Ортогональность

Отрезки AB и CD ортогональны друг другу.

В математике , ортогональность является обобщением понятия перпендикулярности к линейной алгебре из билинейных форм . Два элемента U и V из векторного пространства с билинейной формой B является ортогональным , когда B ( U , V ) = 0 . В зависимости от билинейной формы векторное пространство может содержать ненулевые самоортогональные векторы. В случае функциональных пространств в качестве базиса используются семейства ортогональных функций .

В более широком смысле ортогональность также используется для обозначения разделения определенных функций системы. Этот термин также имеет специальные значения в других областях, включая искусство и химию.

Этимология [ править ]

Слово происходит от греческого ὀρθός ( ортос ), что означает «прямой», ^[1] и γωνία ( гония ), что означает «угол». ^[2] Древнегреческий ὀρθογώνιον orthogōnion и классический латинский orthogonium первоначально обозначали прямоугольник . ^[3] Позже они стали обозначать прямоугольный треугольник . В XII веке постклассическое латинское слово orthogonalis стало обозначать прямой угол или что-то связанное с прямым углом. ^[4]

Математика и физика [ править ]

Ортогональность и вращение систем координат по сравнению между левым: евклидовым пространством на круговой угол ϕ , справа: в пространстве-времени Минковского через гиперболический угол ϕ (красные линии, помеченные c, обозначают мировые линии светового сигнала, вектор ортогонален сам себе, если он лежит на этом линия). ^[5]

Определения [ править ]

• В геометрии , два евклидовы векторов являются ортогональными , если они перпендикулярны , то есть , они образуют прямой угол .
• Два вектора , x и y , в пространстве внутреннего продукта , V , ортогональны, если их внутренний продукт равен нулю. ^[6] Это отношение обозначено .${\ Displaystyle \ langle х, у \ rangle}$${\ Displaystyle х \ перп у}$
• Два векторного подпространства , и Б , из внутреннего пространства продукта V , называется ортогональными подпространства , если каждый вектор в A ортогонален каждый вектор в B . Наибольшее подпространство V , ортогональное данному подпространству, является его ортогональным дополнением .
• Учитывая модуль M и двойственное M ^* , элемент т 'из М ^* и элемент т из М являются ортогональными , если их естественное спаривание равен нулю, т.е. ⟨ м ', м ⟩ = 0 . Два множества S '⊆ M ^* и S ⊆ M являются ортогональными , если каждый элемент S ' ортогонален каждому элементу S . ^[7]
• Система перезаписи термов называется ортогональной, если она леволинейна и не является неоднозначной. Системы переписывания ортогонального термина являются сплошностью .

Набор векторов в пространстве внутреннего продукта называется попарно ортогональным, если каждая их пара ортогональна. Такой набор называется ортогональным .

В некоторых случаях слово « нормальный» используется для обозначения ортогональности , особенно в геометрическом смысле, как в случае нормали к поверхности . Например, ось y нормальна к кривой y = x ² в начале координат. Однако нормальный может также относиться к величине вектора. В частности, набор называется ортонормированным (ортогональный плюс нормальный), если он является ортогональным набором единичных векторов . В результате часто избегают использования термина " нормальный" для обозначения "ортогонального". Слово «нормальный» также имеет другое значение в вероятности и статистике..

Векторное пространство с билинейной формой обобщает случай скалярного произведения. Когда билинейная форма, примененная к двум векторам, дает ноль, тогда они ортогональны . В случае псевдоевклидовой плоскости используется термин гиперболическая ортогональность . На диаграмме оси x ′ и t ′ гиперболо-ортогональны для любого заданного ϕ .

Евклидовы векторные пространства [ править ]

В евклидовом пространстве два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю, то есть они составляют угол 90 ° (π / 2 радиан ) или один из векторов равен нулю. ^[8] Следовательно, ортогональность векторов - это расширение концепции перпендикулярных векторов на пространства любой размерности.

Ортогональное дополнение подпространства является пространство всех векторов, ортогональных к каждому вектору в подпространстве. В трехмерном евклидовом векторном пространстве ортогональным дополнением к прямой, проходящей через начало координат, является плоскость, проходящая через начало координат, перпендикулярную к нему, и наоборот. ^[9]

Обратите внимание, что геометрическая концепция двух перпендикулярных плоскостей не соответствует ортогональному дополнению, поскольку в трех измерениях пара векторов, по одному от каждой из пары перпендикулярных плоскостей, может встречаться под любым углом.

