Билинейная форма

В математике , А билинейная форма на векторном пространстве V является билинейным отображение V × V → K , где K представляет собой поле из скаляров . Другими словами, билинейная форма - это функция B : V × V → K , линейная по каждому аргументу в отдельности:

• B ( u + v , w ) = B ( u , w ) + B ( v , w ) и     B ( λ u , v ) = λB ( u , v )
• B ( u , v + w ) = B ( u , v ) + B ( u , w ) и     B ( u , λ v ) = λB ( u , v )

Скалярное произведение на примере билинейной формы. ^[1]${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$

Определение билинейной формы может быть расширено для включения модулей над кольцом с заменой линейных отображений на гомоморфизмы модулей .

Когда K - поле комплексных чисел C , часто больше интересуют полуторалинейные формы , которые похожи на билинейные формы, но являются линейно сопряженными по одному аргументу.

Координатное представление [ править ]

Пусть V ≅ K ^п быть в п - мерное векторное пространство с основой { е ₁ , ..., е _п }.

П  ×  п матрица , определяемая A _Ij = B ( е _я , е _J ) называется матрицей билинейной формы на основе { е ₁ , ..., е _п }.

Если матрица x  размером n × 1 представляет вектор v относительно этого базиса, и аналогично, y представляет другой вектор w , то:

${\ Displaystyle B (\ mathbf {v}, \ mathbf {w}) = \ mathbf {x} ^ {\textf {T}} A \ mathbf {y} = \ sum _ {i, j = 1} ^ { n} x_ {i} a_ {ij} y_ {j}.}$

Билинейная форма имеет разные матрицы на разных основаниях. Однако все матрицы билинейной матрицы на разных базисах конгруэнтны . Точнее, если { f ₁ , ..., f _n } - другой базис V , то

${\ displaystyle \ mathbf {f} _ {j} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} S_ {i, j} \ mathbf {e} _ {i},}$

где образуют обратимую матрицу S . Тогда матрица билинейной формы на новом базисе будет S ^T AS .${\ displaystyle S_ {i, j}}$

Карты двойного пространства [ править ]

Каждая билинейная форма B на V определяет пару линейных отображений из V в двойственное ей пространство V ^∗ . Определим B ₁ , B ₂ : V → V ^{∗ следующим} образом:

В ₁ ( v ) ( w ) = B ( v , w )

В ₂ ( v ) ( w ) = B ( w , v )

Это часто обозначается как

В ₁ ( v ) = B ( v , ⋅)

В ₂ ( v ) = B (⋅, v )

где точка (⋅) указывает слот, в который должен быть помещен аргумент для результирующего линейного функционала (см. Каррирование ).

Для конечномерного векторного пространства V , если один из B ₁ или B ₂ является изоморфизмом, то оба являются таковыми, а билинейная форма B называется невырожденной . Более конкретно, для конечномерного векторного пространства невырожденный означает, что каждый ненулевой элемент нетривиально соединяется с некоторым другим элементом:

${\ Displaystyle В (х, у) = 0 \,}$для всех следует, что x = 0 и${\ displaystyle y \ in V}$

${\ Displaystyle В (х, у) = 0 \,}$для всех следует, что y = 0 .${\ displaystyle x \ in V}$

Соответствующее понятие для модуля над коммутативным кольцом состоит в том, что билинейная форма унимодулярна, если V → V ^∗ - изоморфизм. Для конечно порожденного модуля над коммутативным кольцом спаривание может быть инъективным (следовательно, «невырожденным» в указанном выше смысле), но не унимодулярным. Например, по целым числам спаривание B ( x , y ) = 2 xy невырождено, но не унимодулярно, поскольку индуцированное отображение из V = Z в V ^∗ = Z является умножением на 2.

Если V конечномерно, то можно отождествить V с его двойным двойным V ^∗∗ . Затем можно показать, что B ₂ является транспонированным линейным отображением B ₁ (если V бесконечномерно, то B ₂ является транспонированным B _1, ограниченным изображением V в V ^∗∗ ). Учитывая B можно определить транспонирование из B , чтобы билинейная форма задается

^t B ( v , w ) = B ( w , v ).

