В математике две квадратные матрицы A и B над полем называются конгруэнтными, если существует обратимая матрица P над тем же полем такая, что
- P T AP = B
где "T" обозначает транспонированную матрицу . Матричное сравнение - это отношение эквивалентности .
Сопоставление матриц возникает при рассмотрении влияния изменения базиса на матрицу Грама, прикрепленную к билинейной или квадратичной форме в конечномерном векторном пространстве : две матрицы конгруэнтны тогда и только тогда, когда они представляют одну и ту же билинейную форму относительно разных базисов. .
Обратите внимание, что Халмос определяет конгруэнтность в терминах сопряженного транспонирования (по отношению к сложному внутреннему пространству продукта ), а не транспонирования [1], но это определение не было принято большинством других авторов.
Конгруэнтность над реалами [ править ]
Закон инерции Сильвестра гласит, что две конгруэнтные симметричные матрицы с действительными элементами имеют одинаковое количество положительных, отрицательных и нулевых собственных значений . То есть количество собственных значений каждого знака является инвариантом соответствующей квадратичной формы. [2]
См. Также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ Халмос, Пол Р. (1958). Конечномерные векторные пространства . ван Ностранд . п. 134. CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
- ^ Сильвестр, JJ (1852). «Демонстрация теоремы о том, что каждый однородный квадратичный многочлен сводится действительными ортогональными подстановками к форме суммы положительных и отрицательных квадратов» (PDF) . Философский журнал . IV : 138–142 . Проверено 30 декабря 2007 . CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
- Грюнберг, KW; Weir, AJ (1967). Линейная геометрия . ван Ностранд. п. 80.
- Хэдли, Г. (1961). Линейная алгебра . Эддисон-Уэсли . п. 253 .
- Герштейн, IN (1975). Темы по алгебре . Вайли . п. 352 . ISBN 0-471-02371-X. CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
- Мирский, Л. (1990). Введение в линейную алгебру . Dover Publications . п. 182. ISBN. 0-486-66434-1. CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
- Маркус, Марвин; Минц, Хенрик (1992). Обзор теории матриц и матричных неравенств . Dover Publications. п. 81. ISBN 0-486-67102-X.
- Норман, CW (1986). Алгебра бакалавриата . Издательство Оксфордского университета . п. 354. ISBN 0-19-853248-2.