В четырехмерном евклидовом пространстве ортогональное дополнение к прямой - это гиперплоскость и наоборот, а дополнение к плоскости - это плоскость. ^[9]

Ортогональные функции [ править ]

При использовании интегрального исчисления для определения скалярного произведения двух функций f и g по отношению к неотрицательной весовой функции w на интервале [ a , b ] обычно используется следующее :

${\ displaystyle \ langle f, g \ rangle _ {w} = \ int _ {a} ^ {b} f (x) g (x) w (x) \, dx.}$

В простых случаях w ( x ) = 1 .

Будем говорить , что функции F и г являются ортогональными , если их скалярное произведение (эквивалентно, значение этого интеграла) равна нулю:

${\ displaystyle \ langle f, g \ rangle _ {w} = 0.}$

Ортогональность двух функций по отношению к одному внутреннему продукту не означает ортогональности по отношению к другому внутреннему продукту.

Запишем норму по отношению к этому внутреннему продукту как

${\ displaystyle \ | е \ | _ {w} = {\ sqrt {\ langle f, f \ rangle _ {w}}}}$

Члены набора функций { F _I  : я = 1, 2, 3, ...} являются ортогональными по отношению к ш на интервале [ , Ь ] , если

${\ displaystyle \ langle f_ {i}, f_ {j} \ rangle _ {w} = 0 \ quad i \ neq j.}$

Члены такого набора функций ортонормированы относительно w на интервале [ a , b ], если

${\ displaystyle \ langle f_ {i}, f_ {j} \ rangle _ {w} = \ delta _ {i, j},}$

куда

${\displaystyle \delta _{i,j}=\left\{{\begin{matrix}1,&&i=j\\0,&&i\neq j\end{matrix}}\right.}$

- дельта Кронекера . Другими словами, каждая пара из них (за исключением спаривания функции с самой собой) ортогональна, и норма каждого равна 1. См., В частности, ортогональные многочлены .

Примеры [ править ]

• Векторы (1, 3, 2) ^T , (3, −1, 0) ^T , (1, 3, −5) ^T ортогональны друг другу, поскольку (1) (3) + (3) (- 1 ) + (2) (0) = 0, (3) (1) + (−1) (3) + (0) (- 5) = 0, и (1) (1) + (3) (3) + (2) (- 5) = 0.
• Векторы (1, 0, 1, 0, ...) ^T и (0, 1, 0, 1, ...) ^T ортогональны друг другу. Скалярное произведение этих векторов равно 0. Затем мы можем сделать обобщение, чтобы рассмотреть векторы в Z ₂ ⁿ :

${\displaystyle \mathbf {v} _{k}=\sum _{i=0 \atop ai+k<n}^{n/a}\mathbf {e} _{i}}$

для некоторого натурального числа а , а для 1 ≤ K ≤ - 1 , эти векторы ортогональны, например , , являются ортогональными.${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0&1&0&0&1&0\end{bmatrix}}}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1&0&0&1&0&0&1\end{bmatrix}}}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&1&0&0&1&0&0\end{bmatrix}}}$

• Функции 2 t + 3 и 45 t ² + 9 t - 17 ортогональны относительно функции единичного веса на интервале от −1 до 1:
  ${\displaystyle \int _{-1}^{1}\left(2t+3\right)\left(45t^{2}+9t-17\right)\,dt=0}$
• Функции 1, sin ( nx ), cos ( nx ): n = 1, 2, 3, ... ортогональны относительно интегрирования Римана на интервалах [0, 2π] , [−π, π] или любых другой отрезок длины 2π. Этот факт является центральным в рядах Фурье .

Ортогональные многочлены [ править ]

Различные последовательности полиномов, названные в честь математиков прошлого, представляют собой последовательности ортогональных многочленов . Особенно:

• Эти полиномы Эрмита ортогональны относительно гауссового распределения с нулевым средним значением.
• Эти многочлены Лежандра ортогональны относительно равномерного распределения на отрезке [-1, 1] .
• Эти полиномы Лагерра ортогональны относительно экспоненциального распределения . Несколько более общие последовательности полиномов Лагерра ортогональны по отношению к гамма-распределениям .
• В полиномы Чебышева первого рода ортогональны относительно меры${\displaystyle 1/{\sqrt {1-x^{2}}}.}$
• Полиномы Чебышева второго рода ортогональны относительно распределения полукругов Вигнера .