Левый радикал и правая радикал вида B являются ядра из B ₁ и B ₂ , соответственно; ^[2] это векторы, ортогональные всему пространству слева и справа. ^[3]

Если V конечномерно тогда ранг из B ₁ равен рангу B ₂ . Если это число равно dim ( V ), то B ₁ и B ₂ являются линейными изоморфизмами из V в V ^∗ . В этом случае B невырожден. По теореме ранга – недействительности это эквивалентно условию тривиальности левого и, соответственно, правого радикала. Для конечномерных пространств это часто используется как определение невырожденности:

Определение: B является невырожденной , если B ( v , ш ) = 0 для всех ш означает , V = 0 .

Для любого линейного отображения A : V → V ^∗ можно получить билинейную форму B на V с помощью

B ( v , w ) = A ( v ) ( w ).

Эта форма будет невырожденной тогда и только тогда, когда A - изоморфизм.

Если V является конечномерен то, относительно некоторой основы для V , билинейная форма является вырожденной тогда и только тогда , когда определитель из соответствующей матрицы равна нуль. Точно так же невырожденная форма - это форма, для которой определитель связанной матрицы отличен от нуля (матрица неособая ). Эти утверждения не зависят от выбранной основы. Для модуля над коммутативным кольцом унимодулярная форма - это форма, для которой определитель ассоциированной матрицы является единицей (например, 1), отсюда и термин; обратите внимание, что форма, матричный определитель которой не равен нулю, но не является единицей, будет невырожденной, но не унимодулярной, например B ( x, y ) = 2 xy по целым числам.

Симметричные, кососимметричные и переменные формы [ править ]

Определим билинейную форму как

• симметричный, если B ( v , w ) = B ( w , v ) для всех v , w в V ;
• чередуется, если B ( v , v ) = 0 для всех v в V ;
• кососимметричным, если B ( v , w ) = - B ( w , v ) для всех v , w в V ;

  Предложение: каждая альтернированная форма кососимметрична.

  Доказательство: это можно увидеть, развернув B ( v + w , v + w ) .

Если характеристика из K не является 2 , то справедливо и обратным: каждый кососимметрична формой переменной. Если, однако, char ( K ) = 2, то кососимметричная форма - это то же самое, что и симметричная форма, и существуют симметричные / кососимметричные формы, которые не являются чередующимися.

Билинейная форма является симметричной (соответственно кососимметричной) тогда и только тогда, когда ее координатная матрица (относительно любого базиса) симметрична (соответственно кососимметрична ). Билинейная форма является альтернированной тогда и только тогда, когда ее координатная матрица кососимметрична и все диагональные элементы равны нулю (что следует из кососимметрии, когда char ( K ) ≠ 2 ).

Билинейная форма симметрична тогда и только тогда, когда отображения B ₁ , B ₂ : V → V ^∗ равны, и кососимметрична тогда и только тогда, когда они отрицательны друг для друга. Если char ( K ) ≠ 2, то можно разложить билинейную форму на симметричную и кососимметричную части следующим образом

${\ displaystyle B ^ {+} = {\ tfrac {1} {2}} (B + {} ^ {\ text {t}} B) \ qquad B ^ {-} = {\ tfrac {1} {2} } (B - {} ^ {\ text {t}} B),}$

где ^t B - транспонирование B (определено выше).

Производная квадратичная форма [ править ]

Для любой билинейной формы B : V × V → K существует ассоциированная квадратичная форма Q : V → K, определяемая формулой Q : V → K : v ↦ B ( v , v ) .

Когда char ( K ) ≠ 2 , квадратичная форма Q определяется симметричной частью билинейной формы B и не зависит от антисимметричной части. В этом случае существует взаимно однозначное соответствие между симметричной частью билинейной формы и квадратичной формой, и имеет смысл говорить о симметричной билинейной форме, связанной с квадратичной формой.

Когда char ( K ) = 2 и dim V > 1 , это соответствие между квадратичными формами и симметричными билинейными формами нарушается.

Рефлексивность и ортогональность [ править ]

Определение: билинейная форма B : V × V → K называется рефлексивным , если B ( v , ш ) = 0 означает B ( ш , v ) = 0 для всех V , W в V .

Определение: Пусть B : V × V → K - рефлексивная билинейная форма. v , w in V are orthogonal with respect to B if B ( v , w ) = 0 .

