы Дюпена о трехмерных ортогональных системах поверхностей верно следующее утверждение:

• Кривая пересечения любых двух софокусных квадрик - это линия кривизны .
• Аналогично плоским эллиптическим координатам существуют эллипсоидальные координаты .

В физике конфокальные эллипсоиды выглядят как эквипотенциальные поверхности:

• В эквипотенциальные поверхности заряженного эллипсоида его конфокальной эллипсоиды. ^[6]

Теорема Айвори [ править ]

Теорема Айвори , названный в честь шотландского математика и астронома Джеймса Айвори (1765-1842), является утверждение о диагоналях одного чистого прямоугольника , четырехугольника , образованного ортогональных кривых:

• Для любого сетчатого прямоугольника, который образован двумя софокусными эллипсами и двумя софокусными гиперболами с одинаковыми фокусами, диагонали имеют одинаковую длину (см. Диаграмму).

Точки пересечения эллипса и софокусной гиперболы:
Позвольте быть эллипсом с фокусами и уравнением${\displaystyle E(a)}$${\displaystyle F_{1}=(c,0),\;F_{2}=(-c,0)}$

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}-c^{2}}}=1\ ,\quad a>c>0\ }$

и софокусная гипербола с уравнением${\displaystyle H(u)}$

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{u^{2}}}+{\frac {y^{2}}{u^{2}-c^{2}}}=1\ ,\quad c>u\ .}$

Вычисление точек пересечения из и один получает четыре очка:${\displaystyle E(a)}$${\displaystyle H(u)}$

• ${\displaystyle \left(\pm {\frac {au}{c}},\;\pm {\frac {\sqrt {(a^{2}-c^{2})(c^{2}-u^{2})}}{c}}\right)}$

Диагонали сетевого прямоугольника:
для упрощения расчетов предполагается, что

1. ${\displaystyle c=1}$, что не является существенным ограничением, поскольку любая другая конфокальная сеть может быть получена путем равномерного масштабирования.
2. Из возможных альтернатив (см. Точки пересечения выше)) используется только . В конце концов, легко считать, что любая другая комбинация знаков дает тот же результат.${\displaystyle \pm }$${\displaystyle +}$

Пусть будут два софокусных эллипса и две софокусные гиперболы с одинаковыми фокусами. Диагонали четырех точек сетчатого прямоугольника, состоящего из точек${\displaystyle E(a_{1}),E(a_{2})}$${\displaystyle H(u_{1}),H(u_{2})}$

${\displaystyle P_{11}=\left(a_{1}u_{1},\;{\sqrt {(a_{1}^{2}-1)(1-u_{1}^{2})}}\right)\ ,\quad P_{22}=\left(a_{2}u_{2},\;{\sqrt {(a_{2}^{2}-1)(1-u_{2}^{2})}}\right)\ ,}$

${\displaystyle P_{12}=\left(a_{1}u_{2},\;{\sqrt {(a_{1}^{2}-1)(1-u_{2}^{2})}}\right)\ ,\quad P_{21}=\left(a_{2}u_{1},\;{\sqrt {(a_{2}^{2}-1)(1-u_{1}^{2})}}\right)}$

находятся:

${\displaystyle {\begin{aligned}|P_{11}P_{22}|^{2}&=(a_{2}u_{2}-a_{1}u_{1})^{2}+\left({\sqrt {(a_{2}^{2}-1)(1-u_{2}^{2})}}-{\sqrt {(a_{1}^{2}-1)(1-u_{1}^{2})}}\right)^{2}=\dotsb \\&=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+u_{1}^{2}+u_{2}^{2}-2\,\left(1+a_{1}a_{2}u_{1}u_{2}+{\sqrt {(a_{1}^{2}-1)(a_{2}^{2}-1)(1-u_{1}^{2})(1-u_{2}^{2})}}\right)\end{aligned}}}$

Очевидно, что последнее выражение инвариантно, если выполняется обмен . Именно этот обмен приводит к . Отсюда получаем:${\displaystyle u_{1}\leftrightarrow u_{2}}$${\displaystyle |P_{1\color {red}2}P_{2\color {red}1}|^{2}}$

• ${\displaystyle |P_{11}P_{22}|=|P_{12}P_{21}|}$

Доказательство утверждения для софокусных парабол представляет собой несложный расчет.

Айвори даже доказал трехмерную версию своей теоремы (s. Blaschke, p. 111):

• Для трехмерного прямоугольного кубоида, образованного софокусными квадриками, диагонали, соединяющие противоположные точки, имеют одинаковую длину.

См. Также [ править ]

• Фокалоид

Ссылки [ править ]

• В. Блашке : Аналитическая геометрия. Springer, Базель, 1954, ISBN 978-3-0348-6813-6 , стр. 111. 
• Г. Глезер, Х. Стачел, Б. Одегнал: Вселенная коников: от древних греков до развития 21 века , Springer Spektrum, ISBN 978-3-662-45449-7 , стр. 457. 
• Дэвид Гильберт; Стефан Кон-Фоссен (1999), Геометрия и воображение , Американское математическое общество, ISBN 0-8218-1998-4 CS1 maint: discouraged parameter (link)
• Эрнесто Паскаль : Repertorium der höheren Mathematik. Тойбнер, Лейпциг / Берлин, 1910, стр. 257.
• А. Робсон: Введение в аналитическую геометрию Vo. I, Кембридж, University Press, 1940, стр. 157.
• DMY Sommerville: Analytical Geometry of Three Dimensions , Cambridge, University Press, 1959, p. 235.

Внешние ссылки [ править ]

• Т. Хофманн: Miniskript Differentialgeometrie I, p. 48
• Б. Спрингборн: Kurven und Flächen , 12. Vorlesung: Konfokale Quadriken (S. 22 f.).
• Х. Вальзер: Konforme Abbildungen. п. 8.