Ортогональные состояния в квантовой механике [ править ]

• В квантовой механике , достаточное (но не обязательно) условие , что два собственные состояния оператора А эрмитов оператор , и , являются ортогональными, что они соответствуют различным собственным значениям. В обозначениях Дирака это означает, что если и соответствуют различным собственным значениям. Это следует из того факта , что уравнение Шредингера является Штурм-Лиувилль уравнения (в формулировке Шредингера) или что наблюдаемые задаются эрмитовыми операторами (в формулировке Гейзенберга). ^{[ необходима цитата ]}${\displaystyle \psi _{m}}$${\displaystyle \psi _{n}}$${\displaystyle \langle \psi _{m}|\psi _{n}\rangle =0}$${\displaystyle \psi _{m}}$${\displaystyle \psi _{n}}$

Искусство [ править ]

В искусстве перспективные (воображаемые) линии, указывающие на точку схода , называются «ортогональными линиями». Термин «ортогональная линия» часто имеет совсем другое значение в литературе современной художественной критики. Многие работы таких художников, как Пит Мондриан и Бургойн Диллер , известны своим исключительным использованием «ортогональных линий» - однако, не в отношении перспективы, а скорее в отношении линий, которые являются прямыми и исключительно горизонтальными или вертикальными, образующими прямые углы, где они пересекаются. Например, очерк на веб-сайте музея Тиссена-Борнемисы.заявляет, что «Мондриан ... посвятил все свое творчество исследованию баланса между ортогональными линиями и основными цветами». [1]

Информатика [ править ]

Ортогональность в дизайне языков программирования - это возможность использовать различные языковые функции в произвольных комбинациях с устойчивыми результатами. ^[10] Это использование было введено Ван Вейнгарденом при разработке Algol 68 :

Количество независимых примитивных концепций было сведено к минимуму, чтобы язык было легко описывать, изучать и реализовывать. С другой стороны, эти концепции применялись «ортогонально», чтобы максимизировать выразительную силу языка, пытаясь избежать вредных излишеств. ^[11]

Ортогональность - это свойство проектирования системы, которое гарантирует, что изменение технического эффекта, производимого компонентом системы, не создает и не распространяет побочные эффекты на другие компоненты системы. Обычно это достигается за счет разделения задач и инкапсуляции , и это важно для выполнимых и компактных конструкций сложных систем. Возникающее поведение системы, состоящей из компонентов, должно строго контролироваться формальными определениями ее логики, а не побочными эффектами, возникающими в результате плохой интеграции, т. Е. Неортогональной конструкции модулей и интерфейсов. Ортогональность сокращает время тестирования и разработки, поскольку легче проверять проекты, которые не вызывают побочных эффектов и не зависят от них.

Набор команд называется ортогональной , если ему не хватает избыточности (т.е. есть только одна команда , которая может быть использована для выполнения данной задачи) ^[12] и сконструирован таким образом, что команды могут использовать любой регистр в любом режиме адресации . Эта терминология является результатом рассмотрения инструкции как вектора, компонентами которого являются поля инструкции. Одно поле идентифицирует регистры, с которыми нужно работать, а другое определяет режим адресации. Ортогональный набор команд однозначно кодирует все комбинации регистров и режимов адресации. ^{[ необходима цитата ]}

Связь [ править ]

В связи схемы множественного доступа являются ортогональными, когда идеальный приемник может полностью отклонить произвольно сильные нежелательные сигналы из полезного сигнала, используя различные базовые функции . Одной из таких схем является TDMA , где ортогональные базисные функции представляют собой неперекрывающиеся прямоугольные импульсы («временные интервалы»).

Другая схема - это мультиплексирование с ортогональным частотным разделением (OFDM), которое относится к использованию одним передатчиком набора частотно-мультиплексированных сигналов с точным минимальным частотным интервалом, необходимым для того, чтобы сделать их ортогональными, чтобы они не мешали друг другу. . Хорошо известные примеры включают ( a , g и n ) версии 802.11 Wi-Fi ; WiMAX ; ITU-T G.hn , DVB-T , система наземного цифрового телевещания, используемая в большинстве стран мира за пределами Северной Америки; и DMT (Discrete Multi Tone), стандартная форма ADSL .

В OFDM выбираются частоты поднесущих ^{[ как? ],} так что поднесущие ортогональны друг другу, а это означает, что перекрестные помехи между подканалами устраняются и защитные полосы между несущими не требуются. Это значительно упрощает конструкцию как передатчика, так и приемника. В обычном FDM требуется отдельный фильтр для каждого подканала.