Билинейная форма B рефлексивна тогда и только тогда, когда она либо симметрична, либо знакопеременна. ^[4] При отсутствии рефлексивности мы должны различать левую и правую ортогональность. В рефлексивном пространстве левый и правый радикалы согласованы и называются ядром или радикалом билинейной формы: подпространство всех векторов, ортогональных любому другому вектору. Вектор v с матричным представлением x находится в радикале билинейной формы с матричным представлением A тогда и только тогда, когда Ax = 0 ⇔ x ^T A = 0 . Радикал всегда является подпространством в V. Это тривиально тогда и только тогда, когда матрица A невырождена, и, следовательно, тогда и только тогда, когда билинейная форма невырождена.

Предположим, что W - подпространство. Определите ортогональное дополнение ^[5]

${\displaystyle W^{\perp }=\{\mathbf {v} \mid B(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=0{\text{ for all }}\mathbf {w} \in W\}\ .}$

Для невырожденной формы на конечномерном пространстве, отображение V / W → W ^⊥ является взаимно однозначным , и размерность W ^⊥ является тусклым ( V ) - тусклый ( Вт ) .

Различные пространства [ править ]

Большая часть теории доступна для билинейного отображения двух векторных пространств над одним и тем же базовым полем в это поле.

В : В × Ш → K .

Здесь мы по-прежнему индуцировали линейные отображения из V в W ^∗ и из W в V ^∗ . Может случиться так, что эти отображения являются изоморфизмами; предполагая конечные размеры, если один изоморфизм, другой должен быть. Когда это происходит, B считается идеальной парой .

В конечных размерах это эквивалентно невырожденному спариванию (пространства обязательно имеют одинаковые размерности). Для модулей (вместо векторных пространств), так же как невырожденная форма слабее, чем унимодулярная форма, невырожденное спаривание является более слабым понятием, чем идеальное спаривание. Спаривание может быть невырожденным, но не идеальным, например, Z × Z → Z через ( x , y ) ↦ 2 xy невырожден, но индуцирует умножение на 2 на отображении Z → Z ^∗ .

Терминология различается по охвату билинейных форм. Например, Ф. Риз Харви обсуждает «восемь типов внутреннего продукта». ^[6] Для их определения он использует диагональные матрицы A _ij, имеющие только +1 или -1 для ненулевых элементов. Некоторые из «внутренних продуктов» являются симплектическими формами, а некоторые - полуторалинейными формами или эрмитовыми формами . Вместо общего поля K прописаны экземпляры с действительными числами R , комплексными числами C и кватернионами H. Билинейная форма

${\displaystyle \sum _{k=1}^{p}x_{k}y_{k}-\sum _{k=p+1}^{n}x_{k}y_{k}}$

называется действительным симметричным случаем и обозначается R ( p , q ) , где p + q = n . Затем он формулирует связь с традиционной терминологией: ^[7]

Некоторые из реальных симметричных случаев очень важны. Положительно определенный случай R ( n , 0) называется евклидовым пространством , а случай единственного минуса, R ( n −1, 1) , называется лоренцевым пространством . Если n = 4 , то лоренцево пространство также называется пространством Минковского или пространством-временем Минковского . Частный случай R ( p , p ) назовем расщепленным .

Отношение к тензорным произведениям [ править ]

К универсальному свойству этого тензорного произведения , существует каноническое соответствие между билинейными формами на V и линейные отображения V ⊗ V → K . Если B - билинейная форма на V, соответствующее линейное отображение задается формулой

v ⊗ w ↦ B ( v , w )

С другой стороны, если F : V ⊗ V → K - линейное отображение, соответствующая билинейная форма задается компоновкой F с билинейным отображением V × V → V ⊗ V, которое переводит ( v , w ) в v ⊗ w .

Множество всех линейных отображений V ⊗ V → K является сопряженным с V ⊗ V пространством , поэтому билинейные формы можно рассматривать как элементы ( V ⊗ V ) ^∗, которые (когда V конечномерно) канонически изоморфны V ^∗ ⊗ V ^∗ .

Точно так же, симметричные билинейные формы можно рассматривать как элементы Sym ² ( V ^* ) (второй симметричной мощности из V ^* ), и чередующиеся билинейных форм как элементов Л ² V ^* (вторая внешняя сила из V ^* ).

