Закон Сильвестра инерции является теорема в алгебре матриц о некоторых свойствах матрицы коэффициентов в виде вещественной квадратичной формы , которые остаются инвариантны при изменении базиса . А именно, если A - симметричная матрица , определяющая квадратичную форму, а S - любая обратимая матрица, такая что D = SAS T диагональна, то количество отрицательных элементов в диагонали D всегда одинаково для всех таких S ; То же самое и с количеством положительных элементов.
Это свойство названо в честь Джеймса Джозефа Сильвестра , опубликовавшего свое доказательство в 1852 году. [1] [2]
Заявление
Пусть A - симметричная квадратная матрица порядка n с действительными элементами. Любая невырожденная матрица S такого же размера , как говорят , чтобы преобразовать А в другой симметричной матрицы B = SAS T , а также порядка п , где S T представляет транспонированная S . Также говорят, что матрицы A и B конгруэнтны. Если является матрицей коэффициентов некоторой квадратичной формы R п , то B является матрицей для одной и той же формы после изменения базиса , определяемого S .
Симметричная матрица A всегда может быть преобразована таким образом в диагональную матрицу D, которая имеет только элементы 0, +1 и -1 по диагонали. Закон Сильвестра инерции гласит , что число диагональных элементов каждого вида есть инвариант А , т.е. не зависит от матрицы S используется.
Количество + 1s, обозначается п + , называется положительный индекс инерции из А , и число -1S, обозначаемый п - , называется отрицательный индекс инерции . Количество 0s, обозначается п 0 , является размерность нуль - пространства из A , известный как недействительности А . Эти числа удовлетворяют очевидному соотношению
Разница, SGN ( ) = п + - п - , обычно называется подпись из A . (Однако некоторые авторы используют этот термин для тройки ( n 0 , n + , n - ), состоящей из нуль, а также положительных и отрицательных индексов инерции A ; для невырожденной формы данного измерения это эквивалентные данные , но в целом тройка дает больше данных.)
Если матрица A обладает тем свойством, что каждый главный верхний левый k × k минор Δ k отличен от нуля, то отрицательный индекс инерции равен количеству смен знака в последовательности
Заявление в терминах собственных значений
Закон также можно сформулировать следующим образом: две симметричные квадратные матрицы одинакового размера имеют одинаковое количество положительных, отрицательных и нулевых собственных значений тогда и только тогда, когда они конгруэнтны [3] (, для некоторых неособых ).
Положительные и отрицательные показатели симметричной матрицы А также число положительных и отрицательных собственных значений от A . Любая симметричная вещественная матрица A имеет собственное разложение вида QEQ T, где E - диагональная матрица, содержащая собственные значения A , а Q - ортонормированная квадратная матрица, содержащая собственные векторы. Матрица E может быть записана E = WDW T, где D диагональна с элементами 0, +1 или −1, а W диагональна с W ii = √ | E ii |. Матрица S = КЯ преобразует D к A .
Закон инерции квадратичных форм
В контексте квадратичных форм , вещественный квадратичной форма Q в п переменных (или на п - мерное векторное пространстве реального) можно с помощью соответствующего изменения базиса (по невырожденному линейному преобразованию от й к у) приводятся к диагонали форма
с каждым a i ∈ {0, 1, −1}. Закон инерции Сильвестра гласит, что количество коэффициентов данного знака является инвариантом Q , т. Е. Не зависит от конкретного выбора диагонализирующего базиса. Выражаясь геометрически, закон инерции гласит, что все максимальные подпространства, на которых ограничение квадратичной формы положительно определено (соответственно отрицательно определено), имеют одинаковую размерность . Эти размеры являются положительным и отрицательным показателями инерции.
Обобщения
Закон инерции Сильвестра также применим, если A и B имеют сложные записи. В этом случае говорят, что A и B * -конгруэнтны тогда и только тогда, когда существует невырожденная комплексная матрица S такая, что B = SAS ∗. В сложном сценарии можно сформулировать закон инерции Сильвестра следующим образом: если A и B - эрмитовы матрицы , то A и B * -конгруэнтны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую инерцию.
Островский доказал количественное обобщение закона инерции Сильвестра: [4] [5] если A и B * -конгруэнтны с B = SAS ∗ , то их собственные значения λ i связаны соотношением
.
где θ i такие, что λ n ( SS * ) ≤ θ i ≤ λ 1 ( SS * ).
Одна теорема из - Икрамов обобщает закон инерции любых нормальных матриц A и B : [6] Если и В являются нормальные матрицы , то и B конгруэнтны тогда и только тогда , когда они имеют одинаковое количество собственных значений на каждом открытом луче от начала координат в комплексной плоскости.
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Сильвестр, Джеймс Джозеф (1852). «Демонстрация теоремы о том, что каждый однородный квадратичный многочлен сводится с помощью вещественных ортогональных подстановок к форме суммы положительных и отрицательных квадратов» (PDF) . Философский журнал . 4-я серия. 4 (23): 138–142. DOI : 10.1080 / 14786445208647087 . Проверено 27 июня 2008 .
- ^ Норман, CW (1986). Алгебра бакалавриата . Издательство Оксфордского университета . С. 360–361. ISBN 978-0-19-853248-4.
- ^ Каррелл, Джеймс Б. (2017). Группы, матрицы и векторные пространства: теоретико-групповой подход к линейной алгебре . Springer. п. 313. ISBN 978-0-387-79428-0.
- ^ Островский, Александр М. (1959). «Количественная формулировка закона инерции Сильвестра» (PDF) . Труды Национальной академии наук . Количественная формулировка закона инерции Сильвестра: 740–744.
- ^ Higham, Николас Дж .; Ченг, Шенг Хун (1998). «Изменение инерционности матриц, возникающей при оптимизации» . Линейная алгебра и ее приложения . 275–276: 261–279. DOI : 10.1016 / S0024-3795 (97) 10015-5 .
- ^ Икрамов, Х. Д. (2001). «О законе инерции для нормальных матриц». Доклады Математики . 64 : 141–142.
- Гарлинг, DJH (2011). Алгебры Клиффорда. Введение . Тексты студентов Лондонского математического общества. 78 . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-1-107-09638-7. Zbl 1235.15025 .
Внешние ссылки
- Закон Сильвестра в PlanetMath .
- Закон инерции и * -конгруэнтности Сильвестра