Статистика, эконометрика и экономика [ править ]

При выполнении статистического анализа независимые переменные, которые влияют на конкретную зависимую переменную, называются ортогональными, если они не коррелированы ^[13], поскольку ковариация формирует внутренний продукт. В этом случае те же самые результаты получаются для влияния любой из независимых переменных на зависимую переменную, независимо от того, моделируют ли эффекты переменных индивидуально с простой регрессией или одновременно с множественной регрессией . Если корреляция присутствует, коэффициенты не ортогональны, и двумя способами получаются разные результаты. Это использование возникает из-за того, что при центрировании путем вычитания ожидаемого значения(среднее), некоррелированные переменные ортогональны в геометрическом смысле, рассмотренном выше, и как наблюдаемые данные (т. е. векторы), так и как случайные величины (т. е. функции плотности). Один эконометрический формализм, который является альтернативой модели максимального правдоподобия , обобщенный метод моментов , полагается на условия ортогональности. В частности, оценщик обыкновенных наименьших квадратов может быть легко выведен из условия ортогональности между независимыми переменными и остатками модели.

Таксономия [ править ]

В таксономии ортогональная классификация - это такая классификация, в которой ни один элемент не является членом более чем одной группы, то есть классификации являются взаимоисключающими.

Комбинаторика [ править ]

В комбинаторике два латинских квадрата n × n называются ортогональными, если их наложение дает все возможные n ² комбинаций элементов. ^[14]

Химия и биохимия [ править ]

В синтетической органической химии ортогональная защита - это стратегия, позволяющая снимать защиту функциональных групп независимо друг от друга. В химии и биохимии ортогональное взаимодействие происходит, когда есть две пары веществ, и каждое вещество может взаимодействовать со своим соответствующим партнером, но не взаимодействует ни с одним веществом другой пары. Например, ДНКимеет две ортогональные пары: цитозин и гуанин образуют пару оснований, а аденин и тимин образуют другую пару оснований, но другие комбинации пар оснований крайне нежелательны. В качестве химического примера, тетразин реагирует с трансциклооктеном, а азид реагирует с циклооктином без какой-либо перекрестной реакции, так что это взаимно ортогональные реакции, и поэтому их можно проводить одновременно и селективно. ^[15] Биоортогональная химия относится к химическим реакциям, происходящим внутри живых систем без взаимодействия с присутствующими в природе клеточными компонентами. В супрамолекулярной химии понятие ортогональности относится к возможности двух или более супрамолекулярных, часто нековалентныхсовместимость взаимодействия; обратимо формование без вмешательства друг друга.

В аналитической химии анализы являются «ортогональными», если они производят измерение или идентификацию совершенно разными способами, тем самым повышая надежность измерения. Таким образом, ортогональное тестирование можно рассматривать как «перекрестную проверку» результатов, а понятие «перекрестное» соответствует этимологическому происхождению ортогональности . Ортогональное тестирование часто требуется при подаче нового препарата .

Надежность системы [ править ]

В области системной надежности ортогональное резервирование - это та форма резервирования, при которой форма устройства или метода резервного копирования полностью отличается от устройства или метода, подверженного ошибкам. Режим отказа ортогонально избыточного резервного устройства или метода не пересекается и полностью отличается от режима отказа устройства или метода, нуждающегося в резервировании, чтобы защитить всю систему от катастрофического отказа.

Неврология [ править ]

В нейробиологии сенсорная карта в мозге, которая имеет перекрывающееся кодирование стимулов (например, местоположение и качество), называется ортогональной картой.

Игры [ править ]

В настольных играх, таких как шахматы, в которых используется сетка из квадратов, «ортогональный» используется для обозначения «в той же строке /« звание »или столбец /« файл »». Это аналог квадратов, которые «примыкают по диагонали». ^[16] В древней китайской настольной игре го игрок может захватывать камни противника, занимая все ортогонально смежные точки.

Другие примеры [ править ]

Стереофонические виниловые пластинки кодируют как левый, так и правый стереоканалы в одной канавке. V-образная канавка на виниле имеет стенки, расположенные под углом 90 градусов друг к другу, при этом каждая стенка по отдельности кодирует один из двух аналоговых каналов, составляющих стереосигнал. Картридж определяет движение иглы по канавке в двух ортогональных направлениях: 45 градусов по вертикали в обе стороны. ^[17] Чистое горизонтальное движение соответствует монофоническому сигналу, эквивалентному стереосигналу, в котором оба канала несут идентичные (синфазные) сигналы.

См. Также [ править ]

Поищите ортогональные в Викисловаре, бесплатном словаре.

• Мнимое число
• Изогональный
• Изогональная траектория
• Ортогональное дополнение
• Ортогональная группа
• Ортогональная матрица
• Ортогональные многочлены
• Ортогонализация
  • Процесс Грама – Шмидта
• Ортонормированный базис
• Ортонормальность
• Ортогональное преобразование
• Панортогональность возникает в кокватернионах
• Поверхность нормальная
• Ортогональная пара лиганд-белок

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Глава 4 - Компактность и ортогональность в искусстве программирования для Unix