О нормированных векторных пространствах [ править ]

Определение: билинейная форма на нормированном векторном пространстве ( V , ‖ · ‖) является ограниченным , если существует константа С , что для всех U , V ∈ V ,

${\displaystyle B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )\leq C\left\|\mathbf {u} \right\|\left\|\mathbf {v} \right\|.}$

Определение: билинейная форма на нормированном векторном пространстве ( V , ‖ · ‖) является эллиптическим или коэрцитивной , если существует постоянная с > 0 , что для всех ¯u ∈ V ,

${\displaystyle B(\mathbf {u} ,\mathbf {u} )\geq c\left\|\mathbf {u} \right\|^{2}.}$

Обобщение на модули [ править ]

Для кольца R, правого R -модуля M и двойственного к нему модуля M ^∗ отображение B : M ^∗ × M → R называется билинейной формой, если

В ( и + v , х ) = В ( и , х ) + В ( v , х )

В ( и , х + у ) = В ( и , х ) + В ( и , у )

B ( αu , xβ ) = αB ( u , x ) β

для всех U , V ∈ М ^* , все х , у ∈ M и все α , & beta ; ∈ R .

Отображение ⟨⋅, ⋅⟩: М ^* × М → R : ( U , х ) ↦ у ( х ) известен как естественного спаривания , которая также называется канонической формой билинейной на М ^* × M . ^[8]

Линейное отображение S : М ^* → М ^* : U ↦ S ( U ) индуцирует билинейную форму B : М ^* × М → R : ( U , х ) ↦ ⟨ S ( у ), х ⟩ , а линейное отображение Т : M → M : x ↦ T ( x ) индуцирует билинейную форму B : M ^∗× M → R : ( U , х ) ↦ ⟨ U , Т ( х ))⟩ .

Наоборот, билинейная форма B : M ^∗ × M → R индуцирует R- линейные отображения S : M ^∗ → M ^∗ : u ↦ ( x ↦ B ( u , x )) и T ′: M → M ^∗∗ : x ↦ ( u ↦ B ( u , x )) . Здесь M ^∗∗ обозначаетдвойной двойной из M .

См. Также [ править ]

• Билинейная карта
• Билинейный оператор
• Внутреннее пространство продукта
• Линейная форма
• Многолинейная форма
• Квадратичная форма
• Полуторалинейная форма
• Полярное пространство

Цитаты [ править ]

Ссылки [ править ]

• Адкинс, Уильям А .; Вайнтрауб, Стивен Х. (1992), Алгебра: подход через теорию модулей , Тексты для выпускников по математике , 136 , Springer-Verlag , ISBN 3-540-97839-9, Zbl  0768,00003
• Бурбаки, Н. (1970), алгебра , Springer
• Куперштейн, Брюс (2010), «Глава 8: Билинейные формы и карты», Advanced Linear Algebra , CRC Press , стр. 249–88, ISBN 978-1-4398-2966-0
• Гроув, Ларри С. (1997), Группы и персонажи , Wiley-Interscience, ISBN 978-0-471-16340-4
• Халмос, Пол Р. (1974), Конечномерные векторные пространства , Тексты для студентов по математике , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90093-3, Zbl  0288,15002
• Харви, Ф. Риз (1990), «Глава 2: Восемь типов пространств внутреннего продукта», Спиноры и калибровки , Academic Press , стр. 19–40, ISBN 0-12-329650-1
• Попов, В.Л. (1987), «Билинейная форма» , в Hazewinkel, M. (ed.), Encyclopedia of Mathematics , 1 , Kluwer Academic Publishers , стр. 390–392.. Также: Билинейная форма , стр. 390, в Google Книгах
• Джейкобсон, Натан (2009), Основы алгебры , I (2-е изд.), ISBN 978-0-486-47189-1
• Милнор, Дж ; Хусемоллер, Д. (1973), Симметричные билинейные формы , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , 73 , Springer-Verlag , ISBN 3-540-06009-Х, Zbl  0292,10016
• Портеус, Ян Р. (1995), Алгебры Клиффорда и классические группы , Кембриджские исследования в области высшей математики, 50 , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-55177-9
• Шафаревич И.Р . ; А.О. Ремизов (2012), Линейная алгебра и геометрия , Springer , ISBN 978-3-642-30993-9
• Шилов, Георгий Э. (1977), Сильверман, Ричард А. (редактор), Линейная алгебра , Дувр, ISBN 0-486-63518-X
• Желобенко, Дмитрий Петрович (2006), Основные структуры и методы теории представлений , Переводы математических монографий, Американское математическое общество , ISBN 0-8218-3731-1

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с билинейными формами .

• "Билинейная форма" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• «Билинейная форма» . PlanetMath .

Эта статья включает материал из Unimodular на PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .